題型一：最值問題
（24-25高三上·福建福州·月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)與的最小距離．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知可得，解得；
所以橢圓的方程為.
（2）由于直線與的斜率互為相反數(shù)，
不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，；
則直線的方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，整理可得，
可得，又，可得，
即，
同理用代替可得；
因此可得的中點(diǎn)，因此可得，
所以可得點(diǎn)在直線上，
可得點(diǎn)與的最小距離即為點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
1．（24-25高三上·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且被的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求的方程；
(2)若過的直線與的上支交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題可知，的坐標(biāo)為0,2，則.
易知的方程為，不妨設(shè)與相交于點(diǎn)，，
則，整理得，
則，可得
故的方程為.
（2）由題可知，直線的斜率一定存在，
設(shè)：，Ax1,y1，Bx2,y2，則，.
聯(lián)立方程組整理得，
則，
,.
由，在軸的上方，所以，，
可得.
，
則.
由，得，
則，
故的取值范圍為.
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，直線：與的交點(diǎn)為A，B，且直線與傾斜角互補(bǔ).
(1)求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的值；
(3)若，求面積的最大值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為，
即，則，
則拋物線在P點(diǎn)的切線斜率為，
則切線方程為，
故切線方程為.
（2）如圖所示：
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，將直線的方程代入，
得，所以，，
因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（3）由（1）（2）可知，，所以，，
則，
因?yàn)?，所以，即?br>又點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積最大值為.
題型二：參數(shù)范圍問題
（23-24高三下·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓.
(1)若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為的上頂點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；
(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題意得，
所以，
所以的周長(zhǎng)為；
（2）顯然不滿足題意，設(shè)直線的方程為，
由，得，
由，得，
則，
，
因?yàn)闉殇J角，不共線，所以，
所以，所以，
所以，
解得，
因?yàn)?，所以解得或?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
1．（23-24高三下·江蘇蘇州·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，不過的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，求到距離的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）設(shè)Mx,y，由題意得，
化簡(jiǎn)得，所以：.
（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為（），Px1,y1，Qx2,y2.
聯(lián)立，得，
所以，
因?yàn)?，即，所以?br>所以，又，所以，
所以，所以.
所以點(diǎn)到直線的距離，
令，則，
代入，即，解得.
所以，.
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.
2．（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，
得；
因?yàn)?，所以，即，解得?br>所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）易知拋物線的準(zhǔn)線為，則可得；
設(shè)，由可得，
如下圖所示：
設(shè)直線，代入到中得，
所以，即可得，
聯(lián)立兩式并整理可得，
又
由可得遞增，即有，即，
又中點(diǎn)坐標(biāo)為，
可得直線的垂直平分線的方程為，
令，可得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.
題型三：定值問題
（24-25高三上·貴州畢節(jié)·期中）已知橢圓的焦距為4，為橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，若為定值，求此定值及的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距為4，可得，解得，
所以①，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以②，
由①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，所以，所以，
因?yàn)闉闄E圓的左焦點(diǎn)，所以其坐標(biāo)為，直線，
點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，
若為定值，則為定值對(duì)恒成立，
即為定值對(duì)恒成立，
所以為定值對(duì)恒成立，
即為定值對(duì)恒成立，
所以，解得，
所以為定值，此時(shí)的值為
1．（24-25高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小為坐標(biāo)原點(diǎn).直線過定點(diǎn).
(1)直線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；
(2)曲線與直線交于兩點(diǎn)，試分別判斷直線的斜率之和?斜率之積是否為定值？并說明理由.
【答案】(1)或或；(2)斜率之和為定值?斜率之積不是定值
【解析】（1）曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，
故曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，
故曲線為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
即有，
過點(diǎn)的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
若直線可能與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，則有：，
若直線與拋物線相切時(shí)，易知：是其中一條直線，
另一條直線與拋物線上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，設(shè)為，
聯(lián)立可得：，
則有：，解得：，
故此時(shí)的直線的方程為：，
綜上，直線的方程為：或或；
（2）若與交于兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，且，
由（1）可知直線要與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為0，
不妨設(shè)直線的斜率為，則有：，
聯(lián)立直線與拋物線可得：，可得：，
即有，
根據(jù)韋達(dá)定理可得：，
則有：，
則，故為定值；
故不為定值；
綜上：為定值不為定值.
