1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）
A．B．3C．D．4
2．已知向量，若，則（ ）
A．5B．4C．D．
3．的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
4．對于兩條不同直線m，n和兩個不同平面，以下結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．某人連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都沒有命中目標”的對立事件是（ ）
A．至少有一次命中目標B．至多有一次命中目標
C．恰好兩次都命中目標D．恰好有一次命中目標
6．已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12B．8C．-8D．2
7．如圖所示，在下列選項中，邊長為1的正三角形利用斜二測畫法得到的直觀圖后不是全等三角形的一組是( )
A．B．
C．D．
8．如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．在鈍角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，那么c的值可能為（ ）
A．1B．C．2D．4
10．已知一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)有一組新的，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)（ ）
A．平均數(shù)不變B．中位數(shù)不變C．極差變小D．方差變小
11．如圖所示，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱，交于點，，以下四個命題中正確的是（ ）

A．四邊形一定為矩形B．平面平面
C．四棱錐體積為D．四邊形的周長最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的表面積是 ．
13．如圖，已知正方形的邊長為3，且，與交于點，則 ．
14．已知菱形的邊長為2，且，將菱形沿對角線翻折成直二面角，則異面直線與所成角的余弦值是 ；二面角的余弦值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．某景點某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景點為了提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪.將統(tǒng)計結(jié)果按照分成5組，制成如下頻率分布直方圖：

(1)求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù)；
(2)求頻率分布直方圖中a的值；
(3)估計當天游客滿意度分值的分位數(shù).
16．已知向量，．
(1)設(shè)，求的最小值；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.
17．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且_________．
在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面橫線中，并解答下列問題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分
(1)求；
(2)若，求．
18．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，是與的交點，平面，，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求直線與平面所成角的正切值．
19．對于平面向量，定義“變換”：，
(1)若向量，，求；
(2)求證：；
(3)已知，，且與不平行，，，求證：．
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的運算和共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念即可得到答案.
【詳解】，則，
故，虛部為，
故選：C．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用向量垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，
因為，可得，解得.
故選：D.
3．【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理的三邊比值，然后能得到，即可得到答案
【詳解】由正弦定理可知，
設(shè)，
所以，所以，所以的形狀是直角三角形，
故選：B
4．【答案】A
【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系及性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，若，則，故A正確；
對于B，若，則或，故B錯誤；
對于C，若，則或或相交，故C錯誤；
對于D，若，則或，故D錯誤.
故選A.
5．【答案】A
【分析】根據(jù)對立事件定義直接判斷即可.
【詳解】由對立事件定義知：事件“兩次都沒有命中目標”的對立事件為“至少有一次命中目標”.
故選：A.
6．【答案】A
【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】在方向上投影向量為，
，.
故選：A
7．【答案】C
【分析】利用斜二側(cè)法畫直觀圖的方法，平行性不變，平行于軸的線段長度相等，平行于軸的線段長度是原來的一半，可得結(jié)論．
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，A,B,D中正三角形的底邊都沒有改變，
而三角形的高都平行于軸或與軸重合，因此它們的高相等，
故A,B,D中三組三角形的直觀圖是全等的．
而對于C，畫成直觀圖之后，第一個三角形中，到的距離變成原來的，
第二個三角形中，到的距離保持不變，因此兩個三角形的直觀圖不全等．
故選:C．
8．【答案】C
【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.
【詳解】因為，，所以，
，
設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，則，即，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，則，解得（負值已舍去）；
因為平面，所以，
即，即，解得（負值已舍去）；
所以.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是找到球心位置，求出底面外接圓半徑和外接球半徑，再根據(jù)勾股定理求出棱錐的高.
9．【答案】BCD
【分析】考慮為鈍角或為鈍角兩種情況，根據(jù)余弦定理得到或，得到答案.
【詳解】若為鈍角，則，且，
即，BC滿足；
若為鈍角，則，且，
即，D滿足；
故選：BCD
10．【答案】ACD
【分析】利用平均數(shù)、極差的定義計算判斷AC；利用中位數(shù)的定義舉例判斷B；利用方差的意義分析判斷D作答.
