考點(diǎn)一 空間直線、平面位置關(guān)系的判定
核心提煉
判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法
(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷，解決問題．
(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．
例1 (1)(多選)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是( )
A．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n
B．若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥β
C．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
答案 BD
解析 A選項，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；
B選項，若m⊥α，n⊥β，則直線m，n對應(yīng)的方向向量m，n可看作α，β的法向量，由于m∥n，又α，β是兩個不同的平面，則α∥β，故B選項正確；
C選項，若兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于兩個平面交線的直線才垂直于另一個平面，從選項中無法判斷m，n和交線的位置關(guān)系，因此m，n可能相交但不垂直，平行，異面但不垂直，C選項錯誤；
D選項，若m?β，又m⊥α，根據(jù)面面垂直的判定定理，即有α⊥β，若m?β，由于m∥n，n∥β，則m∥β，過m任作一個平面，使其和β相交于直線c，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，m∥c，又m⊥α，則c⊥α，結(jié)合c?β，即α⊥β，故D選項正確.
(2)(多選)(2022·金麗衢十二校聯(lián)考)每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖．若點(diǎn)G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．四邊形AECF是平行四邊形
B．GH與MN是異面直線
C．GH∥平面EAB
D．GH⊥BC
答案 AC
解析 連接AC，EF，BD，MH，EH，EM，則AC與EF相交且相互平分，故四邊形AECF為平行四邊形，故A正確；
所以AE∥CF.又G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點(diǎn)，
所以GM∥AE，NH∥CF，
且GM＝eq \f(1,2)AE，NH＝eq \f(1,2)CF，
所以GM∥NH，且GM＝NH，
所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯誤；
易證平面MNHG∥平面EAB，
又GH?平面MNGH，
所以GH∥平面EAB，故C正確；
因為EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，
所以BC⊥平面EMH，
而GH?平面EMH，GH∩EH＝H，
所以GH與BC不垂直，故D錯誤．
規(guī)律方法 對于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．
跟蹤演練1 (1)(多選)(2022·湖南師大附中模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．A，M，O三點(diǎn)共線
B．M，O，A1，A四點(diǎn)共面
C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面
D．A，O，C，M四點(diǎn)共面
答案 ABD
解析 如圖，因為AA1∥CC1，則A，A1，C1，C四點(diǎn)共面．
因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點(diǎn)M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
同理，O，A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
所以A，M，O三點(diǎn)共線，從而M，O，A1，A四點(diǎn)共面，A，O，C，M四點(diǎn)共面．
由長方體性質(zhì)知，OM，BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點(diǎn)不共面．
(2)設(shè)點(diǎn)E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點(diǎn)，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是線段MB的中點(diǎn)，則( )
A．ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線
B．ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線
C．ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線
D．ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線
答案 B
解析 連接EF，
如圖所示，
由題意知AB⊥AD，
AB⊥AM，AM＝AD，
AB＝AB，
則Rt△BAM≌Rt△BAD，
所以BM＝BD，
因為E，F(xiàn)分別為BD，BM的中點(diǎn)，則EF∥DM，
因為FM＝eq \f(1,2)BM＝eq \f(1,2)BD＝DE，
故四邊形FMDE是等腰梯形，
所以ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線．
考點(diǎn)二 空間平行、垂直關(guān)系
核心提煉
平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
例2 如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點(diǎn)．
(1)求證：BC1⊥平面AB1C；
(2)求證：DE∥平面AB1C.
證明 (1)∵四邊形AA1C1C為矩形，
∴AC⊥C1C，
又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，
平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，
∴AC⊥平面CC1B1B，
∵C1B?平面CC1B1B，∴AC⊥C1B，
又四邊形CC1B1B為菱形，∴B1C⊥BC1，
∵B1C∩AC＝C，AC?平面AB1C，
B1C?平面AB1C，
∴BC1⊥平面AB1C.
(2)如圖，取AA1的中點(diǎn)F，連接DF，EF，
∵四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，又EF?平面AB1C，AC?平面AB1C，
∴EF∥平面AB1C，
同理可得DF∥平面AB1C，
∵EF∩DF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C，
∵DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C.
