四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題合集2套（附解析）

這是一份四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題合集2套（附解析），共29頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝．明代會(huì)試分南卷、北卷、中卷，按的比例錄取，若某年會(huì)試錄取人數(shù)為200，則中卷錄取人數(shù)為（ ）
A．150B．110C．70D．20
2．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（ ）
A．B．C．D．
3．三棱錐中，點(diǎn)面，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．
4．已知點(diǎn)，空間內(nèi)一平面過原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，，則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
7．給出下列命題，其中不正確的命題是（ ）
A．向量，，共面，即它們所在的直線共面
B．若是空間向量的一個(gè)基底，則也是空間向量的一個(gè)基底
C．已知向量，，若，則為鈍角.
D．若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于130°，則直線與平面所成的角為50°
8．如圖，在正方體中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．在平行六面體中，，則（ ）
A．為棱的中點(diǎn)B．為棱上更靠近的三等分點(diǎn)
C．D．平面
10．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．與是共線向量B．與同向的單位向量是
C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是
11．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．總體由編號(hào)為1，2，?，99，100的100個(gè)個(gè)體組成，現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法選取60個(gè)個(gè)體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若干個(gè)1~100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)的開始部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為
8 44 2
88 8 31 47 7 21 76 33 50 63
13．已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為 .
14．如圖，某正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱，，都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)，，到平面的距離分別為，，，則該正方體的表面積為 .

四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，，，，
(1)若、共線，求實(shí)數(shù)；
(2)若向量與所成角為銳角，求實(shí)數(shù)的范圍．
16．如圖所示，平行六面體中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
17．在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；
(2)求證：面.
18．在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．
19．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的大小；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由于分層抽樣比為，則200個(gè)人中，中卷錄取人數(shù)為.
故選：D.
2．【答案】B
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則，則，
因此，.
故選：B.
3．【答案】D
【詳解】由題意三棱錐中，點(diǎn)面，且，
所以，解得.
故選：D.
4．【答案】A
【詳解】由題意可得：，平面的法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
故選：A.
5．【答案】C
【詳解】連接，
.
故選：C
6．【答案】A
【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮?，，，，，?br>所以與的夾角為，又因?yàn)椋?br>所以
，
所以，即．
故選：A．
7．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，向量量，，可以通過平移后共面，但是它們的所在直線不一定是共面直線，故A不正確；
對(duì)于B，假設(shè)不是空間向量的一個(gè)基底，
所以，
因?yàn)槭强臻g向量的一個(gè)基底，
所以可得，顯然該方程組沒有實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，
所以也是空間的一個(gè)基底，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，向量，，
，
此時(shí)所成角為，則不為鈍角，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量的夾角等于，
所以直線與平面所成的角等于，故D不正確.
故選：ACD.
8．【答案】A
【詳解】
設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
又底面的一個(gè)法向量為，
所以，因?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
則，，則，
則當(dāng)時(shí)，分母取到最小值，此時(shí)，
當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)，
綜上，
故選：A.
9．【答案】ABD
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則為棱的中點(diǎn)，A正確.
因?yàn)椋?，則為棱上更靠近的三等分點(diǎn)，B正確.
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱上更靠近的三等分點(diǎn)，易得，C錯(cuò)誤.
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以平面，D正確.
故選：ABD.
10．【答案】AC
【詳解】對(duì)于A：，
與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；
對(duì)于C：，
∴，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，故D正確．
故選：AC．
11．【答案】ABD
【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直線平面，故A正確；
在選項(xiàng)B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，
∴三棱錐的體積為定值，故B正確；
在選項(xiàng)C中，
∵，
∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.
易知為等邊三角形，
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.
故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；
在選項(xiàng)D中，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體的棱長為1，
則，，，，
所以，.
由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，
∴直線與平面所成角的正弦值為：，
∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.
故選：ABD
12．【答案】31
【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的選取的規(guī)則是選出的樣本編號(hào)為1~100范圍內(nèi)的整數(shù)，
且與前面重復(fù)的數(shù)據(jù)不再出現(xiàn)，所以前5個(gè)個(gè)體編號(hào)為：，
所以選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為31.