【詳解】對于A，新數(shù)據(jù)的總和為：，
與原數(shù)據(jù)總和相等，且數(shù)據(jù)個數(shù)都是，因此平均數(shù)不變，A正確；
對于B，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為2，B錯誤；
對于C，原數(shù)據(jù)極差為：，新數(shù)據(jù)極差為：，
而，即極差變小了，C正確；
對于D，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，D正確.
故選：ACD.
11．【答案】BC
【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對于C，求出四棱錐的體積進行判斷；對于D，四邊形是菱形，當點，分別為，的中點時，四邊形的周長最?。?br>【詳解】連接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，
所以，由題意得，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，則平面，
平面，所以平面平面，故B正確；
由正方體的性質(zhì)得平面平面，
平面平面，平面平面，故，
同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯誤；
對于C，四棱錐的體積為：
，故C正確；
對于D，四邊形是菱形，
四邊形的周長，
當點，分別為，的中點時，四邊形的周長最小，
此時，即周長的最小值為4，故D錯誤．
故選：BC．

12．【答案】
【分析】求得圓錐的底面半徑和母線長，由此求得圓錐的表面積.
【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長為.
依題意，解得或（舍去），
所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.
所以圓錐的表面積為.
故答案為：
13．【答案】3
【分析】先證明為中點，再利用轉(zhuǎn)化法求得，代入數(shù)據(jù)即可.
【詳解】因為，則為中點，
則，則，
則，
則.
故答案為：3.
14．【答案】 /0.75
【分析】空1：作出空間圖形，找到異面直線夾角或其補角，結(jié)合題意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解.
【詳解】如下圖，過點作，連接，
結(jié)合題意可知為的中點，且，
所以即為二面角的平面角，由題意可知，.
因為，，所以，，
所以，且，進而得到，
因為，則異面直線與所成角即為或其補角，
在中，由余弦定理可得，
則異面直線與所成角的余弦值是；
取的中點，連接，因為，，
所以，，則即為所求二面角的平面角，
在中，因為，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二空的關(guān)鍵是作出二面角所表示的平面角，再結(jié)合勾股定理和余弦定理即可.
15．【答案】(1)50，40，10
(2)0.020
(3)82.5
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人數(shù)比例，從而求抽取樣本中老年、中青年、少年的人數(shù)；
（2）利用頻率之和為1列出方程，求出的值；
（3）利用百分位數(shù)的定義進行求解.
【詳解】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人數(shù)比例為，
故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為人，中青年人數(shù)為人，少年人數(shù)為人；
（2）由題意可得，，解得：；
（3）設(shè)當天游客滿意度分值的分位數(shù)為，
因為，，
所以位于區(qū)間內(nèi)，
則，解得：，
所以估計當天游客滿意度分值的分位數(shù)為.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】由平面向量的坐標計算即可.
【詳解】（1）由題意得：，
所以
所以當時，取得最小值為.
（2）由于，，向量與向量的夾角為鈍角，
所以，且向量與向量不能共線，即
即
所以，
故實數(shù)t的取值范圍為：
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①，用余弦定理即可求解，選②，用向量的數(shù)量積的運算即可求解；（2）用正弦定理即可解決.
【詳解】（1）若選①，
由余弦定理可得，
∴，
又，∴，∴．
若選②，
則，
又，∴，∴．
（2）由正弦定理（為外接圓半徑），
可得，
又∵，
∴，解得．
∴．
18．【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用中位線得，再利用線面平行的判定即可；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)得，再證明，最后根據(jù)面面垂直的判定即可證明；
（3）取的中點，連接，，根據(jù)線面角定義轉(zhuǎn)化為求的正切值，最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.
【詳解】（1）連接，在平行四邊形中，
為與的交點，
為的中點，又為的中點，，
又平面平面，
平面.
（2）平面平面，，
在中，，，又，，
因為平面平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（3）取的中點，連接，，
為的中點，，且
由平面，得平面，
是直線與平面所成的角，
，
在Rt中，，
，從而，
在Rt中，，
直線與平面所成角的正切值為.
19．【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）計算得，從而，再展開計算即可證明；
（3）方法一：根據(jù)“變換”和向量數(shù)量積的坐標公式得到，從而有，最后利用三角形面積公式即可證明；方法二：證明三角形面積公式為，再代入公式證明即可.