2．（24-25高三上·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距為8，右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線在一?三象限的交點(diǎn)分別為，且．
(1)求雙曲線的方程及的面積；
(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線與軸分別交于點(diǎn)，且．證明：為定值．
【答案】(1)，的面積為；(2)
【解析】（1）由于，故，
又，且關(guān)于對(duì)稱，所以,因此，
在中，，
取橢圓左焦點(diǎn),連接，根據(jù)對(duì)稱性可得，
由橢圓定義可得,即，
由于，所以，進(jìn)而可得，
故雙曲線方程為，
（2）設(shè)，，,，
由（1）知,即，
聯(lián)立與的方程可得
則，
，
則直線方程為，令，則，
故
同理可得,
由于，所以在線段的垂直平分線上，故，
故，
，
化簡(jiǎn)得
代入韋達(dá)定理可得
即，故，
故，或，
若，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)，該點(diǎn)與重合，不滿足題意，
故
題型四：過定點(diǎn)問題
（24-25高三上·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.
(1)直線與圓相切于點(diǎn)Q，求的值；
(2)求曲線C的方程；
(3)過點(diǎn)的直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)；(2)，；(3)證明見解析，定點(diǎn)
【解析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可知，，
所以點(diǎn)；
（2）由題意可知，設(shè)動(dòng)圓半徑為，，，，
即，
所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，則，
所以曲線的方程為，；
（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，
直線，當(dāng)，得，即，直線，
此時(shí)直線過點(diǎn)1,0，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，
直線，當(dāng)時(shí)，，，
聯(lián)立，得，
，，，
下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，，
把，代入整理得，
即，
所以直線經(jīng)過點(diǎn)1,0，
綜上可知，直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為1,0.
1．（24-25高三上·湖北襄陽(yáng)·月考）已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為Q，且Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．
(1)求拋物線E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與拋物線E相交于兩點(diǎn)，B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線必過定點(diǎn)．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，
雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，
方程的判別式，即，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，
因?yàn)辄c(diǎn)A、B在第一象限，所以，故，
設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
則直線的方程為，
令得：
．
直線過定點(diǎn)．
2．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知橢圓：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸長(zhǎng)是焦距的倍，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問：軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】(1)；(2)存在，定點(diǎn)
【解析】（1）依題意設(shè)焦距為，一個(gè)焦點(diǎn)為F-c,0，
因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為，則，
則，解得（負(fù)值已舍去），
所以橢圓的方程；
（2）由，消元可得，
∵動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)Px0,y0，
且，
即，
化簡(jiǎn)得，，
此時(shí)，，即，
由，得，
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足條件，設(shè)，
則對(duì)滿足式的，恒成立，
，，
由，
得，
整理得
由于式對(duì)滿足式的恒成立，
所以，解得，
故存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).
題型五：定直線問題
（24-25高三上·北京·月考）已知橢圓C： 的左、右焦點(diǎn)分別為、，一個(gè)焦點(diǎn)為，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.已知的面積的最大值為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，與相交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在某條定直線上.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由題意可得橢圓的半焦距，
，所以，
所以，
所以橢圓C的方程為；
（2）不妨設(shè)，，l的方程為，
聯(lián)立，得，
恒成立，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，則，
故，，
又的方程為y=y1x1+2x+2，的方程為，
聯(lián)立兩直線方程得，
即，
因?yàn)?，所以?br>整理得，
故點(diǎn)Q在定直線上.
1．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.
(1)求的方程；
(2)在線段上取異于點(diǎn)的點(diǎn)，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點(diǎn)恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；(2)點(diǎn)恒在直線上.
【解析】（1）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2.
若直線的傾斜角為，則直線的方程為.
聯(lián)立得，
則，
且，
所以.
因?yàn)椋?，故的方程?
（2）存在，定直線為.
由題意知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，.
聯(lián)立得.
由，得且，
.
不妨設(shè)，則，
過點(diǎn)向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)，如圖所示，
則，.
