題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
（24-25高三上·海南·期中）設函數(shù).
(1)求曲線在點切線方程；
(2)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間;
【答案】(1)；(2)答案見解析
【解析】（1）由題意知，
所以，，
故所求切線方程為，化簡得.
（2）由（1）知，
當，時，f'x>0，單調(diào)遞增，
時，f'x0，單調(diào)遞增，
所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函數(shù)在處有極值-1.
(1)求實數(shù)a，b的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)；(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【解析】（1）已知函數(shù)，則，
由題意，解得 ，
當時，，，
當或時，f'x>0，當時，f'x0，則，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當，即時，
令f'x0得或，令f'x0，解得，故y=f(x)在單調(diào)遞增；
令，解得，故y=f(x)在單調(diào)遞減；
故y=f(x)的最小值為，即，解得，滿足；
③若，，y=f(x)在單調(diào)遞增，
的最小值為，解得，不滿足；
綜上所述，.
（2）若，，，
定義域為，，
令，，
故在單調(diào)遞增，又，，
故存在，使得，也即，且，
且當，，，在單調(diào)遞減；
當，，>0，在單調(diào)遞增；
故的最小值為；
由上述求解可知，，則，令，
則，故在單調(diào)遞增；
，也即，又，故，即；
又.
故的最小值為.
題型四：利用導數(shù)解決恒成立與能成立
（24-25高三上·河北衡水·月考）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)函數(shù)在上恒成立，求最小的整數(shù)a．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；(2)
【解析】（1）因為，則，
因為恒成立，由，得到或，由，得到，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，減區(qū)間為.
（2）由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，顯然有，
所以在區(qū)間上最大值為，
又函數(shù)在上恒成立，所以，得到最小的整數(shù).
1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對于恒成立，求的最大值.
【答案】(1)答案見解析；(2)
【解析】（1），當，在R上單調(diào)遞增，
當，令得，令得，
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
綜上，當時，在R上為單增遞增；
當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
（2）由（1）知，當，在R上為單調(diào)遞增，
，不合題意
當，在R上單調(diào)遞增，，
故的最大值為1，
當，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，
，
由不等式，可得，
所以，
令，則，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，即，
綜上，的最大值為.
2．（24-25高三上·浙江紹興·月考）已知函數(shù).
(1)當時，求在區(qū)間上的值域；
(2)若存在，當時，，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為，所以，
所以當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增.
因為，，，且，
所以的值域是.
（2）因為.
①若，當時，，所以在上遞增，
所以，不符合題意.
②若，當時，；當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
要存在，當，，
則只需，所以.
題型五：利用導數(shù)求解函數(shù)的零點
（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù).
(1)若在處的切線也是的切線，求實數(shù)a的值；
(2)求在上的零點個數(shù).
【答案】(1)；(2)2
【解析】（1），則，
所以切線方程為，
又，設直線與圖象的切點為，
則，解得.
（2），
當時，，，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，此時函數(shù)無零點；
當時，設，則，即遞增，
，，
因此在即在上有唯一零點，記零點為，即，
在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，
又，，，，
所以在有一個零點，在上有一個零點，
綜上所述，在上有2個零點.
1．（24-25高三上·云南玉溪·月考）已知函數(shù)
(1)證明：在區(qū)間存在唯一極大值點；
(2)求的零點個數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；(2)有且僅有兩個零點
【解析】（1）設，
當時，，
所以在上單調(diào)遞減.
又因為，
所以在上有唯一的零點，
即函數(shù)在上存在唯一零點，
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，
所以在上存在唯一的極大值點.
（2）①由（1）知：在上存在唯一的極大值點，
所以，
又因為，
所以在上恰有一個零點，
又因為，
所以在上也恰有一個零點.
②當時，則，
設，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以當時，恒成立，
所以在上沒有零點.
③當時，，
設，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以當時，恒成立，
所以在上沒有零點.
綜上，有且僅有兩個零點.
2．（24-25高三上·四川綿陽·月考）函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)證明：存在實數(shù)使得曲線關于點成中心對稱圖形；
(3)討論函數(shù)零點的個數(shù).
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)答案見解析
【解析】（1）當時，，，
則，，
故在處的切線方程為，即.
（2）由，
若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，
現(xiàn)在只需證明當時，，
事實上，，
于是
即存在實數(shù)使得即是的對稱中心.
（3），
當時，時，，故在上單調(diào)遞增，
時，，在單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，而，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點；
①若，即， 在無零點，從而在上有1個零點；
②若，即，，在有一個零點，
，故在有一個零點，
從而在上有3個零點；
③若，即，在有一個零點，從而在上有2個零點；
當時，在上單調(diào)遞增，， 時，，
從而在上有一個零點；
當時，時，
故在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減.
而，，故在無零點，
又，由，
故，，從而在有一個零點，
從而在上有一個零點.
綜上：當時，在上只有1個零點；
時，在上有2個零點；
時在上有3個零點.
