黑龍江省綏化市青岡縣哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)初考試數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）
1. 已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率為，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用過(guò)兩點(diǎn)斜率公式，即可求解.
【詳解】依題意，得，解得，
故選：C．
2. 設(shè)等差數(shù)列公差為，若，，則（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又，所以，故公差
故選：D
3. 已知函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再求即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則，
故選：C.
4. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線（）的焦點(diǎn)重合，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得出拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸，從得出拋物線與橢圓的右焦點(diǎn)重合，求出橢圓的右焦點(diǎn)，即可得出拋物線的焦點(diǎn)，從而得解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在軸的正半軸，
所以拋物線焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，
又橢圓方程為，所以，所以
所以橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線焦點(diǎn)也是這個(gè)，
即
故選：C
5. “”是“直線：與直線：平行”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由兩直線平行建立方程，根據(jù)充分、必要條件的定義，可得答案.
【詳解】由，可得，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，則.
綜上所述，“”可推出兩直線平行，但由兩直線平行推不出“",
所以“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，根據(jù)題意得或，結(jié)合圖形，利用橢圓的定義求出的三邊長(zhǎng)，即可求得其面積
【詳解】由橢圓：可得，，，
因?yàn)樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，則
由為等腰三角形，則可得或，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)的面積為：；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上，可得的面積為.
故選：C．

