題型一：集合的新定義問題
（24-25高三上·山東·期中）已知集合，集合，記的元素個(gè)數(shù)為.若集合中存在三個(gè)元素，，，使得，則稱為“理想集”.
(1)若，分別判斷集合，是否為“理想集”（不需要說明理由）；
(2)若，寫出所有的“理想集”的個(gè)數(shù)并列舉；
(3)若，證明：集合必為“理想集”.
1．（24-25高三上·廣東·月考）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整數(shù)m，使集合S中的任意一對元素，，都有，則稱集合S具有性質(zhì)P.
(1)當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(3)當(dāng)，時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.
2．（24-25高三上·北京·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.記的元素個(gè)數(shù)為（），的元素個(gè)數(shù)為（）.
(1)若，，，，，寫出所有滿足條件的集合（結(jié)論不要求證明）；
(2)若，且對任意的，都有，求的最大值；
(3)若給定整數(shù)，（）且對任意，都有，求的最大值.
題型二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的新定義問題
（23-24高三上·北京·月考）設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號的充要條件
1．（24-25高三上·湖北·期中）把滿足任意，總有的函數(shù)稱為“類余弦型”函數(shù).
(1)已知為“類余弦型”函數(shù)，，求f1的值；
(2)在（1）的條件下，定義數(shù)列：，求的值；
(3)若為“類余弦型”函數(shù)，且，對任意非零實(shí)數(shù)，總有.設(shè)有理數(shù)，滿足，判斷與的大小關(guān)系，并給出證明.
2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，若其定義域?yàn)?，且滿足對一切恒成立，則稱為一個(gè)“逆構(gòu)造函數(shù)”.
(1)設(shè)，判斷是否為“逆構(gòu)造函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)是“逆構(gòu)造函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)已知“逆構(gòu)造函數(shù)”滿足對任意的，都有，且. 求證：對任意，關(guān)于的方程無解.
題型三：復(fù)數(shù)與不等式的新定義問題
（24-25高三上·江蘇泰州·月考）已知常數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程．
(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解該方程．
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)該方程的復(fù)根分別為，證明：
(3)如果多項(xiàng)式的系數(shù)是復(fù)數(shù)，那么稱該多項(xiàng)式為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式．已知任何一元次）復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)根．證明：有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．
(4)將題設(shè)的常數(shù)“”改為“”，并證明：（2）仍然成立．
1．（24-25高三上·山東棗莊·月考）對于四個(gè)正數(shù)m、n、p、q，若滿足，則稱有序數(shù)對是的“下位序列”．
(1)對于2、3、7、11，有序數(shù)對是的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；
(2)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷、、之間的大小關(guān)系；
(3)設(shè)正整數(shù)n滿足條件：對集合內(nèi)的每個(gè)m，總存在正整數(shù)k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)n的最小值．
2．（23-24高三下·遼寧·模擬預(yù)測）柯西不等式在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的n元形式為：設(shè)，，不全為0，不全為0，則，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)k，使得時(shí)，等號成立．
(1)請你寫出柯西不等式的二元形式；
(2)設(shè)P是棱長為的正四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到四個(gè)面的距離分別為，，，，求的最小值；
(3)已知無窮正數(shù)數(shù)列滿足：
①存在，使得；
②對任意正整數(shù)i、，均有.
求證：對任意，，恒有.
題型四：三角函數(shù)的新定義問題
（24-25高三上·全國·專題練習(xí)）對于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對的的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”．
(1)若集合，，求A相對的的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”；
(2)若集合，是否存在，，使得相對任何常數(shù)的“正弦標(biāo)準(zhǔn)差”是一個(gè)與無關(guān)的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由．
1．（24-25高三上·江西宜春·期中）定義有序?qū)崝?shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”為．
(1)記有序數(shù)對(1,－1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若，求滿足要求的所有x的集合；
(2)記有序數(shù)對(0,1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)已知，若有序數(shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)b在區(qū)間(0,]變化時(shí)，求的取值范圍．
2．（24-25高三上·甘肅蘭州·月考）人臉識別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為
(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)已知，，，若，，求的值
題型五：平面向量的新定義問題
（24-25高三上·河南·期中）如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.