因?yàn)椋裕?br>整理得，所以.
代入直線的方程得.
因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在直線上.
2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎p曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)為，離心率為.
(1)求的方程；
(2)雙曲線上存在一點(diǎn)，使得，求三角形的面積；
(3)記的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與的左支交于M，N兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析
【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，
由左焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，
則，可得，，
雙曲線方程為.
（2）由（1）知，，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，
所以三角形的面積為.
（3）證明：由（1）可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
聯(lián)立，可得，
且，，
則，
直線的方程為y=y1x1+2x+2，
直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程，消去可得：
，
由，可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡問題
（23-24高三下·湖南益陽(yáng)·一模）已知兩點(diǎn)，及一動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)求的面積的最大值；
(3)求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)橹本€，的斜率滿足，
，化簡(jiǎn)整理得.
所以軌跡的方程為.
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為：，Mx1,y1，Nx2,y2，
由，得，顯然.
則，.
.
令，則，，所以.
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
即，時(shí)，的面積取最大值.
（3）由已知可設(shè)直線的方程為y=y1x1+2x+2，即，
直線的方程為，即，
消去，得，顯然，，（*）
由（2），得，，，，
所以（*）式可化為，，即.
顯然，否則重合，不合題設(shè)，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
1．（23-24高三下·江西撫州·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為上一動(dòng)點(diǎn)，且異于兩點(diǎn).
(1)求的離心率；
(2)若△的重心為，點(diǎn)，求的最小值；
(3)若△的垂心為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)；(2)；(3)（去除點(diǎn)）.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
所以的離心率，
（2）易知.設(shè).
因?yàn)椤鞯闹匦臑?，所以,解得,
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)椴还簿€，所以 且，
所以的軌跡不含兩點(diǎn).
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值為.
（3）因?yàn)闉椤鞯拇剐模裕?br>設(shè)，
當(dāng)直線或的斜率為0時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意，舍.
當(dāng)直線或的斜率不為0時(shí)，直線與的斜率存在，
則，
由（2）知，則，
則.
因?yàn)?，所以?br>，則，得，
則，因?yàn)闃?gòu)成三角形，故不能在軌跡上，
綜上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（去除點(diǎn)）.
2．（23-24高三下·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）圖1為一種衛(wèi)星信號(hào)接收器，該接收器的曲面與其軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該接收器的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于拋物線的焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求該拋物線的方程；
(2)設(shè)是該拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】(1)；(2)，
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為．
因?yàn)椋渣c(diǎn)在拋物線上，
所以，故，所以拋物線的方程為．
（2）
如圖，由（1）知．
設(shè)直線：，，，，
由可得，
由，得，且，，．
分別過點(diǎn)作軸的垂線與過點(diǎn)的軸的垂線交于點(diǎn),顯然,
則有，同理有，
由可得，
整理得．
又時(shí)，，因，且，故有
即點(diǎn)的軌跡方程為，．
題型七：角度關(guān)系證明問題
（24-25高三上·云南昆明·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由題意可設(shè)，且，
則，
所以曲線的方程為.
（2）當(dāng)，不妨取，滿足曲線的方程，
則的方程為，可得，
此時(shí)可得，又，故；
當(dāng)不垂直于時(shí)，設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立，得，
所以，則，
故，
又，
故，
即，所以，
綜上所述：.
1．（23-24高三下·山西運(yùn)城·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），的平分線交軸于
(1)過右焦點(diǎn)作于，求；
(2)求證：.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒?，?br>所以，所以，，
所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以且，
又，所以，
所以.
（2）依題意可知，，
當(dāng)時(shí)，解得，不妨取，則，
，所以，滿足；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以，，
則，
所以，
又，，則，
所以，
綜上可得.
