專題六解析幾何第七講　探究性問題-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點突破】2
【考點一】探究性問題2
【專題精練】6
真題自測
一、解答題
1．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得．若存在求出這個點縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．
2．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點.
(1)若點的橫坐標(biāo)為2，求的長;
(2)設(shè)的上、下頂點分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍
(3)若點在軸上方，設(shè)直線與交于點，與軸交于點延長線與交于點，是否存在軸上方的點，使得成立?若存在，請求出點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
考點突破
【考點一】探究性問題
一、單選題
1．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點分別為、，若、分別為、上的點，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．當(dāng)時，是直角三角形B．當(dāng)時，是等腰三角形
C．存在四邊形是菱形D．存在四邊形是矩形
2．（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點為雙紐線上任意一點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）
①關(guān)于軸不對稱
②關(guān)于軸對稱
③直線與只有一個交點
④上存在點，使得
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．（2024·福建泉州·二模）雙曲線，左、右頂點分別為A，B，O為坐標(biāo)原點，如圖，已知動直線l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點，則下列命題正確的是（）
A．存在直線l，使得
B．當(dāng)且僅當(dāng)直線l平行于x軸時，
C．存在過的直線l，使得取到最大值
D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為
二、多選題
4．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知A，B為雙曲線的左，右頂點，分別為雙曲線C的左，右焦點．下列命題中正確的是（）
A．若R為雙曲線C上一點，且，則
B．到雙曲線C的漸近線的距離為
C．若P為雙曲線C上非頂點的任意一點，則直線的斜率之積為2
D．雙曲線C上存在不同兩點關(guān)于點對稱
5．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點反射后，分別經(jīng)過點和，其中共線，則（）
A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為
B．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，光線由經(jīng)過點到達(dá)點所經(jīng)過的路程為6
C．當(dāng)時，的面積為12
D．當(dāng)時，
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點與點關(guān)于原點對稱，過點的直線與拋物線交于兩點（點和點在點的兩側(cè)），則（）
A．若為的中線，則
B．若為的角平分線，則
C．存在直線，使得
D．對于任意直線，都有
三、填空題
7．（2024·北京順義·三模）已知直線l經(jīng)過點，曲線：.
①曲線經(jīng)過原點且關(guān)于對稱；
②當(dāng)直線l與曲線有2個公共點時，直線l斜率的取值范圍為；
③當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個公共點時，直線l斜率的取值共有4個
④存在定點Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)都不可能為2
以上說法正確的是
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線：上存在兩點，，，直線與軸交于點，拋物線：上存在兩點，，，從點向直線作垂線，則垂足的軌跡方程為．
9．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）橢圓的右焦點是F，過F的直線交橢圓C于A，B兩點.點O是坐標(biāo)原點，若直線AB上存在異于F的點P，使得，則的取值范圍是 .
四、解答題
10．（24-25高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點 F?到雙曲線. 漸近線的距離為
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于 A、B兩點.
①若直線過橢圓右焦點F?，且△AF?B的面積為求實數(shù)k的值；
②若直線過定點P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形? 若存在，則求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由.
11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線過點，離心率為2.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于，兩點（異于點），證明：當(dāng)直線，的斜率均存在時，，的斜率之積為定值.
12．（2024·全國·二模）橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，過點的動直線與橢圓相交于P，Q兩點，當(dāng)直線的斜率為1時，.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線AP與直線的交點為，是否存在定實數(shù)，使Q，B，N三點共線?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
規(guī)律方法：
探索性問題的求解策略
(1)若給出問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律．
(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時，一般先對結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論．
專題精練
一、單選題
1．（2024·北京豐臺·二模）已知曲線與直線，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)時，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點
B．當(dāng)時，存在，曲線與直線恰有三個公共點
C．當(dāng)時，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點
D．當(dāng)時，存在，曲線與直線恰有三個公共點
2．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知拋物線：上存在兩點，關(guān)于直線：對稱，若，則（）
A．5B．C．4D．
3．（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知坐標(biāo)原點為，拋物線的焦點為．若第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點，使得的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線與外接圓的關(guān)系為（）
A．相離B．相切C．相交且過圓心D．相交但不過圓心
二、多選題
5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知橢圓方程為，則下列說法錯誤的是（）．
A．B．存在m值使橢圓的離心率
C．橢圓的焦距不確定D．橢圓的焦點在y軸
6．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知橢圓，點分別為的左?右焦點，點分別為的左?右頂點，過原點且斜率不為0的直線與交于兩點，直線與交于另一點，則（）
A．的離心率為
B．的最小值為
C．上存在一點，使
D．面積的最大值為2
7．（2024·安徽阜陽·一模）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為兩點都在上，，三點共線，（不與重合）為上頂點，則（）
A．的最小值為4B．為定值
C．存在點，使得D．
8．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，直線過且交于不同的兩點，在線段上，點為在上的射影．線段交軸于點，下列命題正確的是（）
A．對于任意直線，均有
B．不存在直線，滿足
C．對于任意直線，直線與拋物線相切
D．存在直線，使
三、填空題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）在拋物線上存在一動點（非原點），過點作拋物線的切線分別交軸、軸于點，過點作的垂線分別交軸、軸于點．若與的面積相等，則直線的方程為．
10．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線上存在兩點（異于坐標(biāo)原點），使得，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉(zhuǎn)與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為．
11．（2023·上海閔行·二模）不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為 .
12．（2023·安徽安慶·二模）已知在平面直角坐標(biāo)系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上不同于四個頂點的任意一點，延長線段到，若在軸上存在一點，滿足，垂足為，則 .
四、解答題
13．（23-24高三上·上?！るA段練習(xí)）已知A0,3和是橢圓Γ：上兩點，O是坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓Γ的離心率；
(2)若過點P的直線交Γ于另一點B，且的面積為9，求直線的方程：
(3)過中點的動直線與橢圓Γ有兩個交點M，N，試判斷在軸上是否存在點使得 .若存在，求出點縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由.
14．（2022·廣東茂名·一模）已知橢圓C：經(jīng)過點，其右焦點為Fc,0，下頂點為B，直線BF與橢圓C交于另一點D，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)O為坐標(biāo)原點，過點M作x軸的垂線，垂足為A，過點A的直線與C交于P，Q兩點，直線OP與交于點H．直線OQ與交于點G，設(shè)的面積為，的面積為，試探究是否存在最小值．若存在，求出此時直線PQ的方程；若不存在，請說明理由．
15．（2024·山西呂梁·三模）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點，Px0,y0橢圓上的動點，若到左焦點距離的最大值為，最小值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過動點Px0,y0作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點，記四邊形的對角線相交于點，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）設(shè)A，B為橢圓C：的短軸端點，P為橢圓上異于A，B的任意一點，D在直線上．
(1)求直線，的斜率的乘積；
(2)證明：；
(3)過右焦點F作x軸的垂線，E為上異于F的任意一點，直線交C于M，N兩點，記直線，，的斜率分別為，，，是否存在，，的某個排列，使得這三個數(shù)成等差數(shù)列？若存在，加以證明；若不存在，請說明理由．

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