規(guī)律方法 (1)證明線線平行的常用方法
①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．
(2)證明線線垂直的常用方法
①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．
跟蹤演練2 (2022·西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，AC1的中點(diǎn)．
(1)求證：MN⊥AA1；
(2)在線段BC1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出點(diǎn)P的具體位置；若不存在，請說明理由．
(1)證明 連接A1C，如圖，因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C為平行四邊形，
故A1C和AC1相交，且交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)N，
又因為M為A1B的中點(diǎn)，
所以MN為△A1BC的中位線，
所以MN∥BC.
因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以AA1⊥BC，所以AA1⊥MN，
即MN⊥AA1.
(2)解 存在，當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時，
平面MNP∥平面ABC.
連接PN，PM，如圖，
因為N為AC1的中點(diǎn)，P為BC1的中點(diǎn)，
所以PN∥AB，
又PN?平面ABC，
AB?平面ABC，
所以PN∥平面ABC，
又由(1)知MN∥BC，BC?平面ABC，
MN?平面ABC，故MN∥平面ABC，
又MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，
所以平面MNP∥平面ABC.
考點(diǎn)三 翻折問題
核心提煉
翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．
例3 (1)(2022·南寧模擬)已知正方形ABCD中E為AB中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點(diǎn)，CF＝2FB，CG＝2GD，將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD，則在翻折過程中，以下說法正確的是( )
A．EF∥GH B．EF與GH相交
C．EF與GH異面 D．EH與FG異面
答案 B
解析 如圖，由CF＝2FB，CG＝2GD，
得FG∥BD且FG＝eq \f(2,3)BD，
由E為AB中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，
得EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD，
所以EH∥FG，且EH≠FG，
所以四邊形EFGH為梯形．
梯形EFGH的兩腰EF，HG延長必交于一點(diǎn)，
所以EF與GH相交，EH與FG平行，
故選項A，C，D不正確，選項B正確．
(2)(多選)(2022·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是( )
A．BM的長是定值
B．點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡在某個圓周上
C．存在某個位置，使DE⊥A1C
D．A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE
答案 ABD
解析 如圖所示，取CD的中點(diǎn)F，
連接MF，BF，AC，
易得MF∥A1D，BF∥DE，
∵M(jìn)F?平面A1DE，A1D?平面A1DE，
∴MF∥平面A1DE，
同理可得BF∥平面A1DE，
又MF∩BF＝F，MF，BF?平面BMF，
∴平面BMF∥平面A1DE，
∵BM?平面BMF，
∴BM∥平面A1DE，D選項正確；
又∠BFM＝∠A1DE，
MF＝eq \f(1,2)A1D＝定值，BF＝DE＝定值，
由余弦定理知，
MB2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cs∠MFB，
∴BM為定值，A選項正確；
∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡在以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項正確；
∵A1C在平面ABCD中的射影在直線AC上，且AC與DE不垂直，
∴不存在某個位置，使DE⊥A1C，C選項錯誤．
易錯提醒 注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．
跟蹤演練3 (多選)如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于點(diǎn)O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是( )
A．存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥OC
B．存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥BD
C．存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACD
D．存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD
答案 ABC
解析 當(dāng)AB＝x＝1時，此時矩形ABCD為正方形，則AC⊥BD，
將△BAD沿直線BD翻折，當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時，
因為OC⊥BD，OC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以O(shè)C⊥平面ABD，又AB?平面ABD，
所以AB⊥OC，故A正確；
又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC?平面OAC，
所以BD⊥平面OAC，又AC?平面OAC，所以AC⊥BD，故B正確；
在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC＝eq \r(1＋x2)，
所以將△BAD沿直線BD翻折時，總有AB⊥AD，
