專題六解析幾何第六講　定值問題-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)一】定值問題5
【專題精練】20
真題自測(cè)
一、解答題
1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
參考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡(jiǎn)計(jì)算可得的值.
【詳解】(1) 因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡(jiǎn)得，，
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)椋裕?br>化簡(jiǎn)得，
所以，即．
因?yàn)?，所以?br>[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因?yàn)?，所以?br>由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對(duì)參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.
方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】定值問題
一、單選題
1．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，D是直線上的一動(dòng)點(diǎn)．與C交于點(diǎn)P（P在x軸的上方），過A作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
2．（2024·河南·三模）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，P，M，Q，N是拋物線上的四個(gè)點(diǎn)（P，M在軸上方，Q，N在軸下方），已知直線PQ與MN的斜率分別為和2，且直線PQ與MN相交于點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．2
二、多選題
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）
A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為
5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），點(diǎn)在直線上，點(diǎn)Q在直線上，且，則（）
A．C的離心率為3B．當(dāng)時(shí)，
C．D．為定值
6．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說法正確的是（）
A．
B．存在實(shí)數(shù)，使得
C．若，則
D．若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則
三、填空題
7．（2024·吉林白山·二模）已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且三點(diǎn)共線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 .
8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)是等軸雙曲線的左右頂點(diǎn)，且點(diǎn)是雙曲線上異于一點(diǎn)，，則．
9．（2024·四川成都·三模）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)) 的值為
四、解答題
10．（2024·安徽合肥·二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．
11．（23-24高三上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．
12．（2023·廣東·二模）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA與拋物線E交于點(diǎn)C，PB與拋物線E交于點(diǎn)D，且滿足，其中λ是常數(shù)，且．
(1)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，證明：MN垂直于x軸；
(2)若點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形ABDC面積的最大值．
參考答案：
1．D
【分析】結(jié)合已知并注意到，且，由此可得，進(jìn)一步有，結(jié)合基本不等式取等條件以及銳角三角函數(shù)即可列方程求解.
【詳解】由題意有：；
又因?yàn)椋?br>所以，
顯然直線斜率不為0，
即，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值．
此時(shí)，又，則．
故選：D．
2．A
【分析】容易知道，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，則，由正弦定理求外接圓半徑，結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】由題意可知：，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，
設(shè)直線的斜率分別為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，
因?yàn)?，?br>則，即，
可知直線方程為：，則直線方程為：，
令得，，
即，，則，
由正弦定理得：，，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：A.
3．A
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，再根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式分別求得，再求結(jié)果即可.
【詳解】設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得，，
則；
又直線方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得，
則，；
故，，，；
故.
故選：A.
4．AC
【分析】由橢圓定義可判斷A；由為定值以及AB的范圍可判斷B；求出，的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，可判斷C；求出，的坐標(biāo)，由三角形面積公式可判斷D.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，所以為定值6，故A正確；
的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，
易知AB的范圍是，所以的周長(zhǎng)的范圍是，故B錯(cuò)誤；
將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，，
又易知，所以，
所以為直角三角形，故C正確；
將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC．
5．BCD
【分析】根據(jù)離心率的公式即可求解A，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解B，根據(jù)二倍角公式以及斜率關(guān)系即可求解C，根據(jù)角的關(guān)系即可求解線段長(zhǎng)度相等，判斷D.
【詳解】由題意得，，故A錯(cuò)誤；
聯(lián)立，得，解得或，則，故B正確；
由直線：可知，又，，故在線段的中垂線上，
設(shè)，的斜率分別為，，，故直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，則，，故.
當(dāng)軸時(shí)，，是等腰直角三角形，且易知；
當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，直線的斜率為，故，
因?yàn)椋?，所以，，故C正確；
因?yàn)椋?，故，故D正確.
故選:BCD.
6．ACD
【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過拋物線焦點(diǎn)，利用焦半徑公式可判斷A正確；聯(lián)立直線和拋物線方程利用向量數(shù)量積公式可知，恒成立，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)可知A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，解得其交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，即C正確；由直線與的傾斜角互補(bǔ)，可知，利用韋達(dá)定理聯(lián)立方程即可求出，即D正確.
