【大題04】概率與統(tǒng)計(jì)-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題培優(yōu)講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：離散型隨機(jī)變量及其分布列
（23-24高三下·廣東佛山·一模）密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.
(1)在某個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對(duì)抗，若是同級(jí)的玩家對(duì)抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對(duì)抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；
(2)甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號(hào)分別為①和②.密室①有2個(gè)門，密室②有3個(gè)門（每個(gè)門都可以雙向開），甲在每個(gè)密室隨機(jī)選擇1個(gè)門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號(hào)為，求的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列見解析
【解析】（1）7人中隨機(jī)選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，
6種情況中，甲和資深玩家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，
則甲和資深玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，
和同級(jí)的玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，
故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；
（2）設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
考慮，需考慮甲直接從號(hào)門走出密室或者進(jìn)入密室②且最終從密室①走出密室，
故①，
考慮，則甲從號(hào)門進(jìn)行密室①，且從密室①走出密室，
故②，
聯(lián)立①②，可得，
所以，故，
故分布列如下：
1．（24-25高三上·貴州·月考習(xí)）已知甲?乙兩人參加某檔知識(shí)競賽節(jié)目，規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，甲?乙兩人初始分均為0分，答題過程中當(dāng)一人比另一人的得分多2分時(shí)，答題結(jié)束，且分高者獲勝，若甲?乙兩人總共答完5題時(shí)仍未分出勝負(fù)，則答題直接結(jié)束，且分高者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人答對(duì)每道題的概率分別為，每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立，且每題都有人搶答.
(1)求第一題結(jié)束時(shí)甲獲得1分的概率；
(2)記表示知識(shí)競賽結(jié)束時(shí)，甲?乙兩人總共答題的數(shù)量，求的分布列與期望.
【答案】(1)23；(2)分布列見解析，
【解析】（1）設(shè)每道題的搶答中，記甲得1分為事件.
發(fā)生有兩種可能：搶到題且答對(duì)，乙搶到題且答錯(cuò)，
∴，
∴ 甲率先得1分的概率為.
（2）由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙得1分的概率分別為，
設(shè)兩人共搶答了道題比賽結(jié)束，根據(jù)比賽規(guī)則，的可能取值為.
，
，
，
.
2．（24-25高三上·北京·月考習(xí)）某校舉辦知識(shí)競賽，已知學(xué)生甲是否做對(duì)每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對(duì)三道題目的概率以及做對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示.
規(guī)則如下：按照的順序做題，只有做對(duì)當(dāng)前題目才有資格做下一題.
[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對(duì)的題目相對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金總和.]
(1)求甲沒有獲得獎(jiǎng)金的概率；
(2)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金的分布列及期望；
(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序最終獲得的獎(jiǎng)金期望最大？（不需要具體計(jì)算過程，只需給出判斷）
【答案】(1)；(2)分布列見解析，40（元）；(3)不同，按照的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大，理由見解析.
【解析】（1）甲沒有獲得獎(jiǎng)金，則題目A沒有做對(duì)，
設(shè)甲沒有獲得獎(jiǎng)金為事件，則.
（2）分別用表示做對(duì)題目的事件，則相互獨(dú)立.
由題意，的可能取值為.
;
.
所以甲最終獲得的獎(jiǎng)金的分布列為
（元）.
（3）不同，按照的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大，理由如下：
由（2）知，按照的順序獲得獎(jiǎng)金的期望為40元，
若按照的順序做題，
則獎(jiǎng)金的可能取值為.
;
.
故期望值為元；
若按照的順序做題，
則獎(jiǎng)金的可能取值為.
;
.
故期望值為元；
若按照的順序做題，
則獎(jiǎng)金的可能取值為.
;
.
故期望值為元，
若按照的順序做題，
則獎(jiǎng)金的可能取值為.
;
.
故期望值為元，
若按照的順序做題，
則獎(jiǎng)金的可能取值為.
;
.
故期望值為元，
顯然按照的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大.
題型二：超幾何分布與二項(xiàng)分布
（24-25高三上·北京·期中）某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為一等品?二等品?三等品?四等品四個(gè)等級(jí)，某采購商從采購的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，根據(jù)產(chǎn)品的等級(jí)分類得到如下數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)產(chǎn)品等級(jí)，按分層抽樣的方法從這100件產(chǎn)品中抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若將頻率視為概率，從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求恰好有1件四等品的概率；
(3)生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購商選擇，
方案一：產(chǎn)品不分類，售價(jià)均為21元/件.