題型六：利用導數(shù)證明不等式
（24-25高三上·廣東·月考）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）當時，，即切點為，
又，則，即在點的切線的斜率為，
故曲線在點處的切線方程為，即．
（2）當時，，，
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，即當時，，
則在上單調(diào)遞減；
當時，，即當時，，則在上單調(diào)遞增，
故．
1．（24-25高三上·廣東廣州·月考）已知函數(shù)
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求證：
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由題可知， ，則，
所以曲線y=fx 在點處的切線方程為；
（2）令，
則，令 ，解得或，
當時，， 的變化情況如下表所示：
又因為，,
所以在區(qū)間的最大值為
即當時，恒成立，亦即 .
2．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函數(shù).
(1)已知直線是曲線的切線，求實數(shù)a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：恒成立.
【答案】(1)；(2)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(3)證明見解析
【解析】（1），
，解得切點為，
.
（2），
當時，單調(diào)遞減，
當時，，
單調(diào)遞增，單調(diào)遞遞增.
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（3）恒成立，
恒成立恒成立.
令，
則，
令，則單調(diào)遞增，
又，當時，，即單調(diào)遞減；
當時，，即單調(diào)遞增；
恒成立.
題型七：利用導數(shù)研究雙變量問題
（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).
(1)求fx的單調(diào)區(qū)間;
(2)設，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；(2)
【解析】（1）由，，
得.
令，解得.
當時，，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當時，，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因為對任意，均存在，使得，
所以，
當時，取得最大值，最大值為0.
由（1）得，當時，在]上單調(diào)遞增，
即當時，取得最大值，
所以，解得，即.
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，取得最大值.
設，
則，單調(diào)遞增，
所以成立，所以無解.
綜上所述，的取值范圍為.
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點.
(1)求的值；
(2)設函數(shù)，若對，，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）函數(shù)的定義域為R，求導得，
依題意，，解得或，
當時，，當或時，，當時，，
因此為函數(shù)的極小值點，符合題意，則；
當時，，當或時，，當時，，
因此為函數(shù)的極大值點，不符合題意，
所以.
（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，
①當時，對，，使得，
因此，符合題意，則；
②當時，，取，對，有，不符合題意；
③當時，函數(shù)，求導得，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增，則，
若對，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范圍為.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知實數(shù)，設.
(1)若，求函數(shù)y=fx的圖象在點處的切線方程；
(2)若，已知函數(shù)y=fx，的值域為，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若對于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由題得，所以，所以，
所以在點的切線方程為；
（2）由題得，
所以，
令，解得或，
當時，f'x0，此時單調(diào)遞增；
當時，f'x0，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若時，f'x0，hx單調(diào)遞增，
，
由①得，
又，，
，使得，即，即，
且，hx0，單調(diào)遞增，
，
，，
再設，則φx在單調(diào)遞減，
，也即大于，
要證，即證，又即證，
由（2）問，
，得證.
題型十：導數(shù)與數(shù)列綜合問題
（23-24高三下·河北·三模）已知函數(shù)．
(1)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）在恒成立．
構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，矛盾，故舍去
當時，由得，所以在上單調(diào)遞增，
故，均有，矛盾，故舍去
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，滿足題意；
綜上，實數(shù)a的取值范圍為
（2）由（1）知當時，恒成立，
即在上恒成立，當且僅當時取等號．
所以當時，可得
同理，，，
兩邊分別累加得：
即
即
1．（23-24高三下·四川雅安·一模）已知函數(shù)．
(1)若有2個相異極值點，求a的取值范圍；
(2)若，求a的值；
(3)設m為正整數(shù)，若，，求m的最小值．
【答案】(1)或；(2)；(3)3.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，
由有2個相異極值點，得方程有兩個相異正實根，
于是，解得或，
所以a的取值范圍是或.
（2）令，求導得，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，
，則，使得，
當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，
則當時，，即，不符合題意；
當時，而時，，不等式不恒成立，不符合題意；
當時，，求導得，當時，，當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
即對任意正數(shù)，恒成立，即不等式恒成立，符合題意，
所以.
（3）由（2）知，對任意，不等式，當且僅當時取等號，
令，則，
則
，即，
因此，
當時，，
所以對，時，正整數(shù)的最小值為3.
2．（24-25高三上·上?！ぴ驴迹┮阎瘮?shù).
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)①當時，恒成立，求正整數(shù)的最大值；
②證明：
【答案】(1)極小值為，沒有極大值；
(2)①正整數(shù)的最大值為，②證明見解析.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
導函數(shù)，，
令，又，所以，
所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)取極小值，極小值為，
所以函數(shù)的極小值為，沒有極大值；
（2）①因為當時，恒成立，
所以當x>1時，，
由（1）若時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（a）當時，在上單調(diào)遞增，滿足題意；
（b）當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
且，，，
所以存在使得，
則的解集為，
綜上滿足條件的正數(shù)的取值范圍，其中，
所以正整數(shù)的最大值；
（ii）證明：要證
兩邊取對數(shù)，即證
也即證
由①知，
令，則
所以
所以
所以．
必刷大題
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函數(shù)，．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，設，若既有極大值又有極小值，求的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；(2)
【解析】（1）當時，的定義域為，，
當時，恒成立，在上為增函數(shù)；
當時，，，
當或時，f'x>0，當時，f'x

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