2．（23-24高三下·廣西·二模）已知拋物線，過點(diǎn)作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．
(1)證明：P在定直線上；
(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）證明：設(shè)Ax1,x12，Bx2,x22，則，
直線的方程為y-x12=x1+x2x-x1，即y=x1+x2x-x1x2，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)E0,2，所以，即，
設(shè)直線的方程為y-x12=kx-x1，與拋物線方程聯(lián)立，解得或，
又因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，
所以直線的方程為y-x12=2x1x-x1，即，
同理直線的方程為，
由y=2xx1-x12y=2xx2-x22，解得Px1+x22,x1x2，即Px1+x22,-2，
故點(diǎn)P在直線上．
（2）證明：∵cs∠PFA=FA?FPFA?FP，cs∠PFB=FB?FPFB?FP，
注意到兩角都在0,π內(nèi)，可知要證．即證FA?FPFA=FB?FPFB.
而FA=x1,x12-14，F(xiàn)P=x1+x22,-94，
所以FA?FP=x1?x1+x22-94x12-14=-7164x12+1，
又|FA?|=x12+x12-142=x12+14，
所以FA?FPFA=-7164x12+1x12+14=-74，同理FB?FPFB=-74，
即有FA?FPFA=FB?FPFB，故．
題型八：向量共線問題
（24-25高三上·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，直線與軸交于點(diǎn)（），與橢圓交于相異兩點(diǎn)、，且．
(1)求橢圓方程；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，
由題，解得，，
因此橢圓的方程為即．
（2）由題意可知向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線，
又由得，
故，即，即，
顯然直線斜率存在且不為，設(shè)其方程為，
聯(lián)立方程，消去，得，所以，
設(shè)，，則，，
又由得，即，
因此，從而，，
所以，
整理得，顯然，
所以，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，
因此的取值范圍是.
1．（23-24高三下·山西太原·三模）已知雙曲線 的左、右頂點(diǎn)分別為 與 ，點(diǎn) 在 上，且直線 與 的斜率之和為 .
(1)求雙曲線 的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與 交于 兩點(diǎn)(均異于點(diǎn) )，直線 與直線 交于點(diǎn)，求證: 三點(diǎn)共線.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由題意得，且
（2）由 (1) 得，
設(shè)直線 的方程為，則，
由 得，
直線 的方程為，令 ，則，
，
所以三點(diǎn)共線.
2．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于．
(1)若直線過點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；
(2)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值；
(3)若直線過點(diǎn)，設(shè)，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)2
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，
所以拋物線的解析式為．
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
易知直線斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程式為.
根據(jù)題意可知直線不能過點(diǎn)，所以直線的斜率.
若直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，此時(shí)該點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線斜率不存在，
則該直線與軸無(wú)交點(diǎn)，與題目條件矛盾，
此時(shí)，所以直線斜率.
聯(lián)立方程，得，
因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以，所以．
故直線的斜率的取值范圍是且且.
即率的取值范圍是.
（2）如圖所示
設(shè)直線的方程為：由，得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，，
則，∵，，
，，
∴，，∴
，
.
（3）如圖所示
設(shè)點(diǎn)，，則，，
因?yàn)?，所以，故，由得?br>設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
直線方程為，
令，得①，由直線可得②，
因?yàn)棰郏?br>將①②代入③可得，
，
又由根與系數(shù)的關(guān)系：，，
所以，
所以.
題型九：存在性問題探究
（23-24高三下·上?！と＃┮阎獧E圓：，、分別為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率；
(2)當(dāng)，且點(diǎn)在軸上方時(shí)，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；(2)；；(3)存在直線或滿足題意
【解析】（1）由橢圓方程知，，，所以，
所以離心率.
（2），，設(shè)Ax1,y1，且.
所以，，
，，
又在橢圓上，滿足，即，
，解得，即.
所以直線：，
聯(lián)立，解得或，
所以；
（3）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，，
直線：，
聯(lián)立，得.
則，.
直線的方程：y=y1x1+2x+2，令得縱坐標(biāo)；
直線的方程：y=y2x2+2x+2，令得的縱坐標(biāo).
則，
若，即，
，
，，
代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得.
存在直線或滿足題意.