方案二：分類賣出，分類后的產(chǎn)品售價(jià)如下：
從采購商的角度考慮，你覺得應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)的分布列見解析；；(2)；(3)應(yīng)該選擇方案一
【解析】（1）由題可得，抽取的10件產(chǎn)品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值為0，1，2，3．
，，
，，
則的分布列為：
.
（2）從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到四等品的數(shù)量為，則，
∴.
（3）由題意得，方案二的產(chǎn)品的平均售價(jià)為：
（元/件），
∵，
∴從采購商的角度考慮，應(yīng)該選擇方案一.
1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·月考習(xí)）哈三中文學(xué)社團(tuán)舉行知識(shí)競賽答題活動(dòng)，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從A類6道題中任選3道進(jìn)行答題，都答完后錯(cuò)題個(gè)數(shù)不超過1道（否則終止比賽）才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從B類10道題中任選3道進(jìn)行答題．A類題每答對(duì)一道得10分，B類題每答對(duì)一道得30分，答錯(cuò)不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分80分或90分為三等獎(jiǎng)，110分為二等獎(jiǎng)，120分為一等獎(jiǎng)．某班參加活動(dòng)的同學(xué)類題中只有4道能答對(duì)，類題中，每題答對(duì)的概率均為，且各題答對(duì)與否互不影響．
(1)求該同學(xué)被終止比賽的概率；
(2)現(xiàn)該同學(xué)進(jìn)入第二輪，求他在第二輪答題中得分X的分布列及期望；
(3)求該同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)
【解析】（1）從類道題中任選道，其中1道會(huì)做，2道不會(huì)做，則被終止比賽，
所以該同學(xué)被終止比賽的概率為．
（2）由題意可知，的所有可能取值為90,60,30,0，
則，，
，，
所以的分布列為：
所以．
（3）該同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)，共有兩種情況，
第一輪得20分（答對(duì)2道），則第二輪得60分（對(duì)2道），
概率為；
②第一輪得30分（答對(duì)3道），則第二輪得60分（對(duì)2道），
概率為，
所以該同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率為．
2．（24-25高三上·重慶·月考習(xí)）我國承諾2030年前“碳達(dá)峰”，2060年“碳中和”，“碳達(dá)峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后再慢慢減下去；“碳中和”是指針對(duì)排放的二氧化碳要采取植樹、節(jié)能減排等各種方式全部抵消掉.做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重慶十一中某班利用班會(huì)課時(shí)間組織了垃圾分類知識(shí)競賽活動(dòng)，競賽分為初賽、復(fù)賽和決賽，只有通過初賽和復(fù)賽，才能進(jìn)入決賽.首先出戰(zhàn)的是第一組、第二組、第三組，已知第一組、第二組通過初賽和復(fù)賽獲勝的概率均為23，第三組通過初賽和復(fù)賽的概率分別為和，其中，三組是否通過初賽和復(fù)賽互不影響.
(1)求取何值時(shí)，第三組進(jìn)入決賽的概率最大；
(2)在（1）的條件下，求進(jìn)入決賽的隊(duì)伍數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；(2)分布列見解析，43
【解析】（1）由題知：第三組通過初賽和復(fù)賽的概率，
又因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時(shí)，第三組進(jìn)入決賽概率最大為.
（2）由（1）知：第一組、第二組、第三組進(jìn)入決賽的概率均為.
因?yàn)檫M(jìn)入決賽的隊(duì)伍數(shù)，
所以；；
；.
所以隨機(jī)變量的分布列為:
.
題型三：均值與方差的實(shí)際應(yīng)用
（24-25高三上·河北·期中）隨著我國城鎮(zhèn)化建設(shè)的不斷推進(jìn)，各種智能終端的普及和互聯(lián)互通，人工智能在教育?醫(yī)療?金融?出行?物流等領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用.為普及人工智能相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)青少年對(duì)科學(xué)技術(shù)的興趣，某中學(xué)組織開展“科技興國”人工智能知識(shí)競賽.競賽試題有甲?乙?丙三類（每類題有若干道），各類試題的每題分值及選手小李答對(duì)概率如下表所示，各小題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得0分，競賽分三輪答題依次進(jìn)行，競賽結(jié)束，各輪得分之和即為選手最終得分.
其競賽規(guī)則為：
第一輪，先回答一道甲類題，若正確，進(jìn)入第二輪答題；若錯(cuò)誤，繼續(xù)回答另一道甲類題，該題回答正確，同樣進(jìn)入第二輪答題；否則，退出比賽.
第二輪，在丙類題中選擇一道作答，若正確，進(jìn)入第三輪答題；否則，退出比賽.
第三輪，在乙類試題中選擇一道作答.
