1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.
3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡對應(yīng)題號的位置上.寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知直線過點，，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.
【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；
故選：C
2. 如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，點N為BC中點，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】利用空間向量的加法及減法運算法則進行線性運算，逐步表示即可得到結(jié)果.
【詳解】∵點為中點，
∴，
∴.
故選：B.
3. 下列是古典概型的是（ ）
A. 任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點
B. 求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點
C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項目，求甲被選中的概率
D. 拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣至首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點
【正確答案】C
【分析】根據(jù)古典概型的定義，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是古典概型；
B項中的樣本點的個數(shù)是無限的，故B不是古典概型；
C項中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．
故選：C
4. 經(jīng)過點的直線在軸上的截距是（ ）
A. B. C. 10D. 2
【正確答案】A
【分析】先求得直線的方程，從而求得縱截距.
【詳解】直線的斜率為，
所以直線的方程為，
縱截距為.
故選：A
5. 已知點A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么過點P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】求得平面ABC的一個法向量，由求解.
【詳解】因為點A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以，
設(shè)平面ABC的一個法向量為，
則，即，
令，得，則，
所以，
故選：C
6. 已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.
【詳解】
，而，
故直線的取值范圍為，
故選：A.
7. 將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為），先后拋擲兩次，將得到的點數(shù)分別記為m，n，記向量，的夾角為，則為鈍角的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】先根據(jù)已知求出滿足條件的滿足的關(guān)系式，然后分別令，求得滿足條件的.然后即可根據(jù)古典概型概率公式，得出答案.
【詳解】由可得，，
所以.
因為為鈍角，所以，且不共線，
所以，即，且.
當時，有且，所以可取1，3，4，5，6；
當時，有，可取3，4，5，6；
當時，有，可取5，6；
當，，時，，此時無解.
綜上所述，滿足條件的有11種可能.
又先后拋擲兩次，得到的樣本點數(shù)共36種，
所以為鈍角的概率
故選：D.
8. 如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，H為PC上的點，且，點G在AH上，且.若G，B，P，D四點共面，則m為（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】以為基底，表示向量，由可求值.
【詳解】因.
由G，B，P，D四點共面，所以.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A. 任意向量，，若，則或或
B. 若空間中點O，A，B，C滿足，則A，B，C三點共線
C. 空間中任意向量都滿足
D. 若，，則
【正確答案】AB
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念判斷AC的真假；根據(jù)三點共線的有關(guān)結(jié)論判斷B的真假；舉特例說明D錯誤.
【詳解】對A：因為，若，則或或，
即或或，故A正確；
對B：因為，時，三點共線，故B正確；
對C：因為兩個向量的數(shù)量積是實數(shù)，故是與共線的向量，
是與共線的向量，所以未必成立，故C錯誤；
對D：當時，對任意向量，，都成立，但未必成立，故D錯誤.
故選：AB
10. 已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（ ）
A. ，互為互斥事件B. 與互為互斥事件
C. D. 與互為對立事件
【正確答案】BD
【分析】由互斥事件和對立事件的性質(zhì)集合題意逐項分析即可；
【詳解】對于A，，兩個事件可以同時發(fā)生，故A錯誤；
對于B，與不可能同時發(fā)生，故B正確；
對于C，為，的交事件，故C錯誤；
對于D，對應(yīng)事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對立事件，D正確.
故選：BD.
11. 已知正方體棱長為2，點在線段上運動，則（ ）
A. 直線與所成角的取值范圍是
B. 三棱錐的體積為定值
C.
D. 的最小值為
【正確答案】ACD
【分析】由轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，在等邊中分析可知選項A正確；利用等體積法進行轉(zhuǎn)化可得選項B錯誤；由數(shù)量積的定義可判斷選項C正確；把和沿展開，即可計算的最小值，得到選項D正確.
【詳解】A.如圖，連接，
由題意得，，，
直線AP與所成的角等于直線AP與所成的角，
在等邊中，當點與兩點重合時，直線AP與所成的角為，
當點與中點重合時，，此時直線AP與所成的角為，
故直線AP與所成角的取值范圍是，選項A正確.
B. 如圖所示，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴直線上任意一點到平面的距離均相等，
∴點到平面的距離等于點到平面的距離，
∴，選項B錯誤.
C.
設(shè)，則，
當時，有最小值，當或0時，有最大值0，
∴，即，
∴，
∵，
∴，選項C正確.
D.把和沿展開，如圖所示
當三點共線時，有最小值，最小值為，
由題意得，，，
∴，選項D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為_______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)點到直線的空間向量坐標公式求解即可
【詳解】根據(jù)題意，得，，
，
；
又
點到直線l的距離為．
故
13. 在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為________．
【正確答案】2.8##
【分析】根據(jù)方差的概念計算
【詳解】去掉一個最高分95和一個最低分89后，
所剩數(shù)據(jù)90，90，93，94，93的平均數(shù)為 （90+90+93+94+93）=92；
方差為[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8
故2.8
14. 中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.