取x＝eq \f(1,2)，當(dāng)將△BAD沿直線BD翻折到AC＝eq \f(\r(3),2)時，有AB2＋AC2＝BC2，
即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，則此時滿足AB⊥平面ACD，故C正確；
若AC⊥平面ABD，
又AO?平面ABD，則AC⊥AO，
所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC＝OA相矛盾，故D不正確．
專題強(qiáng)化練
一、單項選擇題
1．(2022·龍巖質(zhì)檢)已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行、相交或異面
答案 D
解析 畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確．
2．(2022·湖北八市聯(lián)考)設(shè)α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件可以是( )
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B．α，β垂直于同一個平面
C．α，β平行于同一條直線
D．α，β垂直于同一條直線
答案 D
解析 對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行不能得出α∥β，α內(nèi)的所有直線與β平行才能得出，故A錯誤；
對于B，C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一條直線，不能確定α，β的位置關(guān)系，故B，C錯誤；
對于D，α，β垂直于同一條直線可以得出α∥β，反之，當(dāng)α∥β時，若α垂直于某條直線，則β也垂直于該條直線．
3．正方體上的點(diǎn)M，N，P，Q是其所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中直線MN與直線PQ是異面直線的圖形是( )
答案 B
解析 對于A，易證MQ∥NP，所以A不符合題意；
對于B，如圖，因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
MN?平面A1B1C1D1，PQ?平面ABCD，
所以MN與PQ無公共點(diǎn)，
因為MN與PQ不平行，
所以MN與PQ是異面直線，所以B符合題意；
對于C，易證PM∥NQ，所以C不符合題意；
對于D，易證MN∥PQ，所以D不符合題意．
4.(2022·華中師大附中模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1D的中點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A．直線PB與直線D1C平行，直線PB⊥平面A1C1D
B．直線PB與直線AC異面，直線PB⊥平面ADC1B1
C．直線PB與直線B1D1相交，直線PB?平面ABC1
D．直線PB與直線A1D垂直，直線PB∥平面B1D1C
答案 D
解析 如圖，連接DB，A1B，D1B1，D1C，B1C，PB，AC，DC1，AB1，
由正方體的性質(zhì)知，
A1B∥D1C，
又A1B與PB相交，
所以PB與D1C不平行，故A錯誤；
顯然，直線PB與直線AC異面，直線A1B⊥平面ADC1B1，
而直線PB與A1B不平行，
所以直線PB不與平面ADC1B1垂直，故B錯誤；
直線PB與直線B1D1異面，不相交，故C錯誤；
因為BA1＝BD，P是A1D的中點(diǎn)，
所以直線PB與直線A1D垂直，
又DB∥D1B1，A1B∥D1C，
DB?平面B1D1C，A1B?平面B1D1C，
A1B∩DB＝B，A1B，DB?平面BDA1，
D1C，D1B1?平面B1D1C，
所以平面BDA1∥平面B1D1C，
又PB?平面BDA1，
所以直線PB∥平面B1D1C，故D正確．
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 如圖所示，因為AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，
所以四邊形ABCD為直角梯形．
且∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°.
又因為∠BCD＝45°，
所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.
又因為平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
CD?平面BCD，CD⊥BD，
所以CD⊥平面ABD，
若平面ABC⊥平面ABD，那么CD?平面ABC，顯然不成立，故A錯誤；
因為CD⊥平面ABD，AB?平面ABD，
所以CD⊥AB.
又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC，
所以AB⊥平面ADC.
又因為AB?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ADC，故D正確；
因為平面ABD⊥平面BCD，過點(diǎn)A作平面BCD的垂線AE，垂足E落在BD上，顯然垂線不在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC與平面BDC不垂直，故C錯誤，同理B也錯誤．
6.(2022·中山模擬)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點(diǎn)P，則PC1等于( )
A．2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D．1
答案 D
解析 連接AB1，交A1B于點(diǎn)Q，連接PA1，PB，PQ，如圖所示．
因為AC1∥平面A1BP，
AC1?平面AB1C1，
且平面AB1C1∩平面A1BP＝PQ，
所以AC1∥PQ，又點(diǎn)Q是AB1的中點(diǎn)，
所以P是B1C1的中點(diǎn)，
所以PC1＝1.
二、多項選擇題
7.(2022·邵陽模擬)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，則( )
A．BD∥平面EGHF
B．FH∥平面ABC
C．AC∥平面EGHF
D．直線GE，HF，AC交于一點(diǎn)
答案 AD
解析 因為BG∶GC＝DH∶HC，
所以GH∥BD.
又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
所以EF∥BD，且EF＝eq \f(1,2)BD，所以EF∥GH.