(1)求小李答題次數(shù)恰好為2次的概率；
(2)求小李最終得分的數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）記事件“小李先答對(duì)甲類一道試題”，“小李繼續(xù)答對(duì)另一道甲類試題”，
“小李答對(duì)乙類試題”，“小李答對(duì)丙類試題”，
則.
記事件“小李答題次數(shù)恰好為2次”，則.
，
即小李答題次數(shù)恰好為2次的概率為.
（2）設(shè)小李最終得分為，由題知的可能值為.
，
，
，
.
所以
1．（24-25高三上·四川成都·月考習(xí)）某小區(qū)有3000名居民，想通過驗(yàn)血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占.為減輕工作量，隨機(jī)地按人一組分組，然后將各組個(gè)人的血樣混合在一起化驗(yàn).若混合血樣呈陰性，說明這個(gè)人全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.
(1)若試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；
(2)若，且每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元，求當(dāng)為何值時(shí)，每個(gè)居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.
注：假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)270；(2)10
【解析】（1）設(shè)每組需要檢驗(yàn)的次數(shù)為，若混合血樣為陰性，
則，若混合血樣呈陽性，則，
所以，，
所以
一共有組，故估計(jì)該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)是.
（2）設(shè)每組人總費(fèi)用為元，若混合血樣呈陰性，則；
若混合血樣呈陽性，則，
故，

每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為
=元
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故時(shí)，每個(gè)居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.
2．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）甲乙兩人各有n張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，……，2n，兩人進(jìn)行n輪比賽，在每輪比賽中，甲按照固定順序1，3，5，……，每輪出一張卡片，乙從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）．
(1)當(dāng)時(shí)，求甲的總得分小于2的概率．
(2)分別求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，3，…，n，則，記輪比賽（即從第1輪到第輪比賽）中甲的總得分為，乙的總得分為，求和的值，并由這兩個(gè)值來判斷隨著輪數(shù)的增加，甲乙的總得分期望之差有什么變化規(guī)律？
【答案】(1)；(2)甲得分最小值和最大值的概率都為；(3)答案見解析
【解析】（1）甲順序?yàn)?，3，5，7，乙選卡片的不同順序共有4！=24種，
而使得甲得分小于2的所有順序共有12種，
2，4，6，8 2，4，8，6； 2，6，4，8； 2，6，8，4； 2，8，6，4；
4，2，6，8； 4，6，2，8； 4，6，8，2； 4，8，6，2； 6，4，8，2；
6，4，2，8； 8，4，6，2．
由古典概型得甲的總得分小于2的概率為；
（2）甲按照固定順序1，3，5，7，…，，乙按照2、4，6，8，…，2n，
甲得分最小值為0，則概率為．
甲按照固定順序1，3，5，7，…，，乙按照2n、2，4，6，…，，
甲得分最大值為，則概率為．
（3）設(shè)隨機(jī)變量，
則服從兩點(diǎn)分布，，且，
由題意可得，
，
因?yàn)椋?br>所以隨著輪數(shù)的增加，甲乙的總得分期望之差不變，總是甲比乙多1分.
題型四：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
（24-25高三上·浙江·月考習(xí)）在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個(gè)學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.
(1)甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點(diǎn)；
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【答案】(1)；(2)乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
【解析】（1）由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，
由，
可得，則，
所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有，
所以學(xué)生小A被抽到的概率
（2）由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率為，
得分不高于58分的概率為，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
1．（24-25高三上·江蘇泰州·月考習(xí)）以A地生產(chǎn)的所有番茄為總體，總體中每個(gè)番茄的重量為隨機(jī)變量，其中均為正數(shù)．隨機(jī)從總體中抽取個(gè)番茄作為一個(gè)樣本，番茄的重量分別為，，其取值相互獨(dú)立．樣本均值為．
(1)已知對(duì)于任意的隨機(jī)變量，有；如果，的取值相互獨(dú)立，則又有．求及．
(2)若，證明：是的充要條件．
【答案】(1)，；(2)證明見解析
【解析】（1）由題意得．
的取值相互獨(dú)立，
故．
（2）下面的不等式變換完全等價(jià)：
即，，，，
故是的充要條件．
2．按照國際乒聯(lián)的規(guī)定,標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球在直徑符合的條件下,重量為2.7克,其重量的誤差在區(qū)間[－0.081,0.081]內(nèi)就認(rèn)為是合格產(chǎn)品,在正常情況下樣本的重量誤差x服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件樣本,其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
(1)計(jì)算上述10件產(chǎn)品的誤差的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差s；
(2)①利用（1）中求的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差s,估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率能否達(dá)到96%；
②如果產(chǎn)品的誤差服從正態(tài)分布,那么從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品,則有不合格產(chǎn)品的概率為多少？（附：若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布,則，，，用0.624，用0.9704分別代替計(jì)算）
【答案】(1)0，0.05；(2)①不能；②0.3756
【解析】（1）由題意10件產(chǎn)品的誤差分別為，
誤差的平均數(shù)為；
方差為，
所以標(biāo)準(zhǔn)差為；
（2）①由（1）中計(jì)算得
所以
因?yàn)樵趦?nèi)包括了所有的合格產(chǎn)品,也包括了不合格的產(chǎn)品，
而，
所以這批抽查的產(chǎn)品的合格率不能達(dá)到96%.
