專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第六講　函數(shù)的公切線問題-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點突破】5
【考點一】求兩函數(shù)的公切線5
【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題11
【考點三】判斷公切線條數(shù)18
【考點四】求參數(shù)的取值范圍21
【專題精練】27
考情分析：
函數(shù)的公切線問題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點問題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
真題自測
一、單選題
1．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．
二、填空題
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 .
三、解答題
3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.
2．
【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.
【詳解】由得，，
故曲線在處的切線方程為；
由得，
設(shè)切線與曲線相切的切點為，
由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，
切線方程為，
根據(jù)兩切線重合,所以，解得.
故答案為：
3．(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；
（2）設(shè)出上的切點坐標(biāo)，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；
（2），則在點處的切線方程為，整理得，
設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：
則的值域為，故的取值范圍為.
考點突破
【考點一】求兩函數(shù)的公切線
一、單選題
1．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2023·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說法正確的有（）
A．B．
C．若，則D．與的交點可能在第三象限
4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線：為曲線：和：的公切線，則下列結(jié)論正確的是（）
A．曲線的圖象在軸的上方
B．當(dāng)時，
C．若，則
D．當(dāng)時，和必存在斜率為的公切線
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）曲線與的公切線方程為 .
6．（23-24高三上·山東日照·期末）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同的點，使得曲線在三點處的切線重合，則此切線的方程為 .（寫出符合要求的一條切線即可）
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)出切點，寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.
【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為且，
與曲線的切點為且，
又，，
則直線與曲線的切線方程為，即，
直線與曲線的切線方程為，即，
則，解得，故，
故選：A.
2．B
【分析】設(shè)與y=fx相切于點Ax0,y0，與y=gx相切于點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到和，再由，求得，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得，即可求解.
【詳解】設(shè)與曲線y=fx相切于點Ax0,y0，與y=gx相切于點，
由，可得的斜率，所以①，
又由，可得，所以，即②，
又因為③，
將②③代入①中，可得，由③易知，,則④，
將④代入③，可得，則，
令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，可得，所以，
所以的方程為，即．
故選：B．
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
3．ABC
【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得公切線關(guān)于對稱，即可得到，利用誘導(dǎo)公式證明A，利用誘導(dǎo)公式及基本不等式證明B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明C，結(jié)合函數(shù)圖象說明D.
【詳解】如圖，因為與互為反函數(shù)，
故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，關(guān)于對稱，
故，，故A正確；
由題意，，均為銳角，，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；
設(shè)與兩個函數(shù)圖象分別切于，兩點，與交于Q，，則，
即，解得或（舍去），
故，
對于，則，令，解得，所以切點為，
所以曲線的斜率為的切線方程為，
故曲線的斜率為的切線方程為，
同理可得的斜率為的切線方程為，
故曲線的斜率為的切線方程為，
所以，則，則，故C正確；
由圖可知點必在第一象限，故D錯誤.

故選：ABC.
4．ABD
【分析】由函數(shù)解析式可直接判斷A，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，可用含的式子表示出切點的坐標(biāo)，再將其代入直線，即可判斷B，設(shè)，，利用，并結(jié)合斜率的計算公式，可得判斷C，若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，再結(jié)合選項B中所得，求出和的值判斷D．
【詳解】選項A，由，得，可知曲線的圖象在軸的上方，故A正確；
選項B，當(dāng)時，：，：，
對于：，有，
因為直線：為曲線的切線，
所以，即，此時，
所以切點坐標(biāo)為，將其代入切線方程中，
有，整理得，可得，即B正確；
選項C，當(dāng)時，公切線為，
設(shè)，，則，，
所以，，解得，，故C錯誤；
選項D，當(dāng)時，，，則，，
若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，
由選項B可知，，即，
所以，，即，，符合題意，
故當(dāng)時，和必存在斜率為的公切線，即D正確．
故選：ABD．
5．
【分析】設(shè)出兩曲線的切點和，由導(dǎo)數(shù)的意義可得，再由點斜式得出公切線方程，把點代入直線方程可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到，進(jìn)而得出，最后得到直線方程.
【詳解】設(shè)曲線上的切點為，曲線上的切點為.
因為，
則公切線的斜率，所以.
因為公切線的方程為，即，
將代入公切線方程得，
由，得.
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，0，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以，
故公切線方程為，即.
故答案為：.
6．（或）
【分析】
先求導(dǎo)，設(shè)切線方程，然后根據(jù)切線重合列方程，由此進(jìn)行分類討論求解切線方程.
【詳解】設(shè)存在三個不同點在曲線y=fx上，
則，且互不相同，
由題可得，，
故y=fx在的切線方程分別為：，，，
根據(jù)題意可得
由①可知，，
由②，令，
則，
即，
平方可得，，
即，
由于互不相同，則，
則可得，故，則，
由此可得其切線方程為：，
故答案為：（或）
規(guī)律方法：
求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再依據(jù)已知點在切線上求解．
【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題
一、單選題
1．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若曲線與，恰有2條公切線，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（）
A．0或2B．或2C．或0D．0或1
二、多選題
3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（）
A．恒成立的充要條件是
B．當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線
C．當(dāng)時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線
D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則
4．（2023·湖北·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（）
A．0B．C．D．
三、填空題
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則 .
6．（2024·四川·模擬預(yù)測）若直線是曲線fx=lnx的切線，也是曲線的切線，則．
參考答案：
1．A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．
【詳解】令，，則，，
設(shè)，則曲線在處切線為，
設(shè)，則曲線在處切線為，
由題意，消去得，
由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，
又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，
所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．
故選：A.
2．A
【分析】設(shè)直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出.
【詳解】依題意得，設(shè)直線的方程為，即，
由直線和圓相切可得，，解得，
當(dāng)時，和相切，
，設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得.