1．（24-25高三上·上?！ぴ驴迹┮阎p曲線的離心率，左頂點(diǎn)，過C的右焦點(diǎn)F作與x軸不重合的直線l，交C于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求證：直線、的斜率之積為定值；
(3)設(shè)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)存在，
【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為c．
由題意知，故，
因此．
（2）由題意知．設(shè)直線，
與雙曲線方程聯(lián)立得．
設(shè)Px1,y1、Qx2,y2，則，
故直線、的斜率之積為
．
（3）由題意知，得．
設(shè)，則．
即．
由于，上式即，解得．
利用(*)式，得，
因此存在定點(diǎn)滿足題目要求．
2．（23-24高三下·西藏拉薩·月考）已知拋物線，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與拋物線的另一交點(diǎn)為（點(diǎn)在點(diǎn)之間），過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以四邊形為平行四邊形，
所以即所以
將代入，得，解得
所以拋物線的方程為.
（2）如圖，
由題意，得.設(shè)直線斜率不能為0，
故其方程為，則.
由，得，
所以.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，即.
由題意，知，
所以.
又，
所以，
即存在實(shí)數(shù)，使得成立.
題型十：“非對(duì)稱”韋達(dá)定理
（23-24高三上·陜西西安·期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)C，D（不與點(diǎn)A，B重合）．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線CB與直線AD相交于點(diǎn)M，判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)橢圓方程為，離心率為；(2)點(diǎn)在定直線上．
【解析】（1）由題意，，所以橢圓方程為，
，，則，離心率為；
（2）由題意設(shè)動(dòng)直線方程為，設(shè)，，
由得，
顯然，
直線方程為，直線方程為，
聯(lián)立方程組，得
又，代入得，
由，得，即，
所以，
所以點(diǎn)在定直線上．
1．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請(qǐng)說明理由．
(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．
【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析
【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，∴雙曲線的方程為．
（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線左支只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，
聯(lián)立方程組，消得，易得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，可得，
∵，
則
，
即，可得與不垂直，
∴不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．
（3）由直線，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即為定值．
2．（24-25高三上·重慶·月考）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的面積為.
(1)求的值；
(2)為橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)棰伲?br>設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所?
即，
又，所以，
所以，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以②，又③?br>由①②③，解得，所以.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，易得，則，
直線的方程為y=y1x1+2x+2，直線的方程為，
聯(lián)立得，
因?yàn)?，所以，解?br>所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線的傾斜角分別為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.
必刷大題
1．（23-24高三下·河北·模擬預(yù)測(cè)）橢圓：左右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與拋物線相切，且與相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題意AB=4，得，.
又的離心率為，得，所以，
則，
得橢圓的方程為.
（2）

方法一：由題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，
易得，此時(shí).
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，方程可設(shè)為，與拋物線聯(lián)立得
整理得
由.
聯(lián)立，得，
又，整理得
且，得
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，則，.
得
又點(diǎn)到直線距離為，
由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)（滿足）時(shí)，
取得最大值為，
綜上所述，得的面積的最大值為.
方法二：由題意知直線斜率不為0，故方程可設(shè)為，
與拋物線聯(lián)立得，
直線與拋物線相切得，
聯(lián)立，得，
且.
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2
則，.
又與軸交于點(diǎn)，
則
又，
，
當(dāng)（此時(shí)，符合）時(shí)，取得最大值為
綜上所述，得的面積的最大值為.
方法三： 由，求導(dǎo)數(shù)得2，
不妨設(shè)，則，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過點(diǎn)的切線的斜率為，
故所求切線方程為，
化簡(jiǎn)得即，
又在拋物線上，
所以切線方程為：（可驗(yàn)證對(duì)，此方程也適用）
因此可得拋物線的方程y2=2pxp>0，求經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)的切線的方程為.
故由題意可設(shè)直線的切點(diǎn)為，則切線方程為
當(dāng)切點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，易得
當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立，
又，整理得，
，得，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，
則，.
得
又點(diǎn)到直線距離為，
當(dāng)時(shí)（滿足），面積最大.
綜上所述，得的面積的最大值為.
方法四： 設(shè)直線的切點(diǎn)為，即，
由方法三可設(shè)切線方程為.
由題意知直線斜率不為0，得直線方程為，
，得.
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2
則，.
又與軸交于點(diǎn)，
則
當(dāng)（滿足）時(shí)，取得最大值為.
