題型一：空間異面直線夾角的求解
（23-24高三上·河北衡水·月考）如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且是等邊三角形，.
(1)求證：平面；
(2)若是等腰三角形，求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）因為底面是平行四邊形，且是等邊三角形，
所以四邊形是菱形，則有，
又平面，平面，所以，
又，平面，平面，所以平面；
（2）設，
∵是等腰三角形，
∴，，
以O為坐標原點，射線，分別為x軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標系，
如圖，
則，，B1,0,0，，
所以，，
設與所成角為，
所以，
即與所成角的余弦值為.
1．（24-25高三上·江西南昌·開學考試）如圖，圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，是的中點，是底面圓周上一點，.
(1)求的值；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）中，，，，
根據(jù)余弦定理，.
（2）如圖，以點為原點，為軸和軸，
過點作為軸，建立空間直角坐標系，
，，，，
,，
設異面直線與所成角為，
則
所以異面直線與所成角的余弦值為.
2．（24-25高三上·上海·期中）如圖，在直三棱柱中，，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由題知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四邊形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）如圖，建立空間直角坐標系，因為，
則，，
得到，，
設直線與所成角為，則，
所以直線與所成角的余弦值為.
題型二：空間直線與平面夾角的求解
（24-25高三上·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，，，，，，，

(1)求證：平面⊥平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）因為平面平面，且平面平面，
且，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
又，且，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）
取中點為，連接，，
又因為，所以，則，
因為，所以，則，
以O為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
設是平面的一個法向量，
則，得，
令，則，，所以，
設與平面所成的角為，
則，
所以與平面所成的角的正弦值為.
1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·月考）在三棱柱中，，，，，為中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）連接，
因為，為中點，所以，
因為，所以，所以，
又，所以，所以，
又，平面，所以平面；
（2）以為坐標原點，所在直線為，
過作的平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，所以，
則，
則，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
又，所以，
設直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
2．（24-25高三上·云南大理·月考）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，.點是棱的中點，點為棱上的一點，且.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）在中，，即，
又，則有，即，
因為平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面
（2）由（1）可知，，，，
故以D為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
依題意得，，，，，，
設點，由，，三點共線，則有，
又，，
，解得，，，故，
設平面的法向量為n=x,y,z，，，
由，得，即，
取平面的一個法向量，
設直線與平面所成角為，則，，
所以，，，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
題型三：空間平面與平面夾角的求解
（24-25高三上·湖北·期中）如圖，球的半徑為，為球面上三點，若三角形為直角三角形，其中.延長與球的表面交于點.
(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成的角分別為，試求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）因為是球的直徑，所以.
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為，平面，所以平面.
（2）因為直線與平面所成的角分別為，所以.
不妨令，則，
由題設，易知，
以為坐標原點，所在直線為軸，過點作的平行線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
所以，
設平面的法向量為，平面法向量為，
由，取，得，
由，取，得，
設二面角的平面角為，則，易知.
1．（24-25高三上·福建南平·期中）如圖，在四棱錐中，點在平面上射影是的外心，且是棱的中點，且平面.

(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）分別取的中點為，連接，延長至，使得，
連接，如下圖：
在中，為中位線，則，
在中，由，則為外心，即平面，
因為平面，所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為平面，平面，所以平面.
（2）在中，，則，
因為平面，平面，所以，，
以為原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖：
在中，，則，，
在中，，則，
則，
取，
設平面的法向量為，則，
取，則，所以平面的一個法向量為；
設平面的法向量為，則，
取，則，所以平面的一個法向量為；
設二面角的大小為，
，
則.
2．（24-25高三上·北京·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形， 平面，，M為線段的動點.
(1)若直線平面，求證：為的中點：
(2)求證：平面平面
(3)若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)
【解析】（1）證明：如圖所示，連接，交于點，連接，
因為直線平面，且平面平面，平面，
所以，
又因為四邊形為正方形，所以點為的中點，所以為的中點.
（2）證明：因為四邊形為正方形，可得，
又因為平面，且平面，所以，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（3）解：因為四邊形為正方形，且平面，所以兩兩垂直，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，設，可得，
則，
設，則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
連接，由四邊形為正方形，可得，
因為平面，且平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
所以向量為平面的一個法向量，
則，解得或（舍），
所以.
題型四：空間點、線、面間的距離求解
（24-25高三上·貴州貴陽·月考）如圖，是正三角形的一條中位線，，將沿折起，得到四棱錐.
(1)證明：平面；
(2)若求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）證明：因為，
所以.
又因為平面，所以平面.
（2）解：如圖，點為坐標原點，建立空間直角坐標系，
三角形的邊長為2，
則.
設，因為，
所以
所以.
因為，所以，
所以.