②因?yàn)楫a(chǎn)品重量的誤差服從正態(tài)分布，所以，
即為，
所以每件產(chǎn)品合格的概率,
所以隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品中有不合格產(chǎn)品的概率為．
題型五：線性回歸與非線性回歸
（24-25高三上·陜西西安·模擬預(yù)測）近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對(duì)環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對(duì)不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：
(1)計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)（保留三位小數(shù)）；
(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量．
參考公式，，．
參考數(shù)值：，．
【答案】(1)；(2)萬輛
【解析】（1），
，
所以；
（2）由（1）知，，
，
所以關(guān)于的線性回歸方程是，
當(dāng)時(shí)，（萬輛），
該地區(qū)年新能源汽車購買數(shù)量約為萬輛.
1．（24-25高三上·廣東·月考習(xí)）仙人掌別名老鴉舌，神仙掌，這一獨(dú)特的仙人掌科草本植物，以其頑強(qiáng)的生命力和獨(dú)特的形態(tài)在自然界中獨(dú)樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且?guī)в写痰奶卣鞫妹扇苏撇粌H具有極高的觀賞價(jià)值，還具有一定的藥用價(jià)值，被譽(yù)為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進(jìn)行儲(chǔ)藏來提高生存能力，我國某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度y（單位：cm），與其根莖長度x（單位：cm）之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系，通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：
參考數(shù)據(jù)：．
(1)由上表數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說明是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（若，則可用線性回歸模型擬合，計(jì)算結(jié)果精確到0.001）；
(2)求關(guān)于的線性回歸方程.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為．
【答案】(1)，可用；(2)
【解析】（1）易得，
，
故．
則，故可用線性回歸模型模擬．
（2），
，
故線性回歸方程為．
2．（24-25高三上·福建泉州·月考習(xí)）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：
經(jīng)計(jì)算得：線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫差和產(chǎn)卵數(shù)，.
(1)若用線性回歸方程，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1）；
(2)若用非線性回歸模型求得關(guān)于回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)0.9522.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.
（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.
附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為；相關(guān)指數(shù).
【答案】(1)；(2)（i）非線性回歸模型擬合效果更好；（ii）；
【解析】（1）由題意，則，，
，，
y關(guān)于x的線性回歸方程為.
（2）（i）對(duì)于線性回歸模型，，，
相關(guān)指數(shù)為，
因?yàn)椋杂梅蔷€性回歸模型擬合效果更好.
（ii）當(dāng)，時(shí)（個(gè)）
所以溫度為時(shí)，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190個(gè).
題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)及應(yīng)用
（24-25高三上·四川綿陽·月考習(xí)）2021年8月，義務(wù)教育階段“雙減”政策出臺(tái)，某初中在課后延時(shí)服務(wù)開設(shè)奧數(shù)、科技、體育等特色課程.為了進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情況，隨機(jī)選取了400人進(jìn)行調(diào)查問卷，整理后獲得如下統(tǒng)計(jì)表:
(1)若從樣本內(nèi)喜歡奧數(shù)的240人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取32人，則應(yīng)在A組、B組各抽取多少人？
(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)？
附:
參考公式:，其中.
【答案】(1)應(yīng)在A組抽取人，應(yīng)在B組抽取人.
(2)能認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005
【解析】（1）應(yīng)在A組抽取人，應(yīng)在B組抽取人.
（2）零假設(shè)為：選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)無關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算可得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，
即認(rèn)為選報(bào)奧數(shù)延時(shí)課與喜歡奧數(shù)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.
1．（24-25高三上·寧夏中衛(wèi)·月考習(xí)）寧夏新高考改革方案已正式公布，根據(jù)改革方案，將采用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治，歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門，由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際，首先在物理和歷史中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”.
(1)若某學(xué)生根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求該生恰好選到“物化生”組合的概率；
(2)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？
附參考公式與表：，.
獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：
【答案】(1)；(2)列聯(lián)表見解析，不能認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”
【解析】（1）設(shè)物理、歷史兩門學(xué)科分別為，政治、地理、化學(xué)、生物分別為，
某同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，所得的結(jié)果為：，
，
共有12種情形，所以該生恰好選到“物化生”的概率為；
（2）的列聯(lián)表為：
設(shè)零假設(shè)：選科與性別無關(guān)，
則，
故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可得零假設(shè)成立，
故不能認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”.
2．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）某地生產(chǎn)隊(duì)在面積相等的50000塊稻田上種植一種新型水稻，從中抽取100塊得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）與優(yōu)質(zhì)頻數(shù)并部分整理成下表（最終畝產(chǎn)量均在900kg到1200kg之間）
(1)這50000塊稻田中，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)約為多少？
(2)估計(jì)這片稻田的平均畝產(chǎn)量（單位kg）；
(3)已知在100塊抽取稻田中畝產(chǎn)量在的優(yōu)質(zhì)稻田有25塊，是否有0.95的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)與畝產(chǎn)量不少于1050kg且少于1200kg有關(guān)？（參考公式：，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)塊；(2)；(3)沒有.
【解析】（1）由表格、、、、的畝產(chǎn)區(qū)間，
對(duì)應(yīng)頻數(shù)分別為，頻數(shù)共為，故樣本中畝產(chǎn)量在的頻數(shù)約為.
所以，50000塊稻田中畝產(chǎn)量在的頻數(shù)約為塊.
（2）由（1），抽取100塊稻田的平均畝產(chǎn)量為
.
所以，這片稻田的平均畝產(chǎn)量約為.
（3）由題意，可得如下列聯(lián)表，
故，
所以，沒有0.95的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)與畝產(chǎn)量不少于1050kg且少于1200kg有關(guān).
題型七：條件概率/全概率公式/貝葉斯公式
（24-25高三上·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知4臺(tái)車床加工的同一種零件共計(jì)1000件，其中第一臺(tái)加工200件，次品率為5%；第二臺(tái)加工250件，次品率為6%；第三臺(tái)加工250件，次品率為8%；第四臺(tái)加工300件，次品率為10%.現(xiàn)從這1000件零件中任取一個(gè)零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）臺(tái)車床加工的零件的概率.
【答案】(1)；(2)分別為．
【解析】（1）由題意所求概率為；
（2）由題意第一臺(tái)車床加工的零件中次品數(shù)約為，
第二臺(tái)車床加工的零件中次品數(shù)約為，
第三臺(tái)車床加工的零件中次品數(shù)約為，
第四臺(tái)車床加工的零件中次品數(shù)約為，
，
所以取到的零件是次品，它是第一臺(tái)車床加工的零件的概率為，
它是第二臺(tái)車床加工的零件的概率為，
它是第三臺(tái)車床加工的零件的概率為，
它是第四臺(tái)車床加工的零件的概率為．
1．（24-25高三上·廣東·月考習(xí)）甲乙兩人參加知識(shí)競賽活動(dòng)，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答對(duì)積1分，答錯(cuò)不得分：然后換對(duì)方抽題作答，甲乙兩人各完成一次答題記為一輪比賽．比賽過程中，有選手領(lǐng)先2分者立即晉級(jí)，比賽結(jié)束（不管該輪比賽有沒有完成）．已知甲答對(duì)題目的概率為，乙答對(duì)題目的概率為p，答對(duì)與否相互獨(dú)立，抽簽決定首次答題方，已知第一輪答題后甲乙兩人各積1分的概率為．記比賽結(jié)束時(shí)甲乙兩人的答題總次數(shù)為．
(1)求；
(2)求在的情況下，甲晉級(jí)的概率；
(3)由于比賽時(shí)長關(guān)系，比賽答題不能超過3輪，若超過3輪沒有晉級(jí)者，則擇期再進(jìn)行比賽．求甲在3輪比賽之內(nèi)成功晉級(jí)的概率．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由題意可得，即；
（2）當(dāng)時(shí)，甲乙兩人各答兩題，由于比賽結(jié)束，
故總有一人兩題全對(duì)，另一人兩題全錯(cuò)，
且第四題答題人必須答對(duì)才能結(jié)束，
故當(dāng)時(shí)，后答題人晉級(jí)，
（例：若甲先答題，若甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)，此時(shí)比賽結(jié)束，不符合要求）
設(shè)甲晉級(jí)為事件，的情況為事件，
則，
，
則；
（3）甲在3輪比賽之內(nèi)成功晉級(jí)，則兩人可能的答題總次數(shù)為、、、，
設(shè)這四個(gè)事件分別為、、、，
若，則甲先答題，兩人答題情況一定為：甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
則，
若，則乙先答題，兩人答題情況一定為：乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
則，
若，則甲先答題，兩人答題情況可能為：
甲錯(cuò)，乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲錯(cuò)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
甲對(duì)，乙對(duì)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
則，
若，則乙先答題，兩人答題情況可能為：
乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲錯(cuò)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
乙錯(cuò)，甲錯(cuò)，乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙對(duì)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
乙對(duì)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)，乙錯(cuò)，甲對(duì)；
則
，
故甲在3輪比賽之內(nèi)成功晉級(jí)的概率.
