一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．等差數(shù)列中，若，，則等于（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切
4．已知直線，且，則實數(shù)a的值為（ ）
A．5B．1C．5或D．
5．已知直線l：是圓C：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為A，則（ ）
A．B．7C．D．2
6．若成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)列：（1）;（2）;（3），必成等比數(shù)列的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．設(shè)點，若經(jīng)過點的直線關(guān)于軸的對稱直線與圓有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知在數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點在圓外
B．圓與軸相切
C．若圓截軸所得弦長為，則
D．點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為
10．已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列命題正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的通項公式
B．
C．?dāng)?shù)列的通項公式為
D．
11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足，設(shè)點的軌跡為圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓的方程是
B．過點向圓引切線，兩條切線的夾角為
C．過點作直線，若圓上恰有三個點到直線的距離為，則該直線的斜率為
D．過直線上的一點向圓引切線，則四邊形的面積的最小值為
三、填空題
12．已知點，O0,0，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
13．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
14．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的取值范圍是 ．
四、解答題
15．在平面直角坐標(biāo)系中，的邊所在直線方程為，邊所在直線方程為，點在邊上．
(1)若是邊上的高，求直線的方程；
(2)若是邊上的中線，求直線的方程．
16．等差數(shù)列的前項和記為，已知，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式，并求取到最小值時的值；
(2)求數(shù)列的前16項的和．
17．已知，直線：與圓：交于，兩點．
(1)求證：直線過定點；
(2)若直線將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧，求直線的方程；
(3)求面積的最大值．
18．?dāng)?shù)列的前項和記為，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)對于（2）中的數(shù)列，問是否存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．
19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切．
(1)求圓的方程；
(2)設(shè)，過點作斜率為的直線，交圓于、兩點．
①點總在以線段為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍；
②設(shè)，是圓與軸的兩個交點（在的上方），證明：與的交點在定直線上．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.
【詳解】由直線得其斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為（），則，
所以，所以直線的傾斜角為，
故選：D
2．C
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公差即可計算得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，
所以.
故選：C
3．D
【分析】根據(jù)即可判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】由題意知，，
所以，則，
所以兩圓內(nèi)切.
故選：D
4．D
【分析】根據(jù)給定條件，列出方程求解，再驗證判斷作答.
【詳解】直線，，由解得或，
當(dāng)時，直線與重合，不符合題意，
當(dāng)時，直線與平行，
所以實數(shù)a的值為.
故選：D
5．B
【分析】根據(jù)題意分析可得直線l過圓心，可求得，再根據(jù)圓的切線長公式運算求解.
【詳解】由題意可知：直線l：過圓心，則，解得，
故圓C：的圓心為，半徑，且點，
∵，
∴.
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為( )，利用等比數(shù)列的定義即可結(jié)合所給式子進(jìn)行判斷.
【詳解】成等比數(shù)列，設(shè)公比為 ，則均不為0，且，
，故成等比數(shù)列，且公比為，
因此成等比數(shù)列，且公比為，
，當(dāng)時，成等比數(shù)列，且公比為，但當(dāng)時，不是等比數(shù)列，
故選：C
7．C
【分析】設(shè)直線的斜率為，則的斜率，進(jìn)而：，利用直線與圓的位置關(guān)系和點線矩公式可得，解之即可求解.
【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，則，
由題意知，直線的斜率為.
點關(guān)于軸對稱的點為，
所以，即，
由知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
又直線與圓有公共點，所以，
整理得，解得，
即直線的斜率的取值范圍為.
故選：C
8．A
【分析】根據(jù)取倒數(shù)法可得，由等差數(shù)列的定義和通項公式可得，進(jìn)而，結(jié)合裂項相消法求和即可.
【詳解】由，得，即，
又，所以，
則是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
得，故，得，
所以，
所以
.
故選：A
9．AD
【分析】利用點與圓的位置關(guān)系可判斷A選項；求出圓心到軸的距離，可判斷B選項；利用弦長的一半、弦心距以及圓的半徑三者滿足勾股定理求出的值，可判斷C選項；對原點在圓上、圓外進(jìn)行分類討論，求出點到圓上一點的最大距離和最小距離，可判斷D選項.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
對于A選項，若，則有，即點在圓外，A對；
對于B選項，因為圓心到軸的距離為，而與的大小關(guān)系不確定，
所以，圓與軸不一定相切，B錯；
對于C選項，若圓截軸所得弦長為，則，解得，C錯；
對于D選項，當(dāng)時，點在圓上，
點到圓上一點的最大距離為，點到圓上一點的最小距離為，則；
當(dāng)時，則點在圓外，且，
所以，點到圓上一點的最大距離為，最小距離為，
則點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為.
綜上所述，點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為，D對.
故選：AD.
10．ABD
【分析】根據(jù)已知條件求得公比的值，代入等比數(shù)列通項公式及等比數(shù)列求和公式計算判斷選項ABC，再運用裂項相消法求和可求得數(shù)列的前項和為判斷D選項.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
所以，故A項正確；
所以，故B項正確；
所以，故C項錯誤；
因為，
所以，
由，，有，
又因為單調(diào)遞增，所以，所以取值范圍為，故D項正確.