設平面，
所以
故.
又，
所以點到平面的距離為.
1．（24-25高三上·廣東廣州·月考）已知四棱柱中，底面ABCD為梯形，，平面，，其中，.，分別是線段和線段上的動點，且，.

(1)求證：平面；
(2)若到平面的距離為，求的長度.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）
因為平面，平面，
所以，又，
所以兩兩垂直，
以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，
因為，，
則，
所以，
因為，所以，
所以，
又，
所以，，
設平面的法向量為，
所以，即，令，則，
所以，
所以，所以平面，
（2）若到平面的距離為，則，
又，
所以，
整理可得，解得或（舍去），
所以，所以.
2．（24-25高三上·福建福州·月考）如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，，，．
(1)證明：；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求直線BD到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）因為，，所以，
可得，又為直四棱柱，所以平面，
因為平面，所以，
且，平面，
所以平面，又平面，
可得，因為，
所以；
（2）由（1），以為原點，所在的直線分別為軸的正方向建立
空間直角坐標系，設，
則，
，
設n=x,y,z為平面的一個法向量，
則，即，令，則，，
所以，
設直線與平面所成角為，
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得，，
因為平面，平面平面，
平面平面，所以，
因為平面，平面，
所以平面，所以直線BD到平面的距離
可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離，，
.
題型五：空間幾何體的體積求解
（23-24高三上·海南?？凇ぴ驴迹┤鐖D，在長方體中，，，分別為，的中點．
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）連接，因為為正方形，所以，
又在長方體中，平面，
且平面，故．
又，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，．
設平面的一個法向量為，則，
即，令，得．
又，則點到平面的距離．
又，所以的面積為，
所以三棱錐的體積為．
1．（24-25高三上·廣東深圳·月考）如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，，劣弧的長為，為圓的直徑，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)若平面與平面夾角的正切值為，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）法一：
，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
；
法二：
圓面圓面，平面圓面，
平面圓面，，
又，；
（2）法一：
以為原點，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，，
劣弧的長為，
，，
，，
設平面的法向量為，
由，即，
令，則，，
平面的法向量為，
設平面與平面夾角為，
則，
則，
即，(負值舍去)，
即到平面距離為，
則.
法二：
如圖，過作，即平面與平面的交線為，
作于，連接，
平面，平面，，
又，平面，
平面，，
是平面與平面夾角，
的長為，
，，
，
則，，
即到平面距離為，
.
2．（24-25高三上·河南·開學考試）如圖，四棱錐中，底面四邊形為凸四邊形，且，，．
(1)證明：；
(2)已知平面與平面夾角的余弦值為，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)16
【解析】（1）因為，，
所以，所以，
同理，又，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
連接，因為，，，
所以，所以．
又，由等腰三角形三線合一，得．
因為，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）因為，，所以，
所以，又，，故，，兩兩垂直，
故以為坐標原點，
，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，所以，，
由（1）知平分，設，所以．
設平面的法向量為，則，
令，得，，所以，
設平面的法向量為，則，
令，得，，所以，
設平面與平面夾角的大小為，
則，
兩邊平方并化簡得，解得或．
因為，，所以點到的距離為，
因為四邊形為凸四邊形，所以，所以不合題意，
即，則，可得，
所以．
題型六：空間幾何體的翻折問題
（23-24高三下·山東·模擬預測）如圖，在菱形中，，是的中點，將沿直線翻折使點到達點的位置，為線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）取線段的中點為，連接，
因為為線段的中點，所以，且；
又是的中點，所以，且；
所以 ，且，故四邊形為平行四邊形；
所以，
因為平面，平面，
所以 直線平面；
（2）因為是的中點，所以，所以；
因為平面平面，平面平面，
所以平面.
以為原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
設，則，，，，
則，，，
設平面的法向量為，則即，
取，則，
設直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角為.
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在長方形中，，，點是邊的中點，如圖甲所示.將沿翻折到，連接，，得到四棱錐，其中，如圖乙所示.
(1)求證：平面平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】（1）連接，因為是中點，所以，
從而，所以，
又，所以，所以，
，平面，
所以平面，又因為平面，
所以平面平面；
（2）取的中點，連接，則，又平面平面，平面平面，
所以平面，
，
以為原點，過平行于的直線為軸，為軸，
過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，
，
設平面的一個法向量是，
則，取得，
設平面的一個法向量是，
則，取，得，
，
所以平面和平面夾角的余弦值為．
2．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.

(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.
【答案】(1)證明見解析；(2)或
【解析】（1）由題意知為等腰直角三角形，又為的中點，
所以，，，
由，解得，
當時，有，即，
而平面，故平面；
（2）以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
又，
所以
所以，，
所以，
于是，
設平面的法向量為，
則，不妨取，解得，
設，則，，
因為為中點，為中點，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面和平面的交線為，平面，
所以，又為上異于的一點，所以，即與共線，
設為，則，
故，
因此.