【詳解】（1）因為向量
所以
所以.
（2）因為.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因為
，即，
可得，
且在內(nèi)單調(diào)遞減，，
可知，
所以.
所以
方法二:設(shè)，
，
因為，
，
所以
，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是證明出，從而得到兩向量夾角相等，最后再利用三角形面積公式即可.
2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．某校高一年級有810名學(xué)生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級的女生人數(shù)為（ ）.
A．450B．360C．400D．320
2．已知平面，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
3．某高校對中文系新生進行體測，利用隨機數(shù)表對650名學(xué)生進行抽樣，先將650名學(xué)生進行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，如圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007B．253C．328D．860
4．某校高一年級個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，抽得個班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
6．已知某運動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)： ，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
8．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A．考生參賽成績的平均分約為72.8分
B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C．分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2
D．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取30人
10．根據(jù)不同年齡段學(xué)生身心發(fā)展特點，小學(xué)生每天睡眠時間應(yīng)達到10小時，初中生應(yīng)達到9小時，高中生應(yīng)達到8小時．某機構(gòu)調(diào)查了1萬個學(xué)生時間利用信息得出如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則以下判斷錯誤的有（ ）
A．高三年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時間最長
B．中小學(xué)生的平均睡眠時間都沒有達到標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準
C．大多數(shù)年齡段學(xué)生平均睡眠時間長于學(xué)習(xí)時間
D．與高中生相比，大學(xué)生平均學(xué)習(xí)時間大幅下降，釋放出的時間基本是在睡眠
11．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．體育課上甲、乙兩名同學(xué)進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為 .
13．某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本，樣本中有39名女員工，女員工的平均體重為，標準差為6；有21名男員工，男員工的平均體重為，標準差為4.則樣本中所有員工的體重的標準差為 .
14．已知函數(shù)，其中系數(shù)a、，任取一個函數(shù)有零點的概率是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在正方體中，是棱的中點．
(1)證明：平面；
(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積．
16．已知不透明的盒子中裝有標號為1，2，3的小球各2個（小球除顏色?標號外均相同）.
(1)若一次取出3個小球，求取出的3個小球上標號均不相同的概率；
(2)若有放回地先后取出2個小球，求取出的2個小球上標號不相同的概率.
17．為了落實習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，重慶市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水．計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中．
(1)求直方圖中，的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）；
(2)設(shè)該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說明理由；
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由．
18．如圖，平面，為圓O的直徑，分別為棱的中點．

(1)證明：平面．
(2)證明：平面平面．
19．某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學(xué)生的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取總樣本為30的樣本，并觀測樣本的指標價（單位：cm），計算得男生樣本的身高平均數(shù)為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)；
記抽取的第i個女生的身高為（，2，3，…，10），樣本平均數(shù)，方差.
參考數(shù)據(jù)：，，.
(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一女生身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；
(2)用總樣本的平均數(shù)和標準差分別估計該校高一學(xué)生總體身高的平均數(shù)和標準差，求，的值；
(3)如果女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由分層抽樣可得高一年級的女生人數(shù)為.
故選：B.
2．【答案】D
【詳解】因為，
對于A，若，則有可能在平面內(nèi)，故A錯誤；
對于B，若，又，則，又，所以或在平面內(nèi)，故B錯誤；
對于C，若，則有可能與平面相交但不垂直，故C錯誤；
對于D，若，則，又，則，故D正確．
故選：D
3．【答案】A
【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，
第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，
第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，
下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，
第四個是007，故A正確.
故選：A.
4．【答案】A
【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：，
因為，
所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個數(shù)93.
故選：A.
5．【答案】D
【詳解】，.
因為，所以，
則，解得.
故選：D.
6．【答案】A
【詳解】依題意在12組隨機數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個，
所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率.
故選：A.
7．【答案】B
【詳解】解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，
則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑) }；
事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及對立事的定義可知事件與事件與是互斥而非對立的事件.
故選：B
8．【答案】D
【詳解】由題可知，，
又，所以，解得，
所以.
故選：D.