【詳解】由已知，拋物線：，∴，，焦點(diǎn)F1,0，
不妨設(shè)為Ax1,y1，Bx2,y2，設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，

對(duì)于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，，
直線：過焦點(diǎn)F1,0，
∴由拋物線的定義，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，消去，化簡(jiǎn)得（顯然），
則，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
∵，∴，∴，
又∵由選項(xiàng)B判斷過程知，，
∴解得，，或，，，
∴若，則，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，由題意，，，，，
直線與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且，
∴，代入，，化簡(jiǎn)得，
由選項(xiàng)B的判斷知，，
∴，∴，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
7．
【分析】由題意得，首先設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得坐標(biāo)，進(jìn)一步由，成等比數(shù)列，可得的坐標(biāo)，從而可得斜率，注意到，結(jié)合離心率公式即可順利得解.
【詳解】
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，
由題意設(shè)直線（斜率顯然存在，否則點(diǎn)就不存在了），不妨設(shè)點(diǎn)分別在第一象限、第三象限，
則直線的斜率；
聯(lián)立，解得，
則，
而，成等比數(shù)列，
則，
設(shè)，則，
從而，而不重合，也就是，
解得，則，
故直線的斜率，
設(shè)，
所以，
所以，故所求離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是分別表示出，由此結(jié)合即可順利得解.
8．
【分析】
根據(jù)等軸雙曲線可得，據(jù)此可得關(guān)于的正切的方程，從而可求.
【詳解】
因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，故，故，
設(shè)，則，，且，
，
即，
，，
，而，故即.
故答案為：.
9．/
【分析】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)作的切線的方程，即可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】由拋物線，得，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消得，
則，
由，得，
所以過點(diǎn)作的切線的斜率為，
故切線方程為，即，
令，則，令，則，
即，
則，
所以.
故答案為：.
10．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意得，將點(diǎn)代入橢圓的方程可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，可得，，直線的方程為，令，得，同理，由斜率公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，再將點(diǎn)代入得，
解得，故橢圓的方程為；
（2）由題意可設(shè)，
由可得，
易知恒成立，所以，
又因?yàn)锳-2,0，
所以直線的方程為y=y1x1+2x+2，令，則，故，
同理，
從而，
故為定值．
11．(1)
(2)是，定值為．
【分析】
（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程可得雙曲線方程，進(jìn)而由離心率公式即可求解.
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別求解，即可代入化簡(jiǎn)求解.
【詳解】（1）
將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得
所以雙曲線的離心率．
（2）
依題意可得直線的斜率存在，設(shè)：．
聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，
所以．
，直線：．設(shè)，．
聯(lián)立得，
則且，
則
，
所以，所以為定值，定值為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍或者定值問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等或者等量關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合斜率分析可得，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，可得面積，結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.
【詳解】（1）因?yàn)?，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，
所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，
設(shè)，，，，
則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，
由，得，
因式分解得，約分得，
所以，即，
所以MN垂直于x軸．
（2）設(shè)，則，且，
當(dāng)時(shí)，C為PA中點(diǎn)，則，，
因?yàn)镃在拋物線上，所以，整理得，
當(dāng)時(shí)，D為PB中點(diǎn)，同理得，
所以是方程的兩個(gè)根，
因?yàn)椋?br>由韋達(dá)定理得，，
所以，所以PM也垂直于x軸，
所以，
因?yàn)椋?br>所以
，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，
所以四邊形ABDC面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】方法定睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法
一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．
規(guī)律方法：
求解定值問題的兩大途徑
(1)由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)→證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)．
(2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值．
專題精練
一、單選題
1．（2024·河北秦皇島·二模）已知A，B為橢圓：上兩個(gè)不同的點(diǎn)（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，且，若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作直線，與拋物線分別交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)．若直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為（）
A．B．
C．D．不存在
二、多選題
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任意一異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）
A．為定值
B．
C．當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，直線的斜率為1
D．點(diǎn)的縱坐標(biāo)沒有最大值
5．（23-24高二下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（）
A．C的焦距為B．為定值
C．的最大值為4D．的最小值為2
6．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A．存在點(diǎn)A、，使
B．若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為
C．平分
D．以為直徑的圓與軸相切
三、填空題
7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）橢圓的弦滿足，記坐標(biāo)原點(diǎn)在的射影為，則到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .
