題型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列證明
（23-24高三下·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
1．（24-25高三上·上?！て谥校┠橙速?gòu)買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….
(1)寫出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；
(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
2．（24-25高三上·山東淄博·月考）記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求，并證明是等差數(shù)列；
(2)求．
題型二：分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（24-25高三上·北京·月考）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
1．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求n的值．
2．（24-25高三上·海南?？凇ぴ驴迹┮阎獢?shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，，
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型三：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（24-25高三上·湖北·期中）記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列.
(1)求和；
(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
1．（24-25高三上·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值組成的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列是一個(gè)二階等差數(shù)列，其中．
(1)求及的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（24-25高三上·寧夏石嘴山·月考）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.
題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（24-25高三上·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
1．（24-25高三上·貴州貴陽·月考）已知數(shù)列an滿足：，數(shù)列bn滿足：.
(1)求數(shù)列的前15項(xiàng)和；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
題型五：數(shù)列與不等式綜合問題
（23-24高三下·河北邢臺(tái)·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：．
1．（24-25高三上·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè)．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù)．
2．（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的最大值；
(3)設(shè)，證明：.
題型六：數(shù)列中的探究問題
（23-24高三下·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，且均為正整數(shù).
(1)是否存在數(shù)列，使得是等差數(shù)列？若存在，求此時(shí)的；若不存在，說明理由；
(2)若，求的通項(xiàng)公式.
1．（24-25高三上·天津·月考）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列．
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)及；
（ii）在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（24-25高三上·江蘇無錫·期中）在下面行、列的表格內(nèi)填數(shù)：第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列an；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列bn；其余空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫.設(shè)第2行的數(shù)自左向右依次記為.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意的，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，
①求和的值;
②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
必刷大題
1．（24-25高三上·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列bn滿足：，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，
(1)記，寫出，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的前20項(xiàng)和．
3．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，滿足．
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
4．（24-25高三上·江西上饒·月考）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)的值.
5．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，為和的等比中項(xiàng)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)求證：數(shù)列.
6．（24-25高三上·山東青島·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．
(1)求an的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
3．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．
(1)過，求的解集；
(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．
4．（2024·天津·高考真題）已知an為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．
(1)求an的通項(xiàng)公式及；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．
（ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，求證：；
（ⅱ）求．第1列
第2列
第3列
…
第列
第1行
1
2
…
第2行
3
5
9
第3行
5
10
…
…
第行

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