7. 若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的最小值為（）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用半徑、圓心到直線的距離、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，
可得圓心到直線的距離為，
若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，
則，整理得，即，
又，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
則的最小值為2.
故選：C.
8. 如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和且，，則E的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出輔助線，設(shè)，利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出離心率.
【詳解】由題意知延長(zhǎng) 則必過(guò)點(diǎn) ，
，
設(shè)，
則，，
由雙曲線的定義可得
，，
由可得，
在中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
則，
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B. 數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列
C. 數(shù)列{S?}的最小項(xiàng)為S??和S??D. 滿足的最大正整數(shù)n=22
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于A，令即可判斷，對(duì)于B由求出即可判斷，對(duì)于C由即可求出最小值，即可判斷，對(duì)于D由求出即可判斷.
【詳解】由有，當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)，所以為遞增數(shù)列，；故B錯(cuò)誤；
由可知二次函數(shù)開口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，由
因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故C錯(cuò)誤；
由有，所以最大正整數(shù)為，故D正確，
故選：AD.
10. 已知和，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)
B. 兩圓的公共弦所在直線方程為
C. 兩圓公共弦長(zhǎng)度
D. 經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】確定兩圓的圓心和半徑，確定兩圓的位置關(guān)系，可確定兩圓的位置關(guān)系，判斷A的真假；求兩圓公共弦所在直線方程，確定B的真假；求公共弦長(zhǎng)判斷C的真假；求滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷D的真假.
【詳解】因?yàn)椋海裕?
：，所以，.
所以.
對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)?，即，所以兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，故A正確；
對(duì)B選項(xiàng)：由，
所以兩圓的公共弦所在直線方程為即，故B正確；
對(duì)C選項(xiàng)：到直線的距離為：，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)度為：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)：設(shè)所求圓的方程為：（）
整理得：.
因?yàn)閳A心在直線上，所以.
所以所求圓的方程為：即，
配方得：.故D正確.
故選：ABD
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 若是棱的中點(diǎn)，則過(guò)的平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)為
C. 若與平面所成的角為，則
D. 若是棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，，由題面，所以不論在棱上如何運(yùn)動(dòng)，錐體的底和高都不會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于B選項(xiàng)，作出過(guò)的平面截正方體所得截面，再求出相關(guān)線段的長(zhǎng)即可；對(duì)于C選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，用向量法求出設(shè)面的法向量，代入線面角公式即可求范圍；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)為，連接，設(shè)外接圓圓心為，外接球球心，由正弦定理可求得，由題可證四點(diǎn)共圓，得，再構(gòu)造直角三角形用勾股定理，即可解，最后代入球表面積公式.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，因?yàn)?，因此面，所以不論在棱上如何運(yùn)動(dòng)，錐體的底和高都不會(huì)發(fā)生變化，即為定值，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，四邊形為過(guò)的平面截正方體所得截面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且面平面?br>面面，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為四等分點(diǎn)，
則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖，
則，，，設(shè)，，
所以，，，設(shè)面的法向量為，則
，令，解得，所以
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)為，連接，設(shè)外接圓圓心為，外接球球心，連接，則，
在中設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理，
所以，由題知，故，
所以弦所對(duì)的圓周角相等，故四點(diǎn)共圓，故，
設(shè)外接球半徑為，過(guò)作，交于，則中，，
即，在中，，
即，聯(lián)立解得，因此,故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】立體幾何中截面問題與外接球問題一直都是難點(diǎn)，解決于截面有關(guān)的問題，關(guān)鍵是利用平行、垂直、平面基本定理找到正確的交點(diǎn)，從而得到正確的截面；解決外接球問題的突破點(diǎn)在于根據(jù)幾何體的形狀，正確的判斷出球心的大概位置，然后構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，利用勾股定理聯(lián)立兩方程，來(lái)解決有關(guān)問題.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列項(xiàng)間關(guān)系求出公比即可.
【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，得，
因此，，所以.
故答案為：
13. 已知函數(shù)，則______________________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】求導(dǎo)，即可代入求解.
【詳解】，
故，故，
故答案為：
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓，過(guò)圓的圓心的直線與拋物線交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，其中在第一象限，若，則直線的斜率為____________．
【答案】或
【解析】
【分析】先計(jì)算拋物線方程，再設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得，根據(jù)題意即可求得直線的斜率.
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，
圓的圓心為，半徑為，
設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
代入可得，
設(shè)、，則，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，即得
解得.
故答案為：或.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)以及列方程，從而求得的值.
（2）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①．
又，，
所以②，
由①②解得：，．
【小問2詳解】
由（1）知，
又因?yàn)椋?br>所以曲線在處的切線方程為，
即．
16. 在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上；在等比數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題可得通項(xiàng)公式，然后由題目條件結(jié)合等比數(shù)列知識(shí)可得通項(xiàng)公式；
（2）由分組求和法可得答案.
【小問1詳解】
易知
故求數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為
.
【小問2詳解】
由（1）知：
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
則數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，底面矩形，，是PD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）求平面與平面夾角．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，即可線線垂直求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，即可求解；
（2）求解平面法向量，利用法向量的夾角求解即可.
【小問1詳解】
方法一：因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>因?yàn)椋矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，M是PD的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>法二：因?yàn)槠矫妫宜倪呅螢榫匦?，所以兩兩垂直?br>故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又因，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，且，
則，故，取，則，
因?yàn)椋?，所以，所以平?br>【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
由（1）知平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，?br>所以，令，得．
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角為．
18. 已知公差為2的等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（?。┣螅?br>（ⅱ）若不等式對(duì)任意的恒成立，求λ的最大值．
【答案】（1）；
（2）（?。?br>（ⅱ）λ的最大值為7
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由遞推公式可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出數(shù)的通項(xiàng)公式；
（2）（?。┯桑?）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出；（ⅱ）由，可得，構(gòu)造數(shù)列，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求得的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，所以，
所以，解得，所以，
因，所以，
所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
【小問2詳解】
（?。┮?yàn)椋?br>所以，
所以，
兩式相減得
，
所以；
（ⅱ）由，可得，令，
則，
所認(rèn)單調(diào)遞增，所以，所以λ的最大值為7．
19. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)的
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設(shè)，的面積分別為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而可得；
（2）設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立橢圓可得，進(jìn)而得，，由直線的方程為，得，進(jìn)而可得；
（3）設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓方程為，進(jìn)而得，，進(jìn)而得，再根據(jù)得，進(jìn)而可得，故直線恒過(guò)，進(jìn)而可得，換元后即得.
【小問1詳解】
由，，,得，，
所以橢圓的方程為；
【小問2詳解】

顯然直線的的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
聯(lián)立方程，消去整理，
則，且，，
又因?yàn)橹本€的方程為，
令，得Q的橫坐標(biāo)為
代入，，得
所以為定值.
【小問3詳解】

依題意，，，設(shè)，，直線斜率為，
若直線的斜率為0，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，必有，不合題意.
所以直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，
聯(lián)立方程，消去得，
則，，，
因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，滿足，
所以，
則，，
因?yàn)椋?br>得，
得
得，得，此時(shí)
故直線恒過(guò)軸上一定點(diǎn)，，，
所以故，
得，令，
則，
故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問，注意到若斜率為0不合題意，可設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程為，進(jìn)而得，，進(jìn)而得，再根據(jù)得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可確定恒過(guò)，故，進(jìn)而換元后求最大值即可.

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