2025年新高考數(shù)學突破新定義壓軸題綜合講義專題07線性代數(shù)背景下的新定義(三大題型)專題特訓(學生版+解析)

這是一份2025年新高考數(shù)學突破新定義壓軸題綜合講義專題07線性代數(shù)背景下的新定義(三大題型)專題特訓(學生版+解析)，共40頁。
題型一：行列式背景
題型二：矩陣背景
題型三：向量組背景
【典型例題】
題型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·高三·云南曲靖·階段練習）定義行列式運算： ，若函數(shù) （，）的最小正周期是，將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.
【典例1-2】（2024·高一·北京·期末）對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達式稱為二階行列式（determinant），記作，
（1）求下列行列式的值：
①；②；③；
（2）求證：向量與向量共線的充要條件是；
（3）討論關(guān)于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解.（結(jié)果用二階行列式的記號表示）.
【變式1-1】（2024·高二·全國·單元測試）我們用（，、、、）表示矩陣的第行第列元素.已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，.
（1）求；
（2）求關(guān)于，的關(guān)系式；
（3）設行列式，求證：對任意、，、、時，都有.
題型二：矩陣背景
【典例2-1】（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?shù)，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機器學習等前沿領域有重要的應用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣求.
(3)矩陣，證明：，，.
【典例2-2】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）由個數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．
(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；
(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．
（i）求；
（ii）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】（2024·高二·北京豐臺·期末）已知數(shù)表，，，其中，，分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．
(1)若數(shù)表，，且是，的生成數(shù)表，求；
(2)對，，
數(shù)表，，與滿足第i行第j列的數(shù)對應相同（）.是，的生成數(shù)表，且．
（?。┣螅?；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值．
【變式2-2】（2024·高二·北京·學業(yè)考試）已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.
①任意中有三個，一個3；
②存在，使中恰有三個數(shù)相等.
(1)判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無需證明）
(2)是否存在數(shù)表由生成？說明理由；
(3)若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.
題型三：向量組背景
【典例3-1】（2024·高一·上海·階段練習）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．
【典例3-2】（2024·高一·上海奉賢·期末）對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“好向量”
(1)若是向量組的“好向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知，，均是向量組的“好向量”，試探究的等量關(guān)系并加以證明．
【變式3-1】（2024·高三·上海寶山·期末）對于一組向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”.
（1）設，若是向量組，，的“向量”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）已知??均是向量組，，的“向量”，其中，.設在平面直角坐標系中有一點列，，…滿足：為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與關(guān)于點對稱，求的最小值.
【過關(guān)測試】
1．（2024·高一·四川成都·期中）定義行列式運算： ，若函數(shù)（）的最小正周期是.
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.
2．（2024·高二·上海寶山·階段練習）已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．
（1）行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，
①求和的通項公式；
②設是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．
3．（2024·高一·吉林延邊·期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù);又定義行列式; 函數(shù)（其中）
（1）證明: 函數(shù)在上也是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)的最大值為，求的值；
（3）若記集合恒有，恒有,求滿足的的取值范圍.
4．（2024·湖北孝感·模擬預測）定義矩陣運算：．已知數(shù)列，滿足，且．
(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項和．
5．（2024·高二·陜西西安·期中）有個正數(shù)，排成矩陣（行列的數(shù)表）：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
6．（2024·高二·江蘇蘇州·期中）設2階方矩陣，則矩陣A所對應的矩陣變換為：，其中，，其意義是把點變換為點，矩陣M叫做變換矩陣.
(1)當變換矩陣時，點，經(jīng)矩陣變換后得到點分別是，，求經(jīng)過，的直線的方程；
(2)當變換矩陣，點經(jīng)矩陣的作用變換后得到點，求實數(shù)m，n的值.