【正確答案】
【分析】取中點，連接，，易證平面，再由等邊三角形可知四邊形為等腰梯形，高為，建立空間直角坐標系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.
【詳解】
如圖所示，設(shè)，
取中點，連接，，則，
又，
，
四邊形為矩形，
，
又為正三角形，為的中點，
，
，且，平面，
平面，
易知，則，
四邊形為等腰梯形，高為，
在平面內(nèi)，過點作的垂線，
以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
即，，
，
即異面直線與的夾角余弦值為，
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在長方體中，，，分別的中點．

（1）求證：平面；
（2）判斷與平面是否垂直，并說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）不垂直，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）由（1）中空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積計算判斷即得.
【小問1詳解】
在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由，，分別的中點，得，
，顯然平面的一個法向量，
則，于是，有平面，而平面，
所以平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，則有，而，
于是向量與向量不垂直，即直線與不垂直，而平面，
所以與平面不垂直.
16. 已知直線，直線.
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求實數(shù)的值.
【正確答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計算即可求參，再檢驗是否重合；
（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計算即可求參.
【小問1詳解】
因為，所以，
整理得
解得或.
當時，重合；
當時，，符合題意.
故.
【小問2詳解】
因為，所以
解得或.
17. 新冠肺炎疫情在我國爆發(fā)以來，我國舉國上下眾志成城、團結(jié)一致抗擊新冠肺炎疫情，經(jīng)過幾個月的努力，我國的疫情已經(jīng)得到有效控制．為了解大眾對新冠肺炎相關(guān)知識的掌握情況，某網(wǎng)站舉行“新冠肺炎”防控知識競賽網(wǎng)上答題，共有人通過該網(wǎng)站參加了這次競賽，為了解競賽成績情況，從中隨機抽取了名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖；
（1）試估計這名學生成績的第百分位數(shù)；
（2）若采用分層抽樣的方法從成績在，80,90，90,100的學生中共抽取人參加志愿者活動．現(xiàn)從這人中隨機抽取人分享活動經(jīng)驗，求抽取的人成績都在的概率．
【正確答案】（1）
（2）15
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的求法求得正確答案.
（2）根據(jù)分層抽樣、列舉法以及古典概型概率計算公式求得正確答案.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可得
成績小于的頻率為，
成績在80,90的頻率為，因為，
所以這名學生成績的第百分位數(shù)在80,90內(nèi)，
所以隨機抽取的名學生成績的第百分位數(shù)為
【小問2詳解】
因為成績在，80,90，90,100的學生人數(shù)所占比例為,
所以從成績在，80,90，90,100所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取人，人，人．
記抽取成績在的人為，成績在為，，．
從這人中隨機抽取人的所有可能為：
，
，共種，
抽取的人成績都在的是，共種，
抽取的人成績都在的概率為·
18. 如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進行比勝負的游戲她們用四種字母做成10個棋子，其中A棋1個，B棋2個，C棋3個，D棋4個，
“字母棋”的游戲規(guī)則為：
①游戲時兩人各摸一個棋子進行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋勝B棋，C棋；B棋勝C棋，D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；
③相同棋子不分勝負，
（1）若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個棋中隨機摸一個，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一個棋，小軍在剩余的9個棋中隨機摸一個，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？
【正確答案】（1）
（2）
（3）小玲希望摸到棋，小玲勝小軍的概率最大
【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；
（3）分別分析小玲摸到不同棋子勝小軍的概率，從而得解.
【小問1詳解】
依題意，一共有10個棋子，其中C棋3個，
所以小玲摸到棋的概率等于；
【小問2詳解】
因為C棋勝D棋，D棋4個，
所以小玲在這一輪中勝小軍的概率是；
【小問3詳解】
若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；
若小玲摸到棋，小玲勝小軍概率是；
若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；
若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；
由此可見，小玲希望摸到棋，小玲勝小軍的概率最大.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點.
（1）求三棱錐的體積；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由.
【正確答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【分析】（1）由題意可得，進而計算可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角的余弦值；
（3）假設(shè)棱棱上是否存在一點，直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)且，即可求出，利用向量的夾角公式列出關(guān)于的方程求解即可.
【小問1詳解】
因為是的中點，所以，
又因為底面為矩形，所以，所以，
又因為底面，，
所以，所以；
【小問2詳解】
以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
，則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
所以平面的法向量，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
，
，設(shè)，
，
由（2）知平面的法向量，
設(shè)直線與平面的夾角為，
則，
整理得，所以，解得或，
當時，，當時，，
則的長為或

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