設直線與平面所成角為，
則，
化簡得，解得或，
當時，則，
當時，則，
因此或.
題型七：空間動點存在性問題的探究
（24-25高三上·四川德陽·月考）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動點.
(1)若為中點，證明：平面；
(2)若，在線段上是否存在點使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點位置，若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析
【解析】（1）連接，交于點，
因為底面為矩形，故為BD的中點，
又因為為的中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）底面為矩形，所以，
平面，又平面，
，
如圖，以為原點，所在直線為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，
由題意得，，
設，設，
所以，可得，
所以，
，，，
設面的法向量為，
則，
取，則，
為平面的一個法向量，
設面的法向量為，
則，
取，則，
可取，
設面與面夾角為，
則，
化簡得，即，
解得或（舍），
所以在線段上存在點使得面與面夾角余弦值為，
此時，即點為（靠近點）的三等分點.
1．（24-25高三上·江西南昌·月考）如圖，在矩形紙片中，，沿將折起，使點到達點的位置，且滿足平面⊥平面.
(1)求證：平面平面，并求的長度；
(2)若是線段上（不包括端點）的一個動點，是否存在點，使得直線與平面的夾角為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明過程見解析，；
(2)存在點，使得直線與平面的夾角為，，理由見解析
【解析】（1）過點作⊥于點，
因為平面⊥平面，交線為，⊥，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
又⊥，，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以平面平面，
因為⊥平面，平面，所以⊥，
又，由勾股定理得；
（2）存在點，使得直線與平面的夾角為，此時，理由如下：
以為坐標原點，所在直線分別為軸，
垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，
由（1）知，，，故，
由勾股定理逆定理得⊥，且，
所以，
過點作⊥于點，
由（1）知，平面平面，故⊥平面，
且，，
所以，
其中，設，，
設，則，
解得，故，
設平面的一個法向量為，
則，
令，則，
所以，
與平面的夾角為，故與夾角為或，
又，
所以，即，
解得，則.
2．（24-25高三上·湖南·月考）如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺，側(cè)棱長為為棱上的動點.
(1)求證：平面；
(2)是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點為中點
【解析】（1）延長三條側(cè)棱交于一點，如圖所示，
由于，所以，
所以，所以，同理.
又，平面，
所以平面，即平面.
（2）由（1）知，如圖建立空間直角坐標系，
則，，
所以，.
設，
則，
設平面和平面的法向量分別為，
所以
取，
則.
整理得，即，所以或（舍），
故存在點（點為中點時），滿足題意.
必刷大題
1．（24-25高三上·江蘇揚州·月考）已知三棱錐底面，點是的中點，點為線段上一動點，點在線段上.
(1)若平面，求證：為的中點；
(2)若為的中點，求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）連接，因為平面平面，
平面平面，所以，
又因為是的中點，所以是中點；
（2）方法一：因為底面，如圖建立坐標系，
則，可得，，
設平面的法向量為n=x,y,z，則，
令，則，可得，
，
設直線與平面所成角為，
則，又，則，
因此直線與平面所成角的余弦值為.
方法二：過點作交于，連接，
因為底面底面，則，
且平面，則平面，
由平面，可得，且，
平面，所以平面，
可知即為直線與平面所成角，
在中，，則，所以，
又，，則，
所以直線與平面所成角的余弦值為.
2．（24-25高三上·江蘇蘇州·月考）如圖，在平行四邊形中，，以為折痕將折起，使點M到達點D的位置，且.
(1)證明：平面平面.
(2)Q為線段上一點，P為線段上一點，且，求點P到平面ABQ的距離.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由題意平行四邊形ABCM中，，則，又，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以平面平面；
（2）由于，平面，平面平面，所以平面，
以為軸，平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
又Q為線段上一點，P為線段上一點，且，
則，，
，
設平面的一個法向量是，
則，取，則，
又，
則到平面的距離等于，
3．（24-25高三上·浙江寧波·模擬考試）在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，，.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）
取的中點為，連接，
因為是邊長為2的等邊三角形，所以，，
在直角三角形中，， 為中點，所以，
又，所以，
所以，即，又為平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，又在平面內(nèi)，
所以平面平面.
（2）
由（1）知過作的平行線作為軸，分別為軸，
則，
所以，,
設平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
設平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
設平面與平面的夾角為，
則.
4．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，
【解析】（1）證明：∵在梯形中，，
，，為的中點，
∴，，，
∴是正三角形，四邊形為菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC，
∴平面ABC，
∵平面，
∴平面⊥平面ABC.