7．（2024·上海·模擬預測）設A是由個實數(shù)組成的2行n列的矩陣，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零．記為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合．記為A的第一行各數(shù)之和，為A的第二行各數(shù)之和，為A的第i列各數(shù)之和．記為、、、、…、中的最小值．
(1)若矩陣，求；
(2)對所有的矩陣，求的最大值；
(3)給定，對所有的矩陣，求的最大值．
8．（2024·高三·河南·期末）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，， 為單位正交基底. 以 為坐標原點、分別以，，的方向為 軸、 軸、 軸的正方向建立空間直角坐標系，已知，是空間直角坐標系中異于 的不同兩點
(1)①若，，求；
②證明.
(2)記的面積為 ，證明：.
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.
9．（2024·高一·貴州·期末）如圖一，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，請根據(jù)以下信息，處理問題（1）和（2）.信息一：為坐標原點，，若將順時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.
（1）求證：，（外層“”表示取絕對值）；
（2）如圖二，已知三點，，，試用（1）中的結(jié)論求的面積.
10．（2024·高二·上海浦東新·期中）對于一組向量，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”；
（1）設，若是向量組，，的“向量”，求的范圍；
（2）若，向量組是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由.
11．（2024·高一·山西大同·階段練習）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設為正整數(shù)，數(shù)集中的個元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設的夾角為，則．
(1)設，解決下面問題：
①求；
②設與的夾角為，求；
(2)對于一個元向量，若，稱為維信號向量．規(guī)定，已知個兩兩垂直的120維信號向量滿足它們的前個分量都相同，證明：．
12．（2024·高一·遼寧撫順·開學考試）在第六章 平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運算：若，，則.請按這種運算，解答如下兩道題.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
13．（2024·高二·上海徐匯·期中）對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”
（1）若是向量組的“長向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知，，均是向量組的“長向量”，試探究，，的等量關(guān)系并加以證明．
專題07 線性代數(shù)背景下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：行列式背景
題型二：矩陣背景
題型三：向量組背景
【典型例題】
題型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·高三·云南曲靖·階段練習）定義行列式運算： ，若函數(shù) （，）的最小正周期是，將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由題意：，
∵，即，
∴，
∴的圖象向右平移個單位后得，
此函數(shù)為奇函數(shù)，則，
∵，∴，
∴，
由，可得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為；
（2）由上可得，
∴，
當時，；
當時，，
又，適合此式，
∴，
∴，
∴．
【典例1-2】（2024·高一·北京·期末）對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達式稱為二階行列式（determinant），記作，
（1）求下列行列式的值：
①；②；③；
（2）求證：向量與向量共線的充要條件是；
（3）討論關(guān)于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解.（結(jié)果用二階行列式的記號表示）.
【解析】（1）①
②；
③.
（2）證明：若向量與向量共線，則：
當時，有，即，
當時，有，即，
∴必要性得證.
反之，若，即，
當c，d不全為0時，即時，
不妨設，則，∴，
∵，∴，∴，∴與共線，
當且時，，∴與共線，
充分性得證.
綜上，向量與向量共線的充要條件是.
（3）用和分別乘上面兩個方程的兩端，然后兩個方程相減，消去y得：
，①
同理，消去x，得：
，②
∴當時，即時，由①②得：
，，
∴當時，關(guān)于x，y的二元一次方程組（）有唯一解，
且，.
【變式1-1】（2024·高二·全國·單元測試）我們用（，、、、）表示矩陣的第行第列元素.已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，.
（1）求；
（2）求關(guān)于，的關(guān)系式；
（3）設行列式，求證：對任意、，、、時，都有.
【解析】由于該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，，則矩陣中第一行的公差為1，第二行的公差為2，從而第三行的公差為3，即有第行的公差為，則有第一列的公差為1，第二列的公差為2，從而第列的公差為，
則由等差數(shù)列的通項公式，即可得到
所以（1）
所以（2）
（3）證明：由于行列式，
即有，
則
，
故對任意，，，，時，都有
題型二：矩陣背景
【典例2-1】（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?shù)，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機器學習等前沿領域有重要的應用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣求.
(3)矩陣，證明：，，.
【解析】（1）由題意得.
若，則，即.
因式分解得.因為，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由題得第1對角線上的平方和為，
第2對角線上的平方和為
，
第對角線上的平方和為
，
第對角線上的平方和為，
所以
所以.