故答案為：31.
13．【答案】
【詳解】兩邊平方化簡得：，①
因?yàn)?，所以?br>又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐標(biāo)為
.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，取空間的一個(gè)基底，設(shè)是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量.
由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.
由題意，在方向上的投影向量的長度分別為，，.
于是，即，即，即.
同理，，，
從而，由，得，
其中
，
即，解得，所以正方體的表面積.
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，，，?br>則，可得，，解得，
所以，，所以，，
因?yàn)椋?，解得?br>（2）解；由（1）知，，，
因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，
所以，解得，
又當(dāng)時(shí)，，
所以實(shí)數(shù)的范圍為．
16．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1），
則
，
所以.
（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，
因?yàn)榍遥?br>所以
，
，
則.
17．【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）

如圖,以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
正四棱柱,為中點(diǎn),
則點(diǎn)到直線的距離為：.
（2）由（1）可得，
則，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，
，又，
，
四邊形為平行四邊形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中點(diǎn)，連接，則平面，
，
，又，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，
則，取，則，
平面的一個(gè)法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
,平面與平面所成的夾角的余弦為.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，或
【詳解】（1）因?yàn)樵谥校?，，且?br>所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋剩?br>由幾何關(guān)系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，.
設(shè)與平面所成角的大小為，
則有，
設(shè)為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.
在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
若平面與平面成角余弦值為.
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為. 此時(shí)的長度為或.
四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題
1．若事件A與B互為互斥事件，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2B．C．D．
3．已知，，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知點(diǎn)，且直線AB與直線CD垂直，則的值為（ ）
A．?7或0 B．0或7C．0 D．7
5．如圖是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺(tái)，其可近似看作一個(gè)正四棱臺(tái)，若，點(diǎn)在上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
6．若過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線平行，則的值為（ ）
B.-C.- B.-2 C.-2或3 D.2或-3
7.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵中，，，則（ ）
A．B．1C． D．
8．如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．異面直線、所成的角為
C．幾何體的體積為D．平面與平面間的距離為
二、多選題
9．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝“兩彈都擊中飛機(jī)”，事件B＝“兩彈都沒擊中飛機(jī)”，事件C＝“恰有一彈擊中飛機(jī)”，事件D＝“至少有一彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，若，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）．
A．是銳角 B．是平面的一個(gè)法向量 C． D．
11．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．四面體是鱉臑 B．與所成角的余弦值是
C．點(diǎn)到平面的距離為 D．點(diǎn)到直線的距離為
三、填空題
12．已知是直線l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為 .
13．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為 .
14．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率是
四、解答題
15．某市疫情防控常態(tài)化，在進(jìn)行核酸檢測時(shí)需要一定量的志愿者．現(xiàn)有甲、乙、丙3名志愿者被隨機(jī)地分到A，B兩個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；
(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率．
16．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)．
（1）求的長；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
17．如圖，已知正方體的棱長為，，分別為棱，的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)E到直線BF的距離
(2)求與平面所成角的正弦值；
18．某校開展定點(diǎn)投籃項(xiàng)目測試，規(guī)則如下：共設(shè)定兩個(gè)投籃點(diǎn)位，一個(gè)是三分線上的甲處，另一個(gè)是罰籃點(diǎn)位乙處，在甲處每投進(jìn)一球得3分，在乙處每投進(jìn)一球得2分．如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃并且通過測試，否則將進(jìn)行第三次投籃，每人最多投籃3次，如果最終得分超過3分則通過測試，否則不通過．小明在甲處投籃命中率為，在乙處投籃命中率為，小明選擇在甲處投一球，以后都在乙處投．
(1)求小明得3分的概率；
(2)試比較小明選擇都在乙處投籃與選擇上述方式投籃哪個(gè)通過率更大．
19．棱柱的所有棱長都等于4，，平面平面，.
（1）證明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置.
參考答案
1．D【詳解】∵事件A與B互為互斥事件，，∴.
2．A【詳解】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為.所以所求投影向量的模長為2.
3．D【詳解】，故A錯(cuò)誤；，則不垂直，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.