即時，；
當(dāng)時，和相切，
，設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得.
即時，.
綜上所述，或.
故選：A.
3．ACD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解恒成立即可求解A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解切線方程，根據(jù)公切線的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解BCD.
【詳解】對于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，所以，解得，故A正確；
對于B，設(shè)切點,，,，，，
有，
①代入②，可得，
當(dāng)時，代入方程解得：，
，方程無解，即兩個函數(shù)圖象無公切線，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，代入方程得：，
，故，，
所以函數(shù)與的一條公切線為：，故C正確；
對于D，如圖，不妨設(shè)切線與切于，與切于，
設(shè),，,，,，,，，，
故
所以，，
，同理，
則中點即可中點，
所以四邊形是平行四邊形，
由處的切線方程為，
處的切線方程為，
得，即，結(jié)合可知，是方程的根，
由C選項可知：是的兩個切點，所以，也是方程的根，
所以,且,故，
則，，
，
，
令，則，
故，故D正確．
故選：ACD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題BC選項的關(guān)鍵是設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)含義和斜率定義得到，再整理化簡代入值即可判斷.
4．ABC
【分析】設(shè)該直線與相切于點，求出切線方程為，設(shè)該直線與相切于點，求出切線方程為，聯(lián)立方程組，得到，令，討論的單調(diào)性，從而得到最值，則可得到，解出的取值范圍，四個選項的值分別比較與區(qū)間端點比較大小即可判斷是否在區(qū)間內(nèi).
【詳解】設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，
所以該切線方程為，即.
設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，
所以該切線方程為，即，
所以，
所以，
令，
所以當(dāng)時，0；當(dāng)時，；
在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增；
又，所以，
所以，解得，所以的取值范圍為，
所以A正確；
對于B，，所以，所以B正確；
對于C，因為，所以C正確；
對于D，因為，所以D不正確.
故選：ABC
5．
【分析】分別求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，計算即可.
【詳解】設(shè)曲線與的切點分別為，
易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為，，
由題意可知：，可得，
則，解得，
所以.
故答案為：.
6．/
【分析】根據(jù)函數(shù)在切點的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可先求出公切線的方程，然后根據(jù)函數(shù)在切點的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可求解.
【詳解】因為，
所以，
設(shè)設(shè)直線與的切點為，
則切線方程為,
即，
又因為
所以，
解得，，
所以切線方程為：，
因為，
所以，
設(shè)直線與的切點為，
所以①，
又因為切點在直線上，
所以②，
由①和②可得，
所以，
解得
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的公切線問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出切點坐標(biāo)，然后利用函數(shù)在切點橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率以及切點在切線上求解即可.
規(guī)律方法：
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程．
【考點三】判斷公切線條數(shù)
一、單選題
1．（2023·河南·三模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則與曲線和均相切的直線l有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
2．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）曲線與曲線有（）條公切線.
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·江西南昌·一模）已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為
A．三條B．二條C．一條D．0條
參考答案：
1．C
【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求兩曲線的切線，當(dāng)切線方程相同時，求切點坐標(biāo)解的個數(shù).
【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則有，
即，解得，所以，
由，所以在點處的切線方程為，整理得．
設(shè)，直線l與的圖像相切于點，因為，
所以切線方程為，整理得，則（*），
整理得，
當(dāng)時，，方程有兩個非零實數(shù)根，
也滿足方程，故有3個解，
所以方程組（*）有3組解，故滿足題中條件的直線l有3條．
故選：C
2．B
【分析】設(shè)出圖像上任意一點坐標(biāo)，求得過該點的切線方程，結(jié)合公切線，求得切線與圖像的切點坐標(biāo)，求得過該點的切線方程，根據(jù)兩個切線方程重合列方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，判斷出方程的根的個數(shù).
【詳解】設(shè)是曲線圖像上任意一點，，
所以，
所以過點的切線方程為，
整理得①.
令，解得，則，
所以曲線上過點的切線方程為：
，整理得②.
由于切線①②重合，故，
即③.
構(gòu)造函數(shù)，則
，，
故當(dāng)時遞減、當(dāng)時遞增，
注意到當(dāng)時，且，
所以當(dāng)時遞減，當(dāng)時，遞增，
而，
根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間各存在的一個零點，
也即有兩個零點，
也即方程③有兩個根，
也即曲線和曲線有兩條公切線.
故選：B
【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的公切線，考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，屬于難題.
3．A
【分析】分別設(shè)出兩條曲線的切點坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個數(shù)，即可得到切線的條數(shù).
【詳解】設(shè)公切線與和分別相切于點，，解得，代入化簡得，構(gòu)造函數(shù)，原函數(shù)在，極大值
故函數(shù)和x軸有交3個點，方程有三解，故切線有3條.
故選A.
【點睛】這個題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標(biāo)；三，利用點斜式寫出直線方程.考查了函數(shù)零點個數(shù)問題，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和x軸的交點問題.
規(guī)律方法：
運用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構(gòu)造新的函數(shù)，通過零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù)，即方程解的情況．
【考點四】求參數(shù)的取值范圍
一、單選題
1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若至少存在一條直線與曲線和均相切，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若點為曲線與曲線的交點，且兩條曲線在點處的切線重合，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、填空題
4．（2023·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是．
5．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍．
6．（2023·河北唐山·三模）已知曲線與有公共切線，則實數(shù)的取值范圍為 .
參考答案：
1．D
【分析】分別假設(shè)公切線的切點，然后根據(jù)題意列出方程并化簡，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點即可.
【詳解】，設(shè)公切線與曲線y=fx相切于點，與曲線y=gx相切于點，
則切線方程分別為，，
所以
由①得，
代入②得．
令，
則，
所以當(dāng)時，h'x

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