（3）由題意知，證明
等價于證明，
注意到左側(cè)求和式，
將右側(cè)含有的表達式表示為求和式有
故只需證成立，
即證成立，令，
則需證成立，
記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【典例2-2】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）由個數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．
(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；
(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．
（i）求；
（ii）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．
【解析】（1），則，即，
解得，
則，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取驗證不成立，
整理得到，，
當時，，不成立；當時，；當時，；
現(xiàn)說明當時不成立：
設，，，則，，
故單調(diào)遞增，，
設，，，，，
故單調(diào)遞減，，，，，
故時，不成立，
綜上所述：使成立的所有的正整數(shù)對為，.
【變式2-1】（2024·高二·北京豐臺·期末）已知數(shù)表，，，其中，，分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．
(1)若數(shù)表，，且是，的生成數(shù)表，求；
(2)對，，
數(shù)表，，與滿足第i行第j列的數(shù)對應相同（）.是，的生成數(shù)表，且．
（?。┣螅?；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值．
【解析】（1）由題意得，，
，，
所以．
（2）由題意得，
當，時，有①，
即，
（?。┊敃r，，解得，
當時，由①得②，
得，
所以，
又，，，均符合上式，
所以，時，．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
所以對于，，有
，
由及知，
所以時，對于，，恒成立，
顯然時，恒不成立．
下面證明：對于任意，不能恒成立．
記，
此時，
所以，
即當時，有成立，這與恒成立矛盾，
所以對于任意，不能恒成立，
綜上，的最小值為．
【變式2-2】（2024·高二·北京·學業(yè)考試）已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.
①任意中有三個，一個3；
②存在，使中恰有三個數(shù)相等.
(1)判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無需證明）
(2)是否存在數(shù)表由生成？說明理由；
(3)若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.
【解析】（1）數(shù)表是由生成；
檢驗性質(zhì)①：
當時，，共三個，一個3；
當時，，共三個，一個3；
當時，，共三個，一個3；
任意中有三個，一個3；
檢驗性質(zhì)②：
當時，，恰有3個數(shù)相等.
（2）不存在數(shù)表由生成,理由如下:
若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個，一個3，
則或-1，總有與的奇偶性相反，
類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；
因為中恰有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，
所以對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，
此時中至多有2個數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②；
綜上，不存在數(shù)表由生成；
（3）的所有可能的值為3，7，11.
一方面，當時，可以生成數(shù)表；
當時，可以生成數(shù)表；
當時，可以生成數(shù)表；
另一方面，若存在數(shù)表A由生成，
首先證明：除以4余3；
證明：對任意的，令，
則，
分三種情況：（i）若，且，則；
（ii）若，且，則；
（iii）若，且，則；
均有與除以4的余數(shù)相同.
特別的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
類似的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；
所以，存在，使得中恰有3個數(shù)相等的一個必要不充分條件是中至少有3個數(shù)除以4的余數(shù)相同.
注意到與除以4余3，除以4余0，故除以4余3.
其次證明：；
證明：只需證明；
由上述證明知若可以生成數(shù)表A，則必存在，
使得；
若，則，，，
所以，對任意，均有，矛盾；
最后證明：；
證明：由上述證明可得若可以生成數(shù)表A，
則必存在，使得，
，，
，
欲使上述等號成立，對任意的，，
則，，
經(jīng)檢驗，不符合題意；
綜上，所有可能的取值為3，7，11.
題型三：向量組背景
【典例3-1】（2024·高一·上?！るA段練習）對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
(1)設，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．
【解析】（1）由題意可得：，則，解得：；
（2）存在“長向量”，且“長向量”為，，理由如下：
由題意可得，
若存在“長向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
當或時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，；
（3）由題意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化簡，得：，
即，，所以，
設，由得：，
設，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
，
當且僅當時等號成立，
故.