(1)若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；
(2)已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；
(3)若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.
1．（24-25高三上·浙江紹興·月考）維向量是平面向量和空間向量的推廣，對維向量，記，設(shè)集合.
(1)求，；
(2)（i）求中元素的個(gè)數(shù)；
（ii）記，求使得成立的最大正整數(shù).
2．（24-25高三上·河南駐馬店·月考）給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對于D上任意的點(diǎn)P，為與P無關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).
(1)已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；
(2)若圖形D是邊長為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.
題型六：數(shù)列的新定義問題
（24-25高三上·福建泉州·期中）若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．
(1)判斷數(shù)列：1，3，5，10，152是否為“數(shù)列”，并說明理由；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為2的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，證明：．
1．（24-25高三上·江西上饒·月考）數(shù)列、滿足：是等比數(shù)列，，且．
(1)求、．
(2)求集合中所有元素的和．
(3)對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試別斷數(shù)列、是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由．
2．（24-25高三上·山東青島·期中）如果正項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，即，我們稱其為“1的對稱數(shù)列”，例如：數(shù)列2，3，，與數(shù)列3，2，1，，都是“1的對稱數(shù)列”．
(1)設(shè)是項(xiàng)數(shù)為8的“1的對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，請依次寫出的每一項(xiàng)；
(2)設(shè)數(shù)列是13項(xiàng)的“1的對稱數(shù)列”，其中是等比數(shù)列，，求數(shù)列的所有項(xiàng)和的最小值；
(3)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)的“1的對稱數(shù)列”，數(shù)列前項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（注：）
題型七：立體幾何的新定義問題
（24-25高三上·廣東廣州·月）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；
(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點(diǎn)C處的離散曲率為．

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；
②若點(diǎn)Q在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值．
1．（23-24高三下·江西新余·模擬預(yù)測）我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”.

(1)如左圖，在四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，證明：的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn).
(2)同左圖，若為垂棱四面體，，求直線與平面所成角的正弦值.
(3)如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與交于兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù)，求的定義域與最小值.
2．（24-25高三上·湖南長沙·月考）高斯-博內(nèi)公式是大范圍微分幾何學(xué)的一個(gè)經(jīng)典的公式，是關(guān)于曲面的圖形（由曲率表征）和拓?fù)洌ㄓ蓺W拉示性數(shù)表征）間聯(lián)系的一項(xiàng)重要表述，建立了空間的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間的聯(lián)系.其特例是球面三角形總曲率與球面三角形內(nèi)角和滿足：，其中為常數(shù)，（如圖，把球面上的三個(gè)點(diǎn)用三個(gè)大圓（以球心為半徑的圓）的圓弧聯(lián)結(jié)起來，所圍成的圖形叫做球面三角形，每個(gè)大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個(gè)角.球面三角形的總曲率等于，為球面三角形面積，為球的半徑）.
(1)若單位球面有一個(gè)球面三角形，三條邊長均為，求此球面三角形內(nèi)角和；
(2)求的值；
(3)把多面體的任何一個(gè)面伸展成平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體.設(shè)凸多面體頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，試證明凸多面體歐拉示性數(shù)為定值，并求出.
題型八：平面解析幾何的新定義問題
（24-25高三上·浙江·月考）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)0,1的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)圓：是直線族的包絡(luò)曲線，求，滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡(luò)曲線的方程；
(3)在（1）（2）的條件下，過曲線上動(dòng)點(diǎn)向圓做兩條切線，，交曲線于點(diǎn)，，求面積的最小值.
