題型歸納
題型一：三角恒等變換與三角函數(shù)
（24-25高三上·河南·月考）已知向量，函數(shù).
(1)求的最小正周期;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1），
的最小正周期；
（2）由題知在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線恰有兩個交點(diǎn)，
令，
作出的圖象與直線，如圖.
由圖知，當(dāng)時，的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
1．（24-25高三上·江蘇常州·月考）如圖，已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，且滿足.
(1)求的解析式；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)值域.
【答案】(1);(2)
【解析】（1）由，得，則
又，即得，
由，得
根據(jù)圖象可知，解得
.
（2），故，
，即的值域?yàn)?,2.
2．（24-25高三上·北京·期中）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期；
(2)求不等式的解集；
(3)從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件，求的取值范圍.
①在有恰有兩個極值點(diǎn)；
②在單調(diào)遞減；
③在恰好有兩個零點(diǎn).
注：如果選擇的條件不符合要求，0分；如果選擇多個符合要求的條件解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析
【解析】（1）因?yàn)?
所以的最小正周期為.
（2）因?yàn)?，即?br>則，解得，
所以不等式的解集為.
（3）因?yàn)?，所?
若選擇①：因?yàn)樵谟星∮袃蓚€極值點(diǎn).
則，解得，
所以的取值范圍；
若選擇②：因?yàn)樵趩握{(diào)遞減
當(dāng)時，函數(shù)遞增，
所以在不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；
若選擇③：因?yàn)樵谇『糜袃蓚€零點(diǎn).
則，解得，
所以的取值范圍.
題型二：正余弦定理解三角形的邊與角
（24-25高三上·福建南平·期中）在銳角中，角所對的邊分別為.已知
(1)求；
(2)當(dāng)，且時，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
所以，
又因?yàn)闉殇J角，所以，
所以
（2）由（1）知且為銳角，
所以，
所以，即，
所以.解之得
1．（24-25高三上·江蘇蘇州·月考）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)證明：；
(2)若，，求.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由已知結(jié)合正弦定理，得，
化簡得，
即，
所以，
又，所以，
故由正弦定理得.
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
結(jié)合，可得，故，
由（1）知，
由余弦定理得，
則，
化簡得，
代入，整理得，所以，
所以，
故.
2．（24-25高三上·上?！て谥校┰谥?，角、、所對的邊分別為、、，已知．
(1)若，，求；
(2)若，，求的周長．
【答案】(1)；(2)或.
【解析】（1）根據(jù)余弦定理，已知，，.
將，，代入余弦定理公式可得：
化簡得
解得（因?yàn)檫呴L不能為負(fù)，舍去）.
（2）已知，由正弦定理可得.
因?yàn)?，可?
因?yàn)?，，時有兩解（為銳角或鈍角）.
當(dāng)為銳角時，.
，，.
則.
再由正弦定理，可得.
，可得.
此時三角形周長為.
當(dāng)為鈍角時，.
.
由正弦定理，可得.
，可得.
此時三角形周長為.
則的周長為或.
題型三：利用正弦定理求三角形外接圓
（24-25高三上·全國·專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求的大?。?br>(2)若面積為，外接圓面積為，求周長.
【答案】(1)；(2)18
【解析】（1），
，
，
，．
（2）設(shè)外接圓的半徑為，
由， 得，
因?yàn)?，解得?br>，所以，
又，
所以49= ，故，
所以.
1．（24-25高三上·海南·月考）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓，且，，為鈍角，.
(1)求；
(2)若，求△BCD的面積．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)闉殁g角，，所以，
由余弦定理得，
整理得，解得（負(fù)根舍去），
由正弦定理得.
（2）由于圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，所以且為銳角，則，
在三角形中，由余弦定理得：
，，
解得（負(fù)根舍去），
所以三角形的面積為.
2．（23-24高三下·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.
(1)求面積的取值范圍；
(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由三角形的性質(zhì)可知，，即，
且，即，所以，
中，，
所以，則，
，
所以面積的取值范圍是；
（2）中，，
中，，
即
因?yàn)樗倪呅未嬖谕饨訄A，所以，即，
即，得，，
此時，即，
由，
四邊形外接圓的面積.
