專題六解析幾何第三講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】2
【考點(diǎn)一】弦長問題2
【考點(diǎn)二】面積問題4
【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題5
【專題精練】7
考情分析：
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及中點(diǎn)弦等問題，難度中等．
真題自測
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）
A．B．C．D．
二、解答題
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．
3．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．
(1)求；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
4．（2022·全國·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】弦長問題
核心梳理：
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2).
一、單選題
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過點(diǎn)與交于，則最小值為（）
A．B．1C．D．2
2．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點(diǎn)，且，則線段的長度為（）
A．B．9C．D．6
二、多選題
3．（2024·山東·二模）已知拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，，則（）
A．B．直線過定點(diǎn)
C．的最小值為D．的最小值為
4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（）
A．離心率為B．的周長為
C．以為直徑的圓過點(diǎn)D．
三、填空題
5．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則 .
6．（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為 .
規(guī)律方法：
(1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．
(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點(diǎn)的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立．
【考點(diǎn)二】面積問題
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為6，雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（）．
A．2B．C．D．3
二、多選題
3．（2024·山東·模擬預(yù)測）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，則下列說法正確的是（）
A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為B．的準(zhǔn)線方程為
C．若，則的斜率為D．面積的最小值為16
4．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長軸端點(diǎn)分別為?兩個焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（）
A．的離心率為B．的周長為
C．面積的最大值為D．
三、填空題
5．（2024·湖南常德·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為 .
6．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點(diǎn)，記AB上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為.過點(diǎn)再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線.曲線在點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)，則的面積的最小值為 .
規(guī)律方法：
圓錐曲線中求解三角形面積的方法
(1)常規(guī)面積公式：S＝eq \f(1,2)×底×高．
(2)正弦面積公式：S＝eq \f(1,2)absin C.
(3)鉛錘水平面面積公式：
①過x軸上的定點(diǎn)：S＝eq \f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長)；
②過y軸上的定點(diǎn)：S＝eq \f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長)．
【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題
核心梳理：
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
若E的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
則k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq \f(p,y0).
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東肇慶·一模）已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）
A．雙曲線的離心率
B．為定值
C．AB的最小值為3
D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則
4．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）
A．為定值B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上
C．為定值D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）
三、填空題
5．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，則 .
規(guī)律方法：
處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法
專題精練
一、單選題
1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（）
A．B．1或C．D．1或
2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
3．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l 的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與E 的漸近線交于M、N 兩點(diǎn)，若則 E 的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．[ 3 ，2]
4．（2023·陜西商洛·三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的的弦中最短的弦長為8，點(diǎn)在上，是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（）
A．2B．4C．6D．8
7．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)．那么以下說法正確的是（）
A．設(shè)是半焦距到的其中一個焦點(diǎn)的距離，那么必然有
B．到直線的距離不是定值
C．和沒有交點(diǎn)
D．三角形面積的取值范圍是
8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則內(nèi)切圓的半徑等于（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的面積為
B．的離心率為
C．點(diǎn)到軸的距離為
D．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知雙曲線與雙曲線，其中，則下列說法中正確的是（）
A．雙曲線的焦距之比為
B．雙曲線的離心率相同，漸近線也相同
C．過上的任一點(diǎn)引的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
D．斜率為的直線與，的右支由上到下依次交于點(diǎn)，則
11．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．B．以為直徑的圓與相切
C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)D．為直角三角形
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為．
13．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．
14．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.記點(diǎn)的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為 .
四、解答題
15．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知動直線過點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，
①求證：；
②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.
16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn).
(1)若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；
(2)過橢圓的一個焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為.
（i）求雙曲線的方程；
（ii）證明：.
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為．過F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于E，P兩點(diǎn)，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點(diǎn)，直線ME與直線NP交于點(diǎn)H．
(1)求的方程．
(2)直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
(3)證明：點(diǎn)H在直線上．
18．（2023·河北保定·三模）設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，離心率為，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上異于的兩動點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的最大值.
19．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x軸同側(cè)）．當(dāng)經(jīng)過T的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時，．

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N
①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；
②若，求四邊形ABCD的面積

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