1．（23-24高三下·江西新余·模擬預(yù)測）我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，可以用兩點(diǎn)之間距離公式刻畫兩點(diǎn)的距離，事實(shí)上，這里的距離屬于這兩個(gè)點(diǎn)的一種“度量”.在拓?fù)鋵W(xué)中，我們規(guī)定某一實(shí)數(shù)滿足：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立； ②； ③.其中，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，我們就稱是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.設(shè)：平面直角坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）內(nèi)兩點(diǎn)的“距離”.
(1)求證：兩點(diǎn)的“距離”是關(guān)于兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.
(2)設(shè)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).
（?。┤?，請?jiān)谙聢D中定性做出點(diǎn)的集合組成的圖像（不必說明理由，但要求做出特殊點(diǎn)與其特征）.
（ⅱ）求證：.
(3)規(guī)定平面內(nèi)兩條平行直線的距離為在上分別取的任意兩個(gè)點(diǎn)距離的最小值.已知不重合的直線，，，求的取值范圍.
2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，定義：若曲線和上分別存在點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)和點(diǎn)為和的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.
(1)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求點(diǎn)所在的曲線方程.
(2)若上任意一點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若和有且僅有兩對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型九：概率統(tǒng)計(jì)的新定義問題
（24-25高三上·湖北·月考）在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量的所有取值為，定義信息熵：
(1)若，且，求隨機(jī)變量的信息熵；
(2)若，求隨機(jī)變量的信息熵；
(3)設(shè)和是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，求證：.
1．（23-24高三下·湖南·月考）多樣性指數(shù)是生物群落中種類與個(gè)體數(shù)的比值.在某個(gè)物種數(shù)目為的群落中，辛普森多樣性指數(shù)，其中為第種生物的個(gè)體數(shù)，為總個(gè)體數(shù).當(dāng)越大時(shí)，表明該群落的多樣性越高.已知兩個(gè)實(shí)驗(yàn)水塘的構(gòu)成如下：
(1)若從中分別抽取一個(gè)生物個(gè)體，求兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種的概率；
(2)（i）比較的多樣性大小；
（ii）根據(jù)（i）的計(jì)算結(jié)果，分析可能影響群落多樣性的因素.
2．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）一般地，元有序?qū)崝?shù)對稱為維向量.對于兩個(gè)維向量，定義：兩點(diǎn)間距離，利用維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離最近就歸為哪類.某公司對應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計(jì)算機(jī)能力分值?溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測試報(bào)告.不同崗位的具體要求見下表：
對應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對應(yīng)四維向量的四個(gè)坐標(biāo).
(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；
(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.
（i）小剛測試報(bào)告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；
（ii）小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項(xiàng)能力分值.
題型十：高等數(shù)學(xué)背景下的新定義問題
（24-25高三上·四川自貢·期中）新信息題型是目前高考的熱點(diǎn)題型.這類題要求答題者在有限的時(shí)間內(nèi)，閱讀并理解題目所給予的信息，根據(jù)獲取的信息解答問題.請同學(xué)們根據(jù)以下信息回答問題：
(1)在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：，（其中表示的次導(dǎo)數(shù)，），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，當(dāng)時(shí)泰勒展開式也稱為麥克勞林公式，比如在處的麥克勞林公式為：，由此當(dāng)時(shí)，可以非常容易得到不等式，，，，請利用上述公式和所學(xué)知識寫出在處的泰勒展開式；（寫出展開式的前三項(xiàng)即可）
(2)設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列，，，是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列，，，是一可分?jǐn)?shù)列.請寫出所有的，，使數(shù)列，，，是—可分?jǐn)?shù)列.
1．（24-25高三上·山東濰坊·月考）設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有且沒有，則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以”，表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”.記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.