【典例3-2】（2024·高一·上海奉賢·期末）對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“好向量”
(1)若是向量組的“好向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；
(2)已知，，均是向量組的“好向量”，試探究的等量關(guān)系并加以證明．
【解析】（1）由題意，而，，，
，
所以，解得，
所以的范圍是；
（2）的等量關(guān)系是，證明如下：
由題意是向量組的“好向量”，
所以，則，即，
所以，同理，，
三式相加并整理得，
所以，
所以．
【變式3-1】（2024·高三·上海寶山·期末）對于一組向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”.
（1）設，若是向量組，，的“向量”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）已知??均是向量組，，的“向量”，其中，.設在平面直角坐標系中有一點列，，…滿足：為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與關(guān)于點對稱，求的最小值.
【解析】（1）由題意，得：，
則
解得：
（2）是向量組，，，…，的“向量”，證明如下：
，
當為奇數(shù)時，
，故
即
當為偶數(shù)時，
故
即
綜合得：是向量組，，，…，的“向量”
（3）由題意，得，，即
即，同理，
三式相加并化簡，得：
即，，所以
設，由得：
設，則依題意得：，
得
故
所以
當且僅當時等號成立
故
【過關(guān)測試】
1．（2024·高一·四川成都·期中）定義行列式運算： ，若函數(shù)（）的最小正周期是.
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由題意：，
∵，
∴，
由可得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為．
（2）證明：由（Ⅰ）得，
∴，
①當時，；
②當時，，而，滿足上式
∴，
則，
∴．
2．（2024·高二·上海寶山·階段練習）已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．
（1）行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，
①求和的通項公式；
②設是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．
【解析】證明:因為,
所以,,
因為,所以,即,
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
①由(1)知數(shù)列是等差數(shù)列,設公差為(),設等比數(shù)列 的公比為,
因為成等比數(shù)列，成等差數(shù)列,
所以且,
所以,且,
結(jié)合化簡可得且,
解得,
所以,,
故,.
②因為成等差數(shù)列,
所以,即,
由于,且均為正整數(shù),
所以,,所以,
可得,即,
當時,,,所以不等式不成立,
當或時,成立,
當時,,即時,則有,
所以的最小值為6,當且僅當且或時, 取得最小值6.
3．（2024·高一·吉林延邊·期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù);又定義行列式; 函數(shù)（其中）
（1）證明: 函數(shù)在上也是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)的最大值為，求的值；
（3）若記集合恒有，恒有,求滿足的的取值范圍.
【解析】（1）證明：任取，則
且在上是增函數(shù) ，又為奇函數(shù)
故
即 函數(shù)在上也是增函數(shù)
（2）

的最大值只可能在,,處取
若，，則有，此時，符合題意
若，，則有,此時，不符合題意
若，，則有或
此時或, 不符合題意
綜上所述：
（3）是定義在上的奇函數(shù)且滿足
又在上均是增函數(shù)
由得：或
又恒有，恒有
所以恒有
即不等式在恒成立
由得：

此時
由得：
此時
綜上所述：
4．（2024·湖北孝感·模擬預測）定義矩陣運算：．已知數(shù)列，滿足，且．
(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）證明：因為，
所以，
消去，得，
當時，，則，
當時，由及，得，
所以，
因為，，
所以為公差為1的等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，
則
．
5．（2024·高二·陜西西安·期中）有個正數(shù)，排成矩陣（行列的數(shù)表）：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【解析】（1）由題可知第4行公差為，由此可知
由第四列數(shù)據(jù)可知公比為：
（2），是首項為，公差為的等差數(shù)列，故
（3）因為每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，所以由（2）可知，故，設的前n項和為
①
②
得
6．（2024·高二·江蘇蘇州·期中）設2階方矩陣，則矩陣A所對應的矩陣變換為：，其中，，其意義是把點變換為點，矩陣M叫做變換矩陣.
(1)當變換矩陣時，點，經(jīng)矩陣變換后得到點分別是，，求經(jīng)過，的直線的方程；
(2)當變換矩陣，點經(jīng)矩陣的作用變換后得到點，求實數(shù)m，n的值.
【解析】（1）由題可知：，
則，解得，所以.