2．（24-25高三上·四川內(nèi)江·月考習(xí)）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會(huì)在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復(fù)．（提示：設(shè)表示第天選擇綠豆湯）
(1)求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率
(2)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；
(3)記該同學(xué)第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析
【解析】（1）該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率為；
（2）設(shè)表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，
根據(jù)題意得，，
所以．
（3）設(shè)表示第天選擇綠豆湯，則，
根據(jù)題意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以，所以..
題型八：概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用
（24-25高三上·廣東廣州·模擬預(yù)測）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，求的值.
【答案】(1)，平均時(shí)間為小時(shí)；(2)分布列見解析，期望；(3)
【解析】（1）由已知，解得，
所以平均數(shù)為.
（2）這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，
在，兩組內(nèi)的學(xué)生分別有人，和人；
所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，
所以隨機(jī)變量的可能取值有，，
所以，，
則分布列為
期望；
（3）由頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率為，
則，
若為最大值，則，
即，
即，解得，
又，且，則.
1．（24-25高三上·寧夏石嘴山·月考）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）
(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算，（1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機(jī)變量，則，，）
(3)該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，
【解析】（1）；
（2）由，∴，，
.
（3）小兔子開始在第1格，為必然事件，，
點(diǎn)一下開始按鈕，小兔子跳1格即移到第2格的概率為，即，
小兔子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種情況.
①小兔子先跳到第格，又點(diǎn)一下開始按鈕跳了2格，其概率為；
②小兔了先跳到第格，又點(diǎn)一下開始按鈕跳了1格，其概率為；
∵，∴．
∴當(dāng)時(shí)，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴，
．
∴獲勝的概率．
2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·月考習(xí)）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時(shí)間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖所示.
(1)求的值，并求該公司這段時(shí)間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；
(2)以頻率估計(jì)概率，若在這段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個(gè)標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個(gè)分別貼在、兩個(gè)頂點(diǎn)，記頂點(diǎn)、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.
【答案】(1)，175；(2)分布列見解析，；(3)
【解析】（1）由.
因?yàn)椋海?br>所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在，且為.
（2）因?yàn)槌槿〉?天汽車銷售量不超過150輛的概率為，
抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.
所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，
抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.
由題意，的值可以為：0，1，2，3.
且，，
，.
所以的分布列為：
所以.
（3）如圖：取中點(diǎn)，鏈接，，，，.
因?yàn)椋际沁呴L為2的等邊三角形，
所以，，，平面，所以平面.
平面，所以.
所以為二面角DE 平面角.
在中，，所以.
若，在中，由正弦定理：.
此時(shí)：，.
所以，要想中獎(jiǎng)，須有.
由是從寫有數(shù)字1~8的八個(gè)標(biāo)簽中隨機(jī)選擇的兩個(gè)，所以基本事件有個(gè)，
滿足的基本事件有：
，，，，，，，，共9個(gè)，
所以中獎(jiǎng)的概率為：.
題型九：概率與其他知識(shí)的交匯應(yīng)用
（24-25高三上·廣東深圳·月考習(xí)）甲乙兩人參加知識(shí)競賽活動(dòng)，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答對(duì)積1分且對(duì)方不得分，答錯(cuò)不得分且對(duì)方積1分；然后換對(duì)方抽題作答，直到有領(lǐng)先2分者晉級(jí)，比賽結(jié)束.已知甲答對(duì)題目的概率為，乙答對(duì)題目的概率為p，答對(duì)與否相互獨(dú)立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為.記甲乙兩人的答題總次數(shù)為.
(1)求p；
(2)當(dāng)時(shí)，求甲得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)若答題的總次數(shù)為n時(shí)，甲晉級(jí)的概率為，證明：.
【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)證明見解析
【解析】（1）記“第i次答題時(shí)為甲”，“甲積1分”，
則，，，，，
，
則，解得；
（2）由題意可知當(dāng)時(shí)，X可能的取值為0，1，2，
則由（1）可知，
，，
X的分布列為：
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.
