
以直線與圓錐曲線的位置關系為載體,以參數處理為核心,考查定點、定線與定值問題,運算量較大,難度較大.
(2024·荊州適應性考試)已知F1(-2,0),F2(2,0),M是圓O:x2+y2=1上任意一點,F1關于點M的對稱點為N,線段F1N的垂直平分線與直線F2N相交于點T,記點T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;
(2)設E(t,0)(t>0)為曲線C上一點,不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G,H兩點(異于E點).若直線GE,HE的斜率之積為2,求證:直線l過定點.
(2)設圓O:x2+y2=2上任意一點P處的切線交C于M,N兩點,證明:以MN為直徑的圓過定點.
(2)求證:點T在定直線上.
解決定直線問題的主要方法有(1)設點法:設點的軌跡,通過已知點軌跡,消去參數,從而得到軌跡方程.(2)待定系數法:設出含參數的直線方程,待定系數法求解出參數.(3)驗證法:通過特殊點位置求出直線方程,對一般位置再進行驗證.
(2)若M,N分別在第一和第四象限內,證明:直線MA1與NA2的交點P在定直線上.
(2024·武威模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,P是C上在第一象限內的點,且直線PF的傾斜角為60°,點P到l的距離為1.(1)求C的方程;
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
(2)記橢圓C的上、下頂點分別為A,B,過點(0,4)且斜率為k的直線交橢圓C于M,N兩點,證明:直線BM與AN的交點G在定直線上,并求出該定直線的方程.
3.(2024·岳陽質檢)已知動圓P過定點F(0,1)且與直線y=3相切,記圓心P的軌跡為曲線E.(1)已知A,B兩點的坐標分別為(-2,1),(2,1),直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,證明:k1-k2=1;
(2)若點M(x1,y1),N(x2,y2)是軌跡E上的兩個動點且x1x2=-4,設線段MN的中點為Q,圓P與動點Q的軌跡Γ交于不同于F的三點C,D,G,求證:△CDG的重心的橫坐標為定值.
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