同理可得，則，
所以經(jīng)過，的直線方程為：，
即.
（2）由題可知：，
即有，得.
所以，.
7．（2024·上?！つM預測）設A是由個實數(shù)組成的2行n列的矩陣，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零．記為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合．記為A的第一行各數(shù)之和，為A的第二行各數(shù)之和，為A的第i列各數(shù)之和．記為、、、、…、中的最小值．
(1)若矩陣，求；
(2)對所有的矩陣，求的最大值；
(3)給定，對所有的矩陣，求的最大值．
【解析】（1）依題意，，，，，，
所以.
（2）設矩陣，，且，
若任意改變矩陣A的行次序或列次序，或把A中的每個數(shù)換成其相反數(shù)，得到新矩陣，則，且，
則不妨設，且由的定義知，，，
相加得：
，
因此，，當，時取“=”，
顯然存在矩陣，使，
所以的最大值是1.
（3）設矩陣，，
，且，
由（2）知，不妨設，且，
由的定義知，，相加得：
，
因此，，當，，時取“=”，
此時，，
，
即存在矩陣，其中個1，使，
所以的最大值是.
8．（2024·高三·河南·期末）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，， 為單位正交基底. 以 為坐標原點、分別以，，的方向為 軸、 軸、 軸的正方向建立空間直角坐標系，已知，是空間直角坐標系中異于 的不同兩點
(1)①若，，求；
②證明.
(2)記的面積為 ，證明：.
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.
【解析】（1）① 因為，，
則；
② 設，，則
，
將與互換，與互換，與互換，
可得，
故；
（2）因為 ，
故，
故要證，
只需證，
即證，
由（1），，，
故，
又， ，，
則成立，
故；
（3）由（2），
，
故，
故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.
9．（2024·高一·貴州·期末）如圖一，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，請根據(jù)以下信息，處理問題（1）和（2）.信息一：為坐標原點，，若將順時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.
（1）求證：，（外層“”表示取絕對值）；
（2）如圖二，已知三點，，，試用（1）中的結(jié)論求的面積.
【解析】（1）如圖所示.
∵，
又因為，，
∴
，
又∵，
∴.
（2）∵
∴
10．（2024·高二·上海浦東新·期中）對于一組向量，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”；
（1）設，若是向量組，，的“向量”，求的范圍；
（2）若，向量組是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由.
【解析】（1）由題意可得，，又，
即為，
解得，
即的范圍是；
（2）是“向量”.
理由：，，
當為奇數(shù)時，，
，即有，
即；
當為偶數(shù)時，，
，即有，
即.
綜上可得，是向量組的“向量”.
11．（2024·高一·山西大同·階段練習）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設為正整數(shù)，數(shù)集中的個元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設的夾角為，則．
(1)設，解決下面問題：
①求；
②設與的夾角為，求；
(2)對于一個元向量，若，稱為維信號向量．規(guī)定，已知個兩兩垂直的120維信號向量滿足它們的前個分量都相同，證明：．
【解析】（1）因為，
所以，
①，
②因為，，所以.
（2）任取，，計算內(nèi)積，設這些內(nèi)積之和為，
則，設的第個分量之和為，
又因為，故，所以
又，
所以，即，所以.
12．（2024·高一·遼寧撫順·開學考試）在第六章 平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運算：若，，則.請按這種運算，解答如下兩道題.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
【解析】（1）因為，，，
所以；
（2）設，
因為，，
所以，
因為，所以，
解，得，即.
13．（2024·高二·上海徐匯·期中）對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”
（1）若是向量組的“長向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知，，均是向量組的“長向量”，試探究，，的等量關(guān)系并加以證明．
【解析】（1）由“長向量”定義得.
因為，所以,,，
∴，
∴，解得，
∴實數(shù)的取值范圍為.
（2）,,的等量關(guān)系為.
證明:由題意可知,是向量組的“長向量”，即滿足.
所以，即，
展開化簡可得，
同理,也是向量組的“長向量”，
則，
，
三式相加并化簡得:，
即,，
∴.