易知BD∥平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，即A正確，B，C錯誤；
因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，
因為EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，
則M是平面ABC與平面ACD的一個交點(diǎn)，
所以M∈AC，即直線GE，HF，AC交于一點(diǎn)，
所以D正確．
8．如圖1，已知E為正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，將△DAE沿邊DE翻折到△PDE，連接PC，PB，EC，設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接BF，如圖2，則在翻折的過程中，下列命題正確的是( )
A．存在某一翻折位置，使得DE∥平面PBC
B．在翻折的過程中(點(diǎn)P不在平面BCDE內(nèi))，都有BF∥平面PDE
C．存在某一翻折位置，使得PE⊥CD
D．若PD＝CD＝PC＝4，則三棱錐P－CDE的外接球的表面積為eq \f(76π,3)
答案 BCD
解析 對于A選項，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，因為BE∥GD，BE＝GD，所以四邊形DEBG為平行四邊形，所以DE∥GB，而BG與平面PBC相交，所以DE與平面PBC相交，故A錯誤；
對于B選項，連接FG，則FG∥PD，由DE∥GB，易證平面BFG∥平面EPD，而BF?平面BFG，所以BF∥平面PDE，故B選項正確；
對于C選項，因為PE⊥PD，要使得PE⊥CD，則PE⊥平面PCD，則PE⊥PC，而EC＝ED，此時，只需要PC＝PD即可，故C選項正確；
對于D選項，由PD＝CD＝PC＝4可知，
PE⊥平面PCD，PE＝2，
設(shè)△PCD的外接圓半徑為r，
則r＝eq \f(4,2sin 60°)＝eq \f(4\r(3),3)，
設(shè)三棱錐P－CDE的外接球半徑為R，
則R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PE,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)))2＋1＝eq \f(19,3)，所以三棱錐P－CDE的外接球的表面積為4πR2＝eq \f(76π,3)，
故D選項正確．
三、填空題
9．已知l是平面α，β外的直線，給出下列三個論斷：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：________.(用序號表示)
答案 若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)
解析 因為當(dāng)l∥α，α⊥β時，l與β可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；
因為l∥α，所以α內(nèi)存在一條直線m與l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即①③作為條件，可以得出②；
因為α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l?α，因為l是平面α外的直線，所以l∥α，即②③作為條件，可以得出①.
10．三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝1，過線段BC的中點(diǎn)E作平面EFGH與直線AB，CD都平行，且分別交BD，AD，AC于F，G，H，則四邊形EFGH的周長為________．
答案 2
解析 因為AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EH，AB?平面ABC，
所以AB∥EH，又點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，所以EH為△ABC的中位線，故EH＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2).
同理，EF＝FG＝GH＝eq \f(1,2)，
所以四邊形EFGH的周長為2.
11．已知三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面均為正三角形，AB＝1，A1B1＝2，側(cè)棱長AA1＝BB1＝CC1，若AA1⊥BB1，則此棱臺的高為________．
答案 eq \f(\r(6),6)
解析 由已知可得該三棱臺為正三棱臺，
還原成棱錐如圖所示，由于下底邊長是上底邊長的兩倍，
∴大棱錐的高為棱臺的高的兩倍，取BC的中點(diǎn)D，B1C1的中點(diǎn)D1，連接PD，DD1，AD，A1D1，O，O1分別是上、下底面的中心，連接PO，OO1.
易知P，D，D1三點(diǎn)共線，P，O，O1三點(diǎn)共線．
OO1即為該棱臺的高．
由正棱臺性質(zhì)可得BC⊥PD1，BC⊥PO，
PO∩PD1＝P，
PO，PD1?平面PD1A1，
∴BC⊥平面PD1A1，PA1?平面PD1A1，
∴BC⊥PA1，
又∵AA1⊥BB1，
BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面PB1C1，
故AA1⊥平面PB1C1，
∴A1P⊥PD1.
又AB＝1，A1B1＝2，
PO2＝AO×DO＝eq \f(1,3)AD×eq \f(2,3)AD＝eq \f(2,9)AD2,
AD＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(\r(3),2)，
PO＝eq \f(\r(2),3)AD＝eq \f(\r(6),6)＝OO1.