綜上所述，得的面積的最大值為
2．（24-25高三上·河北石家莊·月考）已知焦距為的橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過F作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)軸時(shí)，．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：是鈍角．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由題意：，
所以橢圓的方程為：.
（2）如圖：
因?yàn)?、兩點(diǎn)異于點(diǎn)，故直線斜率不為.
設(shè)直線：，
由.
設(shè)，，則，.
所以
，
所以為鈍角或平角（舍去）.
故為鈍角.
3．（24-25高三上·重慶·月考）已知雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，，.
【解析】（1）由題意得，因?yàn)殡p曲線漸近線方程為，
所以，
又點(diǎn)在雙曲線上，所以將坐標(biāo)代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
聯(lián)立兩式解得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）如圖所示，
點(diǎn),直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，
由題意得，設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
聯(lián)立得，，
設(shè)，，
則，，
，
，
，，
所以
，
所以若要使得上式為常數(shù)，則，
即，此時(shí)，
所以存在定點(diǎn)，使得為常數(shù).
4．（24-25高三上·云南保山·期中）若為拋物線上一點(diǎn)，過作兩條關(guān)于對(duì)稱的直線分別另交于兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)，焦點(diǎn)為；(2)存在，.
【解析】（1）由題意，得，得，所求拋物線方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）如圖，由題意，不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程，消去得，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)橹本€與關(guān)于對(duì)稱，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韋達(dá)定理得，解得，
所以直線的斜率為定值.
5．（24-25高三上·湖北武漢·期中）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在上，直線與交于不同于A的兩點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)若，求面積的最大值；
(3)記直線，的斜率分別為，，若，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，定點(diǎn)
【解析】（1）由題意可知：，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）若，可知直線的斜率存在，
設(shè)直線：，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，整理可得，
可得，
因?yàn)?，則，
由，可得，
則，
整理可得，
則，
且，則，可得，
解得，且滿足，
可知直線：過定點(diǎn)，
則面積，
令，則，可得，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則，
所以當(dāng)時(shí)，面積取到最大值.
（3）若直線的斜率不存在，設(shè)，
可得，可得，
這與相矛盾，不合題意；
可知直線的斜率存在，設(shè)直線：，，
可得，
整理可得，
則，
且，則，可得，解得，
設(shè)以為直徑的圓過定點(diǎn)Px0,y0，
則，
可得，
則，
整理可得，
則，
可得，
注意到上式對(duì)任意的均成立，則，解得，
所以以為直徑的圓過定點(diǎn).
6．（24-25高三上·上海寶山·月考）已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn) F?到雙曲線. 漸近線的距離為
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于 A、B兩點(diǎn).
①若直線過橢圓右焦點(diǎn)F?，且△AF?B的面積為 求實(shí)數(shù)k的值；
②若直線過定點(diǎn)P(0,2)， 且k>0， 在x軸上是否存在點(diǎn)T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形? 若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；(2)①;②
【解析】（1）由雙曲線. 的漸近線方程為，
再由橢圓的右焦點(diǎn)分別為到漸近線的距離為可得：
，因?yàn)?，所以解得?br>再由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，
所以由，
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①直線過橢圓右焦點(diǎn)F?可得：，即，
所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得：
，
設(shè)兩交點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，則有
所以，
又橢圓左焦點(diǎn)F1-1,0到直線的距離為，
所以，
解得：或（舍去），即；
②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，
由于直線過定點(diǎn)， 且，可知直線方程為，
與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，
由，且，解得，
設(shè)兩交點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，中點(diǎn)，則有
所以，
即，整理得，
又因?yàn)椋?，則.
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．
【答案】(1)；(2)直線的方程為或.
【解析】（1）由題意得，解得，
所以.
（2）法一：，則直線的方程為，即，
，由（1）知，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，
此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
設(shè)該平行線的方程為：，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，
即或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，
，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).
綜上直線的方程為或.
法二：同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)，則，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)，其中，則有，
聯(lián)立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，
，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，
解得或，，，
令，則，則
同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
則，解得，
此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，
綜上直線的方程為或.
法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，
此時(shí)不滿足條件.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直線距離，
或，均滿足題意，或，即或.
法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，
此時(shí)不滿足條件.