8．（2024·河北滄州·一模）已知雙曲線：的焦距為，雙曲線C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則．
四、解答題
9．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，過的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.
①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.
10．（2024·重慶·一模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
11．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.
(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程;
(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），
（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;
（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，求出和，由條件得，依次求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和其中垂線斜率，寫出中垂線方程，令，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.
【詳解】
如圖，由題意知，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
根據(jù)點(diǎn)A，B在C上，則，，
所以，
同理可得，所以，
所以，
因線段的中點(diǎn)為，，
則的垂直平分線的斜率為，
又由，，作差化簡(jiǎn)得：，
則線段垂直平分線的方程為，
令，得：，
解得，所以.
故選：A.
2．D
【分析】設(shè)，由雙曲線定義和題目條件，表達(dá)出，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，故，設(shè)，求出直線與的斜率之積為.
【詳解】設(shè)，則，
由雙曲線定義得，，
在中，由余弦定理得
，
解得，
則，，
在中，由余弦定理得
，
解得，則，，
設(shè)，則，
將代入得，
則直線與的斜率之積為.
故選：D
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓錐曲線中點(diǎn)弦相關(guān)結(jié)論及其推廣：
橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，其中原點(diǎn)為，
則，
推廣：已知橢圓的兩頂點(diǎn)分別為，則橢圓上一點(diǎn)（除兩點(diǎn)），滿足；
雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，其中原點(diǎn)為，
則，
推廣：已知雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，則雙曲線上一點(diǎn)（除兩點(diǎn)），滿足；
3．B
【分析】直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理可用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由消參，再求的斜率即可.
【詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程，得，
所以拋物線.
設(shè)直線的斜率分別為，則，
直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，
消去整理得，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，代入直線的方程，得，
即
同理可得，
又，即，
所以直線的斜率為
.
故選：B.
4．AB
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷AB；取點(diǎn)在第一象限，求出面積最大時(shí)的斜率判斷C；表示出M點(diǎn)縱坐標(biāo)后利用基本不等式即可判斷D.
【詳解】依題意，，設(shè)，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，直線的方程為，它與直線的交點(diǎn)，
因此，B正確；
對(duì)于C，不妨令，四邊形的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)，
直線的斜率為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，則，，
聯(lián)立，解得，
要確定點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值，不妨令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)為.
5．BCD
【分析】根據(jù)雙曲線方程求焦距，判斷A；根據(jù)兩個(gè)圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可判斷B；并根據(jù)基本不等式，即可判斷C；根據(jù)坐標(biāo)表示，結(jié)合B選項(xiàng)，即可判斷D.
【詳解】雙曲線方程，其中，則，所以焦距，故A錯(cuò)誤；
設(shè)，，
所以，
（*）
聯(lián)立，得，
其中，，代入（*）
得到（定值），故B正確；
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
，同理，
所以，
其中
由B選項(xiàng)可知，，，，
所以上式，當(dāng)時(shí)，取得的最小值，
所以的最小值是，
則的最小值是，故D正確.
故選：BCD
6．BCD
【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，直線m的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)判斷A，根據(jù)焦半徑公式判斷B，通過計(jì)算即可判斷C；結(jié)合題意結(jié)合拋物線的定義分析判斷D；
【詳解】對(duì)于A，由題意可知：拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,1，準(zhǔn)線，
直線的斜率一定存在且與拋物線C相交，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，直線m的方程為，
與拋物線聯(lián)立，得，則，，
可得，
所以為鈍角，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以點(diǎn)M到直線的距離為，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)，因?yàn)椋?br>即直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，所以平分，故C正確；
對(duì)于D，由題意可知：的中點(diǎn)到x軸距離，
可知以為直徑的圓與軸相切，故D正確．
故選：BCD．
7．4
【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合直線與這個(gè)軌跡的位置關(guān)系求解即得.
【詳解】橢圓的弦滿足，即有
設(shè)，則，，
于是，解得，同理，
則，即，
由原點(diǎn)在的射影為，得，而，
因此，即點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，方程為，
圓心到直線的距離，顯然此直線與圓相交，
垂直于直線的圓的直徑端點(diǎn)到直線距離分別為，
于是圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有4個(gè)，
所以到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.