4．B【詳解】當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率不存在，直線 CD的斜率為此時(shí)直線AB的方程為x=0，直線CD的方程為，故;當(dāng)時(shí)， 則 解得，綜上，或.
5．C【詳解】因?yàn)?，所以：.又因?yàn)椋海?br>所以：，所以：.
6．A.
7．B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，，
∴，
，.
8．C【詳解】由于四邊形是矩形，所以，由于，平面，所以平面，由于平面平面，所以平面.
由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，
所以，同理可證得，所以,所以四邊形是平行四邊形，所以，，A選項(xiàng)正確.
由于，所以異面直線、所成的角為（或其補(bǔ)角），由于，所以三角形是等邊三角形，所以，即異面直線、所成的角為，B選項(xiàng)正確.
將幾何體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
由上述分析可知，由于平面，平面，所以平面.同理可證得平面，由于，所以平面平面.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，平面與平面間的距離，即到平面的距離，所以距離為，D選項(xiàng)正確.
ABC【詳解】因?yàn)槭录竷蓮椂紱]擊中飛機(jī)，第一枚擊中第二枚沒中，第一枚沒中第二枚擊中，兩彈都擊中飛機(jī)；“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中；“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中.所以，，所以，，故選項(xiàng)A，B，C正確，D不正確．
10．AD【詳解】對(duì)于A，由，，得，因此是銳角，A正確；對(duì)于B，由，，得，，則與不垂直，即不是平面的法向量B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，而，顯然與不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，而，,因此，即，D正確.故選：AD
11．ABD【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，對(duì)于A中，，因?yàn)?，所以，即，所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，所以四面體是鱉臑，故A正確；
對(duì)于B中，，則與所成角的余弦值為，
所以B正確；
對(duì)于C中，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，可得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由，直線方向上的單位向量是，則到的距離為，所以D正確.
12．【詳解】∵l⊥α，則∥，則，解得.故答案為：.
13．【詳解】表示過點(diǎn)Mx,y和點(diǎn)的直線斜率，如圖，因?yàn)椋Y(jié)合圖形可知或，所以的取值范圍為.故答案為：
14．【詳解】設(shè)事件分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語，事件分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語，則
，，，，
設(shè)事件為““星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語”，則，且與互斥，與，與分別相互獨(dú)立，
所以，故答案為：
15．(1) (2)
【詳解】（1）甲、乙、丙3名志愿者被隨機(jī)地分到A，B兩個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6個(gè)，其中甲乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的是（甲乙，丙）只有1個(gè)，故甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率為；
（2）甲乙兩人不在同一崗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4個(gè)，故甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率為．
16．（1）3 （2）．
【詳解】（1）以，，的正方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，可得，所的長為3．
（2）由（1）的坐標(biāo)系，可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，所以，即異面直線與所成的角的余弦值．
17．(1) (2)
【詳解】（1）因?yàn)檎襟w的棱長為，以為原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，所以，，則在的投影長度為，且，所以點(diǎn)E到直線BF的距離為.
（2）由（1）得，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，令，則，，故，設(shè)與平面所成角為，，
則，所以與平面所成角的正弦值為.
18．(1) (2)選擇都在乙處投籃通過率更大
【詳解】（1）設(shè)小明在甲處投進(jìn)為事件A，在乙處投進(jìn)為事件B，于是，，
小明得3分的概率．
（2）小明選擇都在乙處投籃，測試通過的概率
，
小明選擇在甲處投一球，以后都在乙處投，測試通過的概率
，
，所以選擇都在乙處投籃通過率更大．
19．（1）證明見解析； （2）； （3）點(diǎn)在的延長線上且使.
【詳解】由題意，連接交于，則，連接，在中，，，，
∴，∴，
∴，由于平面平面，所以底面，
所以以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
（1）由于，，，則，∴.
（2）設(shè)平面的法向量，則，即，取，可得，
同理，可得平面的法向量，所以，
又由圖可知成鈍角，所以二面角的平面角的余弦值是.
（3）假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使平面，設(shè)，，則，得，，
設(shè)平面，則，設(shè)，得到，不妨取，又因?yàn)槠矫妫瑒t即得.即點(diǎn)在的延長線上且使.