故選：ABD.
11．ABD
【分析】對于A，設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)代入化簡，可得A正確；
對于B，設(shè)切線夾角為，可得，解得B正確；
對于C，若圓上恰有三個點到直線的距離為，可判斷直線與圓相切，進(jìn)而可解得，故C錯誤；
對于D，由條件可表達(dá)四邊形的面積為，求的最小值，計算可得D正確.
【詳解】對于A，因為，點滿足，設(shè)，則，
化簡得，，即，故A正確；
對于B，因為，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，解得，則，故B正確；
對于C，易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，
因為圓上恰有三個點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；
對于D，由題意可得，故只需求的最小值即可，的最小值為點到直線的距離，即，所以四邊形的面積的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
12．
【分析】對于本題，我們先求出線段的垂直平分線方程，然后聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到頂點的距離求出半徑，最后寫出外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】對于和，中點坐標(biāo)為.
再求線段的斜率.
那么垂直平分線的斜率為（因為兩條垂直直線的斜率乘積為）.
利用點斜式，可得線段垂直平分線方程為，即.
線段的中點坐標(biāo)為.
線段在軸上，其垂直平分線為.
聯(lián)立，把代入，
得，解得.
所以圓心坐標(biāo)為.
根據(jù)兩點間距離公式，圓心到的距離就是半徑.
.
根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得.
則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
13．
【分析】由題意根據(jù)等差數(shù)列的前項和可得，再利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列的通項即可得解.
【詳解】因為，
所以，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
，
所以.
故答案為：.
14．
【分析】由題意可得，得到，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為實數(shù)、、、滿足，，
可知Ax1,y1,Bx2,y2在圓，
設(shè)，，
所以，所以，
所以不妨設(shè)，，
所以
，
又，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）聯(lián)立直線、的方程，得出點的坐標(biāo)，可得出直線的斜率，根據(jù)可得出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；
（2）設(shè)，則點關(guān)于的對稱點為在直線上，可求出的值，可點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，即直線的方程.
【詳解】（1）由得，所以，直線的斜率為，
因為，所以，直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
（2）點在直線上，設(shè)，
點關(guān)于的對稱點為在直線上，
所以，解得，即點，
直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
16．(1)，當(dāng)取得最小值時，；
(2).
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，求得的首項和公差，即可求出通項公式，再求Sn取到最小值時的即可；
（2）判斷的正負(fù)，脫去絕對值，再求數(shù)列的和即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得：，
即，
解得，，所以；
由，可得，解得，
因為，所以時，取得最小值時，；
（2）由（1）可知，均為負(fù)數(shù)，且從開始，后面每一項均為正數(shù)，
故
；
故數(shù)列的前16項的和.
17．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化為，再解方程組即可求得直線恒過的定點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意，求得，以及圓心到直線的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式求得，即可求得直線方程；
（3）由，結(jié)合直線截圓所得弦長公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，即可求得面積的最大值.
【詳解】（1）由：，得，
因為，故可得，解得，所以直線過定點.
（2）假設(shè)直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧．
直線與圓交于，兩點，則．
圓方程為，故其圓心坐標(biāo)為，半徑，
在△中，由余弦定理，解得，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得；
又直線方程為：，
故有，整理得，解得，
所以，直線的方程為．
（3）當(dāng)時，圓心到的距離取得最大值，最大值為，
所以的取值范圍為，又，
故面積為，
其中，
故當(dāng)時，，
所以面積的最大值為．
18．(1)
(2)
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）由已知得出，令可求出的值，令，由可得出，兩式作差可推出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求出，利用錯位相減法可求得；
（3）由可得，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因為，所以，
所以當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
所以，整理可得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．
（2）因為，所以，，①
可得，②
①②可得
，
因此，.
（3）結(jié)合（2），，
令，即，即，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，數(shù)列為遞減數(shù)列，
，，
故對所有正整數(shù)，，
所以不存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列．
19．(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)圓與直線相切的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線距離公式求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的方程.
（2）對于直線與圓相交的問題：
①要判斷點在以線段為直徑的圓內(nèi)，根據(jù)向量的數(shù)量積小于0來求解.
②通過設(shè)出交點坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程，利用交點坐標(biāo)滿足的方程來證明交點在定直線上.
【詳解】（1）設(shè)圓心為，，則圓的方程為
，，，
圓的方程為；
（2）①設(shè)的方程為，，
代入，并整理得,
則，，且,
因為點在以為直徑的圓內(nèi)，所以,
即,
由于，，所以,
所以，解得.
所以的取值范圍是．
②由圓方程知，其與軸的兩個交點為，,
方程為，方程為,
消去得：,
所以,
即有與的交點在定直線上．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
D
B
C
C
A
AD
ABD
題號
11









答案
ABD









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