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，
設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，
聯(lián)立，則有，
，
其中，且，
則，
則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.
則直線為或，即或.
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
3．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．
(1)求橢圓的方程．
(2)過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，使得恒成立.
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
所以，故，
故，所以，，故橢圓方程為：.
（2）
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，
設(shè)，
由可得，
故且
而，
故
，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，
此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.
綜上，存在，使得恒成立.
4．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題意，從而，
所以橢圓方程為，離心率為；
（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，矛盾，
從而設(shè)，，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，
由題意，即應(yīng)滿足，
所以，
若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，
所以，在直線方程中令，
得，
所以，
此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，
綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.
5．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)若離心率時(shí)，求的值．
(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由題意得，則，．
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，
因?yàn)闉榈妊切?，則
①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；
②當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，則 , 聯(lián)立解得或或，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；
（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；
③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，
則有，解得，即．
綜上所述：.
（3）由題知，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，
則設(shè)直線，
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，
聯(lián)立有，
顯然二次項(xiàng)系數(shù)，
其中，
①，②，
，
則，因?yàn)樵谥本€上，
則，，
即，即，
將①②代入有，
即
化簡(jiǎn)得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因?yàn)?，則，
綜上知，，．
6．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);
(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍
(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【解析】（1）設(shè)，由點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，得，即，又，
所以.
（2）設(shè)，而，
則，由，得，
即，又，則，解得，
，
所以的范圍是.
（3）設(shè)，由圖象對(duì)稱性，得、關(guān)于軸對(duì)稱，則，
又，于是，
則，同理，
由，得，
因此，即，則，
設(shè)直線，由消去得，
則，即，而，解得，，
由，得，所以.
求最值及問題常用的兩種方法：
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決；
（2）代數(shù)法：題中所給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等。
圓錐曲線的取范圍問題
1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
4、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
圓錐曲線的定值問題
（1）解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段長(zhǎng)度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，
求定值問題常見的解題方法有兩種：
法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān)；
法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去參數(shù)，從而得到定值。
（2）直接法解題步驟
第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：或、點(diǎn)的坐標(biāo)；
第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長(zhǎng)、距離等）用引入的變量表示出來(lái)；
第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過計(jì)算化簡(jiǎn)得出目標(biāo)量與引入的變量無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。
圓錐曲線的定點(diǎn)問題
1、參數(shù)無(wú)關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)。
2、特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線、動(dòng)曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)。
3、關(guān)系法：對(duì)滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點(diǎn)的知識(shí)求解。
解決圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線問題的解題步驟：
1、聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；3、將動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù)；4、設(shè)點(diǎn)，將方程變形解出定直線方程。
求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常見方法：
（1）定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件待定方程中的參數(shù)，即可求得軌跡方程；
（2）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足的等量關(guān)系容易建立，則可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系，即可得軌跡方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知（坐標(biāo)滿足某已知的曲線方程），則用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到點(diǎn)的軌跡方程；
（4）交軌消參法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程.
角度關(guān)系的證明往往轉(zhuǎn)化為斜率問題或坐標(biāo)問題，其中角相等問題優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)為斜率之和為零處理，或考慮用向量進(jìn)行計(jì)算。
三點(diǎn)共線問題證明的解題策略一般有以下幾種：
（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等來(lái)證明三點(diǎn)共線；
（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；
（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；
（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第三點(diǎn)也在該直線上；
（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線；
（6）面積法：通過計(jì)算求出以三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”。
圓錐曲線存在性問題的解題技巧：
1、特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立；
2、假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論。若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在。
將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)鍵方程（設(shè)方程的兩根和），在某些問題中，可能會(huì)涉及到需計(jì)算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式。例如，運(yùn)算過程中出現(xiàn)了、等結(jié)構(gòu)，且無(wú)法直接通過合并同類項(xiàng)化為系數(shù)相同的情況處理，像這種非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，通常是無(wú)法根據(jù)偉大定理直接求出的，此時(shí)一般的處理技巧是抓住和的關(guān)系將兩根積向兩根和轉(zhuǎn)化，通過局部計(jì)算、整體約分的方法解決問題。

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