9．【答案】BC
【詳解】對于A，平均成績?yōu)椋珹錯誤；
對于B，由頻率分布直方圖知，分數(shù)在內(nèi)的頻率為0.7，在內(nèi)的頻率為0.9，
因此第75百分位數(shù)位于內(nèi)，第75百分位數(shù)為，B正確；
對于C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，C正確；
對于D，區(qū)間應(yīng)抽取人，D錯誤.
故選：BC
10．【答案】AD
【詳解】對于選項A：根據(jù)圖象可知，高三年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時間沒有高二年級學(xué)生平均學(xué)習(xí)時間長，故A錯誤；
對于選項B：根據(jù)圖象可知，中小學(xué)生的平均睡眠時間都沒有達到標準，
其中高中生平均睡眠時間最接近標準，故B正確；
對于選項C：根據(jù)圖象可知，學(xué)習(xí)時間長于睡眠時間的有初二、初三、高一、高二、高三，占比為，睡眠時間長于學(xué)習(xí)時間的占比為，
所以大多數(shù)年齡段學(xué)生平均睡眠時間長于學(xué)習(xí)時間，故C正確；
對于選項D：從高三到大學(xué)一年級，學(xué)習(xí)時間減少了（小時/天），
睡眠時間增加了（小時/天），故D錯誤．
故選：AD.
11．【答案】AB
【詳解】記個白球為，個黑球為，隨機取出個小球的事件如下，
，
事件對應(yīng)的基本事件有，所以，故A正確；
事件對應(yīng)的基本事件有，所以，
事件對應(yīng)的基本事件有 ，所以，又，故D錯誤；
其中對應(yīng)的基本事件有，所以，故B正確；
對應(yīng)的基本事件有，所以，故C 錯誤.
故選：AB
12．【答案】/
【詳解】記“甲投中”，“乙投中”，
則,
所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為
.
故答案為：0.38.
13．【答案】
【詳解】依題意樣本中所有員工的體重的平均值為，
則樣本中所有員工的體重的方差，
所以樣本中所有員工的體重的方差為120，標準差為.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】由已知，函數(shù)解析式一共有種不同的情況，
若函數(shù)有零點，
則相應(yīng)的一元二次方程的，
即，所以有；；；
；；共6種情況，
由古典概型概率公式可得.
故答案為：.
15．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）連接交于，連接，如圖，
因為在正方體中，底面是正方形，則是的中點，
又是的中點，則是的中位線，故，
又面，面，所以平面．
（2）因為正方體中，平面，
所以．
16．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）分別記6個小球為，從中任取3個小球有：
，共20種.
3個小球上標號均不相同的有：
共8種，
所以取出的3個小球上標號均不相同的概率為.
（2）每次取球都有6種取法，所以總的取法有種取法.
2個小球上標號相同的取法有：
共12種取法，
所以2個小球上標號相同的概率為，
所以取出的2個小球上標號不相同的概率.
17．【答案】(1)，，平均數(shù)為
(2)萬，理由見解析
(3)5.8噸，理由見解析
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得
，
又，則，，
該市居民用水的平均數(shù)估計為：
；
（2）由頻率分布直方圖可得，
月均用水量不超過2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：
（萬）；
（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88，
月均用水量不超過5噸的頻率為0.73，
則85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），，
，解得，
即標準為5.8噸．
18．【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為分別為棱的中點，所以．
因為平面，平面，
所以平面．
（2）因為為圓O的直徑，所以．
因為平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
由（1）知，所以平面．
又因為平面，所以平面平面．
19．【答案】(1)40；
(2)；
(3)平均數(shù)為159，方差為.
【詳解】（1）因女生樣本中，身高在范圍內(nèi)的占比為，
故該校高一女生身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計為；
（2）記總樣本的平均數(shù)為，標準差為，
由題意，設(shè)男生樣本（20人）的身高平均數(shù)為，方差為，
女生樣本（10人）的身高平均數(shù)為，方差，
則，
，
故；
（3）因，，則，即，
約為，由樣本數(shù)據(jù)知，，為離群值，
剔除169后，女生樣本（9人）的身高平均數(shù)為：；
由可得，，
則剔除169后，女生樣本（9人）的身高的方差為：.
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163

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