12.如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A，C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為________．
答案 eq \f(a,2)
解析 如圖，分別取AC，BD的中點(diǎn)S，E，連接AE，CE，SB，SD，SE.
則AE⊥BD，CE⊥BD，
又AE∩CE＝E，AE，CE?平面ACE，
則BD⊥平面ACE，則SE⊥BD，
AC⊥SD，AC⊥SB，
又SD∩SB＝S，SD，SB?平面SBD，
則AC⊥平面SBD，則SE⊥AC，
則SE是異面直線AC與BD的公垂線段，
在△SBD中，SB＝SD＝eq \f(\r(3),2)a，BD＝eq \r(2)a，
則SE＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq \f(a,2)，
則異面直線AC與BD的距離為eq \f(a,2).
四、解答題
13．(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐F－ABC的體積．
(1)證明 因為AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE.
在△ADB和△CDB中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，
又E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE.
因為BE∩DE＝E，且BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，
又AC?平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知BA＝BC，又因為∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC為邊長為2的正三角形，
則AC＝2，BE＝eq \r(3)，AE＝1.
因為AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC為等腰直角三角形，所以DE＝1.
又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，
所以DE⊥EB.
連接EF(圖略)，易知當(dāng)△AFC的面積最小時，EF取最小值，
在Rt△BED中，EF的最小值為E到BD的距離，故當(dāng)△AFC的面積最小時，EF＝eq \f(DE·BE,BD)＝eq \f(\r(3),2).
由射影定理知EF2＝DF·FB，
又DF＋FB＝BD＝2，
所以DF＝eq \f(1,2)，F(xiàn)B＝eq \f(3,2).
方法一 因為DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
則F到平面ABC的距離d＝eq \f(BF,BD)·DE＝eq \f(3,4).
故VF－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·d＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×4×eq \f(3,4)＝eq \f(\r(3),4).
方法二 由(1)知BD⊥AC，
又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF?平面ACF，
所以BD⊥平面ACF，
所以BF即B到平面ACF的距離，
故VF－ABC＝VB－AFC＝eq \f(1,3)S△AFC·BF
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)·AC·EF·BF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),4).
14．(2022·黃山模擬)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，A＝eq \f(π,2)，AD＝1，AB＝2，BC＝3，將梯形沿中位線EF折起使AE⊥BE，并連接AB，DC得到多面體AEB－DFC，連接DE，BD，BF.
(1)求證：DF⊥平面BED；
(2)求點(diǎn)E到平面BDF的距離．
(1)證明 由題意知AD＝1，
BC＝3，AD∥EF，
因為EF為梯形ABCD的中位線，所以EF＝2，
過點(diǎn)D作DM⊥EF，
垂足為M，如圖所示，
則DF＝eq \r(2)，DE＝eq \r(2)，
DF2＋DE2＝EF2，所以DE⊥DF，
因為AE⊥BE，BE⊥EF，
AE∩EF＝E，AE?平面AEFD，EF?平面AEFD，所以BE⊥平面AEFD，
又DF?平面AEFD，所以EB⊥DF，
又DE∩BE＝E，DE?平面BED，BE?平面BED，
所以DF⊥平面BED.
(2)解 設(shè)點(diǎn)E到平面BDF的距離為d，
由(1)知，DM⊥EF，BE⊥平面AEFD，
因為DM?平面AEFD，
所以DM⊥BE，
因為EF?平面BEF，BE?平面BEF，
BE∩EF＝E，
所以DM⊥平面BEF，
所以VE－BDF＝VD－BEF，
即VD－BEF＝eq \f(1,3)S△BEF·DM＝eq \f(1,3)S△BDF·d＝VE－BDF，S△BEF＝eq \f(1,2)×EF×EB＝1.
由BA＝eq \r(2)，得BD＝eq \r(3)，又DF＝eq \r(2)，
且由(1)知DF⊥平面BED，
所以DF⊥DB，
所以S△BDF＝eq \f(\r(6),2)，所以eq \f(\r(6),2)·d＝1，即d＝eq \f(\r(6),3)，
故點(diǎn)E到平面BDF的距離為eq \f(\r(6),3).

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