故答案為：4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及用橢圓上的動(dòng)點(diǎn)處理問題時(shí)，可以借助正余弦函數(shù)設(shè)出此點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)關(guān)系求解.
8．/
【分析】先用導(dǎo)數(shù)求在處切線的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系，求出雙曲線漸近線的斜率，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)直線與雙曲線聯(lián)立，求出，的坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，
所以雙曲線C的一條漸近線的斜率為：.
對(duì)雙曲線，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
如圖：
M，N為上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為：，
由，所以.
又，用代替，可得.
所以
故答案為：.
9．(1)
(2)結(jié)論③正確，證明見解析
【分析】（1）由幾何性質(zhì)知P到，兩點(diǎn)的距離之和為定值可得P的軌跡為橢圓；
（2）解法一、二：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
解法三：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)求得Q橫坐標(biāo)為4，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
解法四：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程，利用在橢圓上得，將直線的方程化為，與直線聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
【詳解】（1）由題意得，，.
因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，即，
又，所以，
又E為的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左?右頂點(diǎn)除外）.
設(shè)，其中，.
則，，，.
故.
（2）解法一：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得，
，
解得.
故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.
解法二：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，
得
，
故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.
解法三：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0.
（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，由，得或.
不妨設(shè)，，
則直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得，所以，
故Q到的距離，此時(shí)的面積是.
（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得
.
下證：.
即證，即證，
即證，
即證，
上式顯然成立，
故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，
此時(shí)的面積是定值，為.
由（i）（ii）可知，的面積為定值.
解法四：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，.
直線的方程為：，直線的方程為：，
因?yàn)?，所以?br>故直線的方程為：.
由，得
，
解得.
故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.
（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理
①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；
②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；
③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.
10．(1)
(2)，證明見解析.
【分析】（1）利用雙曲線定義即可得到其方程；
（2）先得到特殊情況時(shí)，再證明其對(duì)一般情況也適用.
【詳解】（1）連接，則，
點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的雙曲線，
點(diǎn)的軌跡方程為:.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為:，則.
當(dāng)直線的方程為時(shí)，則，解得（負(fù)舍，）則，
而，易知此時(shí)為等腰直角三角形，
其中，
即，即:，
下證：對(duì)直線斜率存在的情形也成立，
設(shè)Px1,y1，其中，且，因?yàn)?，則，且，
即，
，
，
，
結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用先猜后證的思想，先得到直線斜率不存在時(shí)，然后通過二倍角得正切公式證明一般情況即可.
11．(1)
(2)（i）證明見解析；縱坐標(biāo)為0；（ii）.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.
（2）（i）由O，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，
聯(lián)立，消去，得，由方程根的思想即可求解. 或O，M，C，N四點(diǎn)共圓，由或，也可求解.
（2）（ii）記的面積分別為，分別聯(lián)立方程先求出，所以，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.
【詳解】（1）解:設(shè)直線
聯(lián)立，消去，得，
所以，
，則
，則，又由題意，
直線的方程是;
（2）（1）方法1:設(shè)
因?yàn)镺，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
即，
所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根，
則，
因?yàn)椋?br>由的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.
方法2:設(shè)，則，
因?yàn)镺，M，D，N四點(diǎn)共圓，所以當(dāng)M，D在直線異側(cè)時(shí)，，
即，
化簡(jiǎn)可得:；
當(dāng)M，D在直線同側(cè)時(shí)，，
即，
化簡(jiǎn)可得:；
綜上可得的重心的縱坐標(biāo)為0.
（2）記的面積分別為，由已知得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，所以，
所以，
由（1）得，，
所以，即，
因?yàn)椋?br>點(diǎn)到直線MN的距離，
所以，
所以
在第一象限，即，
依次連接O，M，D，N構(gòu)成凸四邊形OMDN，所以，即，
又因?yàn)?，即，即?br>所以，即，即，
所以，
設(shè)，則，
令，則，
因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
題號(hào)
1
2
3
4
5
6

答案
D
A
A
AC
BCD
ACD

題號(hào)
1
2
3
4
5
6

答案
A
D
B
AB
BCD
BCD

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