(1)若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；
(2)若，求所有取值的和；
(3)對任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：所有取值的和不大于；
(4)如果，其他條件不變，你研究（1）后得出什么結(jié)論？
2．（24-25高三上·江蘇南通·月考）小學(xué)我們都學(xué)過質(zhì)數(shù)與合數(shù)，每一個(gè)合數(shù)都能分解為若干個(gè)質(zhì)數(shù)的積，比如，等等，分解出來的質(zhì)數(shù)稱為這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因子，如2，3都是6的質(zhì)因子．在研究某兩個(gè)整數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們稱它們是互質(zhì)的，如果它們沒有相同的質(zhì)因子．例如25的質(zhì)因子只有5，而36的質(zhì)因子只有2，3，所以25，36是互質(zhì)的．為方便表示，對于任意的正整數(shù)，我們將比小且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)記為．例如，小于10且與10互質(zhì)的數(shù)有1，3，7，9，所以，同理有．
(1)求，；
(2)求所有，，使得是奇數(shù)；
(3)若正整數(shù)，其中表示互不相同的質(zhì)數(shù)．證明：.
必刷大題
1．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，．若存在區(qū)間及實(shí)數(shù)滿足：對任意，都有恒成立，則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)是否為上的函數(shù)，并說明理由；
(2)已知實(shí)數(shù)滿足：函數(shù)為上的函數(shù)，求的取值范圍；
(3)已知函數(shù)存在最大值． 對于以下兩個(gè)命題，：對任意，都有與恒成立；：對任意正整數(shù)，滿足函數(shù)都是上的函數(shù)；判斷P是否為Q的充要條件，并說明理由．
2．（24-25高三上·湖南長沙·期中）設(shè)，集合 .對于 ，記 .
(1)若 ，證明： ；
(2)若 和 都為奇數(shù)，證明： 為偶數(shù)；
(3)若 ，當(dāng) 時(shí)，求所有 之和的最大值.
3．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；
(2)設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單位向量；
(3)已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在△中，，，若點(diǎn)為該△的外心，求的最大值．
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，稱向量為的特征向量，為的特征函數(shù).
(1)設(shè)，求的特征向量；
(2)設(shè)向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；
(3)設(shè)向量的特征函數(shù)為，記，若在區(qū)間上至少有40個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.
5．（24-25高三上·河北邯鄲·期中）對于無窮數(shù)列，“若存在（、，且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？數(shù)列是否具有性質(zhì)？
(2)對于無窮數(shù)列，設(shè)，求證：若數(shù)列具有性質(zhì)，則必為有限集
(3)已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，是否存在正整數(shù)，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請加以證明；若不存在，說明理由.
6．（24-25高三上·四川·模擬測試）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，面積的最小值為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：的坐標(biāo)為，直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
7．（24-25高三上·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知：①定積分的定義：
設(shè)y=fx為定義在上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，為求軸圍成的曲邊梯形的面積，可采取如下方法：
將區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為，每個(gè)區(qū)間即可表示為，再分別過每個(gè)區(qū)間的左右端點(diǎn)作軸的垂線與y=fx圖象相交，即可得到一個(gè)小的曲邊梯形.如圖，
當(dāng)時(shí)，每個(gè)小曲邊梯形可近似看作矩形，矩形的寬即為每個(gè)小區(qū)間的長度，長可由每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替（一般用區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值），將這樣無窮多個(gè)小矩形的面積相加，所得之和即為所求的由軸圍成的曲邊梯形的面積，即，上式也記為，即對y=fx在上求定積分.
②定積分的計(jì)算：其中.
根據(jù)以上信息，回答以下問題：
(1)已知，求證：.
(2)將軸圍成的圖形面積分別表示為定積分的形式與面積和的極限形式，并求其值；
(3)試證明：.
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）記
(1)若，求和;
(2)若，求證:對于任意，都有，且存在，使得.
(3)已知定義在上有最小值，求證"是偶函數(shù)"的充要條件是“對于任意正實(shí)數(shù)，均有”.
2．（2024·全國·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．
3．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．綠藻
衣藻
水綿
藍(lán)藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
崗位
業(yè)務(wù)能力分值
管理能力分值
計(jì)算機(jī)能力分值
溝通能力分值
合計(jì)分值
會計(jì)（1）
2
1
5
4
12
業(yè)務(wù)員（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理員（4）
4
5
4
4
17

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