（3）由答題總次數(shù)為n時(shí)甲晉級(jí)，不妨設(shè)此時(shí)甲的積分為，乙的積分為，
則，且，所以甲晉級(jí)時(shí)n必為偶數(shù)，令，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
則
，
又時(shí)，隨著m的增大而增大，
1．（24-25高三上·湖南·月考習(xí)）若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①存在，使得；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若，
（i）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（ii）記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記為奇數(shù)的概率為.證明：數(shù)列具有性質(zhì).
【答案】(1)（i）數(shù)列不具有性質(zhì)，數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；
（ii）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）（i）因?yàn)閱握{(diào)遞增，但無上限，即不存在，使得恒成立，
所以數(shù)列不具有性質(zhì).
因?yàn)椋謹(jǐn)?shù)列bn為單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列bn具有性質(zhì).
（ii）數(shù)列具有性質(zhì).
，
，
兩式作差得，
即，
所以數(shù)列滿足條件①.
為單調(diào)遞增數(shù)列，滿足條件②.
綜上，數(shù)列具有性質(zhì).
（2）因?yàn)椋?br>若為奇數(shù)的概率為為偶數(shù)的概率為，
①
②，
，即.
所以當(dāng)時(shí)，，故隨著的增大而增大，且.
故數(shù)列具有性質(zhì).
2．（24-25高三上·海南省·開學(xué)考試）第十五屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識(shí)，某大學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識(shí)闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復(fù)賽，初賽勝利后才能參加復(fù)賽，初賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次；如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為，假定互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立．
(1)若計(jì)劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)，，求該小組初賽勝利的概率；
(2)已知，若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；
(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)定：單人參賽，每個(gè)人回答三道題，全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)；答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)；答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)；全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)，已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽，他在復(fù)賽中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．
【答案】(1)；(2)甲先派出；(3)
【解析】（1）設(shè)事件表示該小組獲勝，
則，
所以該小組初賽勝利的概率為，
（2）若依次派出甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出的人員數(shù)目為，
則的可能取值為，
則，，，
此時(shí)，
若依次派出丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出的人員數(shù)目為，
則的可能取值為，
則，，，
此時(shí)，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲.
（3）由題意可得，，
則，
令，
則，
令，
所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
所以，
所以的最小值為.
題型十：利用概率解決決策類問題
（24-25高三上·寧夏銀川·月考習(xí)）2023年12月30號(hào)，長征二號(hào)丙/遠(yuǎn)征一號(hào)S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長征系列運(yùn)載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對(duì)我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個(gè)容量為40的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：
附：
，.
(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)？
(2)該市為了提高本市學(xué)生對(duì)航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識(shí)闖關(guān)比賽，包含三個(gè)問題，有兩種答題方案選擇：
方案一：回答三個(gè)問題，至少答出兩個(gè)可以晉級(jí)；
方案二：在三個(gè)問題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問題，都答對(duì)可以晉級(jí).
已知小華同學(xué)答出三個(gè)問題的概率分別是，，，小華回答三個(gè)問題正確與否相互獨(dú)立，則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？（說明理由）
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān).
(2)小華應(yīng)該選擇方案二，理由見解析.
【解析】（1）完整列聯(lián)表如下：
故，
故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān).
（2）方案一：設(shè)事件“回答三個(gè)問題，小華晉級(jí)”為，
則；
方案二：設(shè)事件“三個(gè)問題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問題，小華晉級(jí)”為，
則，
因?yàn)?，故小華應(yīng)該選擇方案二.
1．（24-25高三上·貴州貴陽·月考習(xí)）某校將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投3次，在處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，在處連續(xù)投2次兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)不得分，測試者累計(jì)得分高于3分即通過測試，并終止投籃（若前兩次投籃后確定不能通過測試也終止投籃）.甲同學(xué)為了通過測試，刻苦訓(xùn)練，投中3分球的概率為，投中2分球的概率為，且每次投籃結(jié)果互不影響.
(1)若甲同學(xué)先投3分球，求他投籃2次就終止投籃的概率；
(2)為使通過測試的概率最大，甲同學(xué)應(yīng)先投幾分球？
(3)為使投籃累計(jì)得分期望最大，甲同學(xué)應(yīng)先投幾分球？
【答案】(1)；(2)甲同學(xué)先投2分或先投3分是一樣的；(3)先投2分球
【解析】（1）記甲同學(xué)先投3分球，投籃2次就終止投籃的事件為，
.
（2）記甲同學(xué)先投3分球通過測試的概率為，
則；
記甲同學(xué)先投2分球通過測試的概率為，
則；
因?yàn)?，故甲同學(xué)先投2分或先投3分是一樣的.