題型四：解三角形中邊長或周長的最值范圍
（24-25高三上·四川綿陽·月考）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.
(1)求證：；
(2)，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）在銳角中，由余弦定理及，得，
由正弦定理得，
則，由，得，
所以，即.
（2）在銳角中，由正弦定理得，則，
于是，
由，得，則，，
所以的取值范圍是.
1．（24-25高三上·山西·月考）在中，角的對邊分別是，且．
(1)證明：．
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）由題設(shè)，
所以，
則，即，
又，則，且，
所以，得證.
（2）由題設(shè)，即，得，
由，而，故.
2．（24-25高三上·貴州遵義·月考）記的內(nèi)角，，對應(yīng)的三邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若，求的周長的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)锽∈0,π，所以，即；
（2）因?yàn)?，，由正弦定理得?br>則，又，
則，且，
所以
因?yàn)椋?，則，
所以，
綜上可知，三角形的周長的取值范圍是．
題型五：解三角形中面積的最值范圍
（24-25高三上·遼寧沈陽·月考）已知中，角的對邊分別為，滿足．
(1)求角．
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得?br>因?yàn)椋傻?，所以，所以?br>又因?yàn)?，所以，解?
（2）由（1）知，且，
又由正弦定理得，可得，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且，可得，
則，所以，所以面積的取值范圍是．
1．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所對的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由，得，
由正弦定理，得，
因?yàn)?，且?br>綜上，.
（2）因?yàn)椋?br>由余弦定理，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因?yàn)椋?br>所以面積，即面積的最大值為.
2．（24-25高三上·河南·月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求C的值；
(2)若內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，，求面積的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，，
所以，即，
所以，
即，
又因?yàn)槭侨切蔚脙?nèi)角，顯然，所以，
即，所以.
（2）法一：由（1）得：，設(shè)，
在中，由余弦定理得，，
同理在中有：，
，
又因?yàn)槭侵苯侨切?，所以?br>所以，即，
所以，因?yàn)椋?，即，所?br>，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
的面積的最小值為．
法二：在中，設(shè)，
由余弦定理可得，.
由勾股定理可得:，即.
而.
由基本不等式，所以，可解得(由上)，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以面積最小值為.
題型六：三角形的角平分線、中線、垂線
（24-25高三上·江蘇徐州·月考）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分線，，求線段BD的長．
【答案】(1)；(2)4.
【解析】（1）已知，由正弦定理（為外接圓半徑），
可得.
因?yàn)?，所以，那?
根據(jù)兩角和的正弦公式，
則.
展開可得.
移項可得.
因?yàn)椋?，兩邊同時除以得，解得.
又因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)锽D是角的平分線，根據(jù)角平分線定理，
已知，，所以，設(shè)，則.
在中，根據(jù)余弦定理，
，，則.
即，解得，所以，.
在中，根據(jù)余弦定理，
因?yàn)?，所?
設(shè)，則.
即，整理得.
分解因式得，解得或.
當(dāng)，在中，,舍去.
當(dāng)，在中，,滿足.
故BD的長度為4.
1．（24-25高三上·福建福州·月考）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若D為中點(diǎn)，，，求的周長．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），由正弦定理得，,
即，因?yàn)?，所以?br>所以，
化簡得，又，
可得，，
.
（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
則，
即，整理得，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得，
，所以的周長為.
2．（24-25高三上·廣西南寧·月考）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是．已知
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在邊上，，請在下列兩個條件中任選一個，求邊長．
①為的角平分線；②為的中線．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理知，
所以，
又，所以，
，
又，
，
化簡得，即，
又，所以．
（2）選①，為的角平分線，
由得：，
即，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
選②，為的中線，
則，平方得，
所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
必刷大題
1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）記銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)延長到，使，求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）已知，正弦定理得，
則有，
所以，而，
則，
即，銳角中，，則，
由，因此.
（2）在中，由正弦定理得①．
在中，由正弦定理得②．
，，得，
由①②可得，
解得．
2．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且B為鈍角.