（2）存在，，理由如下：
∵平面，OP⊥AC，
∴，，兩兩互相垂直，
如圖，以點為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系.
則，，，，
∴，，
設平面的一個法向量為，則
，即，令，則，，
，
設，
∵，，
∴，
設與平面所成角為，則，
即，，解得，
∴線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.
5．（24-25高三上·北京·期中）如圖，在四棱錐中，直線平面.，，，，，平面平面，F(xiàn)為線段的中點，E為線段上一點.
(1)證明：；
(2)證明：；
(3)是否存在點E，使得點E到平面的距離是，若存在求出的值，若不存在請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，.
【解析】（1）證明：因為平面，平面，平面平面，
所以；
（2）因為，F(xiàn)為線段的中點，
所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以；
（3）取的中點，連接，過作‖，交于，
因為F為線段的中點，，所以‖，
因為，所以，所以，
由（2）可知平面，平面，
所以，
所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
因為‖，，，
所以四邊形為矩形，
所以，
因為，所以,
因為，所以，
所以，
因為，，所以為等邊三角形，
所以，，
設，則，
因為，
所以，，
設平面的法向量為，則
，令，則，
若點E到平面的距離是，則，
所以，解得，
所以，所以.
6．（24-25高三上·浙江·月考）在四棱錐中，，，底面，點O在上，且.
(1)求證：；
(2)若，，點在上，平面，求的值；
(3)若，二面角的正切值為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).
【解析】（1）連接，
因為底面，平面，
所以，即，
又，，所以，
所以，故
又，
所以，，
又，所以，
因為底面，平面，
所以，
又，
所以；
（2）連接交于點，連，
因平面，平面平面，平面，
所以，故，
因為，，
所以，故四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
又，所以，
因，，點為的中點，
所以，，
故，設，
則，，
在中，
由余弦定理可得，
所以，于是；
（3）以點為原點，，，為，，軸正方向建立如圖所示的坐標系，
則 ,
所以 ,
設n1=x1,y1,z1為平面的法向量,
所以，
故，令，則，
所以為平面的一個法向量，
過點作于，
因為底面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
故二面角的平面角為，
由已知，
所以，于是 ，，
又，所以，又，
所以，故，
所以點的橫坐標為，縱坐標為，
所以點的坐標為，
所以，
設平面的法向量，
所以，
兩式相減得，
令，則，
所以為平面的一個法向量，,
所以，
觀察可得二面角的平面角為銳角，
所以二面角的余弦值為 .
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
(1)若為線段中點，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）取的中點為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因為，故，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則
設平面的法向量為，
則由可得，取，
設平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）因為為的中點，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，
平面，所以平面；
（2）如圖所示，作交于，連接，
因為四邊形為等腰梯形，，所以，
結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點，所以，
又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，
因為，所以，所以互相垂直，
以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，
，，，
，設平面的法向量為m=x1,y1,z1，
平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，即，令，得，即m=3,3,1，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.
3．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，
由是的中點，得，
所以，
設平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）（1）因為平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因為，所以， 根據(jù)平面知識可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如圖所示，過點D作于，再過點作于，連接，
因為平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，
即，即．
因為，設，則，由等面積法可得，，
又，而為等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
5．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點，

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)
【解析】（1）取中點，連接，，
由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
則有、、，
設平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點到平面的距離為.
1、求異面直線所成角一般步驟：
（1）平移：選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．
（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．
（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角．
2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：
（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；
（2）中位線平移法；
（3）補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．
3、異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
1、垂線法求線面角（也稱直接法）：
（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；
（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；
（3）把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求線面角（也稱等體積法）：
用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解。
公式為：sinθ=hl，其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長。
方法：已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，
平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個方法對于無棱二面角的求解很簡便。
4、直線與平面所成角：設是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.
1、幾何法
（1）定義法（棱上一點雙垂線法）：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．
（2）三垂線法（面上一點雙垂線法）：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角
（3）垂面法（空間一點垂面法）：過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面積法求二面角
2、向量法：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
1、幾何法求點面距
（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；
（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；
（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點到面的距離．
2、向量法求空間距離：
（1）點面距：已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為
（2）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
（3）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
1、處理空間幾何體體積的基本思路
（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；
（2）拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算；
（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱復原乘一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。
2、求體積的常用方法
（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算；
（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；
（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換
翻折問題的兩個解題策略
1、確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決
2、確定翻折后關鍵點的位置：所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的變化．只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計算
借助于空間直角坐標系，把幾何對象上動態(tài)點的坐標用參數(shù)(變量)表示，將幾何對象坐標化，這樣根據(jù)所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組．若方程或方程組在題設范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在．

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