（3）記甲同學(xué)先投3分球投籃累計(jì)得分為，先投2分球投籃累計(jì)得分為，
可能取
，
.
可能取，
，
，
.
故甲同學(xué)先投2分球投籃累計(jì)得分期望最大.
2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·月考習(xí)）某校高三年級(jí)部組織高中生數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，競賽分為個(gè)人賽和團(tuán)體賽，競賽規(guī)則如下：個(gè)人賽規(guī)則：每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，電腦同時(shí)給出2道判斷題（判斷對(duì)錯(cuò)）和4道選擇題（每個(gè)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)是正確的），要求參賽者全都作答，若有4道或4道以上答對(duì)，則該選手挑戰(zhàn)成功.團(tuán)體賽規(guī)則：以班級(jí)為單位，每班參賽人數(shù)不少于20人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽：方式一：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成n組，每組2人，電腦隨機(jī)分配給同組兩個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功，若這n個(gè)小組都挑戰(zhàn)成功，則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.方式二：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成2組，每組n個(gè)人，電腦隨機(jī)分配給同組n個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這n個(gè)人都回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功.若這兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組挑戰(zhàn)成功則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.
(1)在個(gè)人賽中若一名參賽選手全部隨機(jī)作答，求這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率；
(2)甲同學(xué)參加個(gè)人賽，他能夠答對(duì)判斷題并且答對(duì)選擇題，其余題目只能隨機(jī)作答，求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；
(3)在團(tuán)體賽中，假設(shè)某班每位參賽同學(xué)對(duì)給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)，為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)選擇方式一
【解析】（1）設(shè)事件：選手答對(duì)1道選擇題；事件：選手答對(duì)1都選擇題，
則，，
這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率：
（2）甲同學(xué)挑戰(zhàn)不成功可能得情況如下：
①只答對(duì)一道判斷題和選擇題；
②除和外只答對(duì)一道填空題或一道選擇題（中任意一道）
∴甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率：
（3）方式一：小組調(diào)整成功的概率：，
該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：；
方式二：小組調(diào)整成功的概率：，
該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：
，
令
則
∵，則，，
可得，，
∴，即，∴單調(diào)遞增，
又∵，且，
∴，
從而，即，所以為使本班調(diào)整成功的可能性更大，應(yīng)該選方式一參賽.
必刷大題
1．（2024·全國·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？
(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）
附：
【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析
【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得，
因?yàn)椋?br>所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，
沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.
（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為，
用頻率估計(jì)概率可得，
又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，
則，
可知，
所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.
2．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設(shè)，
（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？
【答案】(1)；(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【解析】（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，
則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為，
，
，
，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
因?yàn)?，則，，
則，
應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
3．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.
(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【答案】(1)；(2)(i)0.122萬元；(ii) 這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值
【解析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.
（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，
，，，
故
故（萬元）.
（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，
故（萬元），
從而.
4．（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？
(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？
（附：其中，．）
【答案】(1)；(2)；(3)有
【解析】（1）由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，
則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為．
（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為
．
則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).
（3）由題列聯(lián)表如下：
提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．
其中．
．
則零假設(shè)不成立，
即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．
5．（2024·上海·高考真題）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．
(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；
(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．
【答案】(1)；(2)一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱
(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克
【解析】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，
樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
A事件的樣本點(diǎn)的公式，
所以；
（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)，
所以8箱水果中有一級(jí)果抽取箱，二級(jí)果抽取箱；
（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為，方差為，二級(jí)果質(zhì)量為，方差為，
總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，
因?yàn)?，，，?br>所以克，
克．
預(yù)估平均質(zhì)量為克．1
2
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算。）
2
4
5
題目
A
做對(duì)的概率
獲得的獎(jiǎng)金/元
20
40
80
0
20
60
140
等級(jí)
一等品
二等品
三等品
四等品
數(shù)量
40
30
10
20
等級(jí)
一等品
二等品
三等品
四等品
售價(jià)/（元/件）
24
22
18
16
0
1
2
3
1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
（1）定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
（2）定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
（3）列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．
（4）求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2、超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)題，考察某一類個(gè)題個(gè)數(shù)的概率分布；
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。
3、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項(xiàng)分布是“有放回”的抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同點(diǎn)。
項(xiàng)目
題型
每小題分值
每小題答對(duì)概率
甲類題
乙類題
丙類題
利用隨機(jī)變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量的均值的意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)或集中與分散的狀況，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征量有關(guān)。
1、若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量，的均值。當(dāng)時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，還需要用，來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度。
2、若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近。
關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
（1）熟記P(μ－σ

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多