(1)若,，求的面積；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），
因?yàn)?，，故?br>因?yàn)闉殁g角，所以，，
由正弦定理得，故，
其中，
所以，解得，
，
；
（2）由（1）知，，
，
因?yàn)闉殁g角，所以，且，
解得，
所以，
.
3．（24-25高三上·湖南長沙·月考）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且.
(1)若，求；
(2)若，求的面積的最大值.
【答案】(1)；(2)3
【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>又，所以，，
從而.
（2）由余弦定理可知，則，
又，故，
即，故，即，
從而，
當(dāng)時取等號，即的面積的最大值為3.
4．（24-25高三上·遼寧大連·月考）在中，角、、的對邊分別為、、，滿足.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，求的最小值．
【答案】(1)；(2)4
【解析】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；
（2）由三角形面積公式得：，解得，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為4，此時為等邊三角形．
5．（24-25高三上·江蘇無錫·期中）在中，已知.
(1)若為銳角三角形，求角的值，并求的取值范圍;
(2)若，線段的中垂線交邊于點(diǎn)，且，求A的值.
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）由題意，
所以，
所以，所以，
易知，所以，則，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，
即的取值范圍為；
（2）
設(shè)中點(diǎn)為，則，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
因?yàn)榫€段的中垂線交邊于點(diǎn)，可知，所以，
則，解之得，此時，正切不存在，舍去；
或，解之得；
綜上.
6．（24-25高三上·天津·月考）在中，角對應(yīng)邊分別為，外接圓半徑為，已知.
(1)證明：；
(2)求角和邊；
(3)若，求.
【答案】(1)證明見解析；(2)，；(3).
【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，又，
所以，，，又，
所以，
所以；
（2）由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
由（1），所以，
所以，；
（3）因?yàn)?，，所以，?br>所以，故為銳角，所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以.
所以.
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，
(1)設(shè)，求解:的值域;
(2)的最小正周期為，若在上恰有3個零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以令?br>由正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
（2）由題意得，所以，可得，
當(dāng)時，，，即，，
當(dāng)時，，不符合題意，
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，，符合題意，
所以，
即，故.
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因?yàn)?，所以?br>從而，
又因?yàn)?，即?br>注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，所以.
3．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點(diǎn)求解
設(shè)，則，
顯然時，，注意到，
，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設(shè)，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式， ，
則，此時，即同向共線，
根據(jù)向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬能公式求解
設(shè)，根據(jù)萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
（2）由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長為
4．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負(fù)舍）；
則.
（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
再根據(jù)正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因?yàn)?，則
（3）法一：因?yàn)?，且B∈0,π，所以，
由（2）法一知，
因?yàn)?，則，所以，
則，
.
法二：，
則，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
所以
5．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.
【解析】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，
則，則，則，解得，
因?yàn)闉殁g角，則.
（2）選擇①，則，因?yàn)?，則為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則
，
則
6．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【解析】（1）因?yàn)?br>所以，
因?yàn)椋?
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐椋?br>所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，因?yàn)椋?
所以，；
若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。
1、首先要通過降冪公式降冪，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcs α (S2α)；cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
2、再通過輔助角公式“化一”，化為
3、輔助角公式：asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計算：
一般將看做一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的問題（零點(diǎn)問題），通常通過函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，再借助圖象進(jìn)行分析。
利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：
1、選定理.
（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；
（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；
（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；
（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；
（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；
2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.
3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。
利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。
若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。
利用正、余弦定理等知識求解三角形邊長或周長最值范圍問題，一般先運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，然后通過三角形中相關(guān)角的三角恒等變換，構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等來處理。
1、常用三角形的面積公式：
（1）；
（2）；
（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑）；
（4），即海倫公式，其中為三角形的半周長。
2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函數(shù)思想的應(yīng)用。
1、解三角形角平分線的應(yīng)用
如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，c
（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
（2）內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則ABAC=BDDC.
說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。
（3）等面積法：因?yàn)镾?ABD+S?ACD=S?ABC，所以12c?ADsinA2+12b?ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2，整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分線長公式）
2、解三角形中線的應(yīng)用
（1）中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中
（2）向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD的值也適用）.
3、解三角形垂線的應(yīng)用
（1）分別為邊上的高，則
（2）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度
高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。

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