目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球5
【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球13
【專題精練】20
考情分析：
空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

2．C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時，得，則
當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
3．B
【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，
設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因?yàn)?，所以，?br>所以，，，
因此，這兩個圓錐的體積之和為.
故選：B.
4．C
【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：
.
故選：C.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】空間幾何體的外接球
一、單選題
1．（2020·全國·高考真題）已知為球的球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點(diǎn)，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（ ）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
4．（2024·遼寧·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，為面的中心，則以下命題正確的是（ ）
A．平面截正方體所得的截面面積為
B．四面體的外接球的表面積為
C．四面體的體積為
D．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則存在平面內(nèi)一點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為
三、填空題
5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為 .
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知空間四面體滿足，則該四面體外接球體積的最小值為 ．
參考答案：
1．A
【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A

【點(diǎn)睛】
本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.
【詳解】
如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，
且為的交點(diǎn).
因?yàn)檎睦忮F底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，
故，故.
由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，
則，故，故，
故正四棱錐的外接球的表面積為，
故選：B.
3．ACD
【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).
【詳解】

對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；
對B：連接，則，底面，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；
對C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；
對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，
故內(nèi)切球的表面積，故D正確；
故選：ACD．
4．ABC
【分析】選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，利用正方體的性質(zhì)，得出平面截正方體所得的截面為菱形，即可求解；選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，直接求出球心坐標(biāo)，從而求出半徑，即可求解；選項(xiàng)C，取中點(diǎn)，中點(diǎn)連接，根據(jù)條件證得面，從而有，再利用棱錐的體積公式，求出底面積和高，即可求解；選項(xiàng)D，先求出與在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理即可求解，從而求出結(jié)果.
【詳解】對于選項(xiàng)A，如圖1，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以，，且，即四邊形為菱形，
所以平面截正方體所得的截面即為菱形，
又易知，所以菱形的面積為，故選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)四面體的外接球的球心坐標(biāo)為，外接球的半徑為，
所以，
解得，所以，
故四面體的外接球的表面積為，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，如圖3，取中點(diǎn)，中點(diǎn)連接，易知，
又是中點(diǎn)，所以，得到，
又面，面，所以面，
所以，
又易知到面的距離為，
，
所以，故選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，如圖4，分別是平面的垂線和斜線，是在平面內(nèi)的射影，
易知為銳角，是平面內(nèi)和不重合的任一直線，在上截取，
連接，則，
在與中，因?yàn)?，?br>而，所以，
即平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角，
如圖5，取中點(diǎn)，易知在面上投影為，
又因?yàn)?，，所以?br>過作直線，使，設(shè)直線與所成的角為，
所以，
又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故在平面內(nèi)不存在點(diǎn)，使直線與所成角的余弦值為，
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，先求出與在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理及的單調(diào)性，即可求解.
5．/
【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以正三棱錐外接球半徑，
如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過向底面作垂線垂足為D，，
要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側(cè)，
因?yàn)槭钦忮F，所以D是的中心，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>，
所以，
令，
解得或，
當(dāng)，；當(dāng)，，
所以在遞增，在遞減，
故當(dāng)時，正三棱錐的體積最大，此時正三棱錐的高為，
故正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為.
故答案為：
6．
【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，結(jié)合三角形全等可證是線段的垂直平分線，同理可證是線段的垂直平分線，故而判斷球心在上，由三角形兩邊之和大于第三邊可得的范圍，結(jié)合圖形判斷球心的位置以及半徑，從而求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，
由已知，，故，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，即是線段的垂直平分線；
同理可得，是線段的垂直平分線，故球心在上，
設(shè)球的半徑為，球心為，則，即，故，
此時為線段的中點(diǎn)，且，故所求外接球體積的最小值為．
故答案為：

規(guī)律方法：
求解空間幾何體的外接球問題的策略
(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．
(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．
(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．
【考點(diǎn)二】空間幾何體的內(nèi)切球
一、單選題
1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．三棱柱存在內(nèi)切球
B．直線被三棱柱的外接球截得的線段長為
C．點(diǎn)在棱上的位置唯一確定
D．四面體的外接球的表面積為
4．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點(diǎn)，是底面圓弧上的動點(diǎn)，則（ ）
A．球的體積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．的最大值為3
D．若為中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為
三、填空題
5．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為 .
6．（2024·廣西·二模）在三棱錐中，，，△PAC，的面積分別3，4，12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，則其內(nèi)切球的表面積為 ．
規(guī)律方法：
空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)給定條件，確定八面體的外接球球心及半徑，利用體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的體積公式求解即得.
【詳解】正八面體的棱長為，連接AC∩EF=O，
由四邊形為正方形，得AC2=BC2+AB2=2a2=EC2+AE2，
則四邊形亦為正方形，即點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，
于是此八面體的外接球球心為，半徑為R=2a22=2a2，
此八面體的表面積為S=8S△ABE=8×34a2=23a2，設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，
由VE-ABCD-F=2VE-ABCD，得13Sr=2×13×a2×2a2，即23a2r=2a3，解得r=66a，
所以此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為(Rr)3=(2a266a)3=33.
故選：A
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：V=13Sr.
2．C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.
【詳解】因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，
所以為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長，
由正弦定理可得底面圓的半徑，
所以圓錐的高，
如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑，
軸截面三角形面積為，
所以內(nèi)切球半徑，
內(nèi)切球的表面積為，
圓錐的側(cè)面積為，
所以其和為，
故選：C.
3．ABD
【分析】根據(jù)三棱柱若存在內(nèi)切球，則球心必為中截面的內(nèi)切圓圓心可確定A正確；根據(jù)球的性質(zhì)可知直線被外接球截得的線段長為矩形的外接圓直徑，由此可得B正確；利用垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可求得C錯誤；設(shè)，四面體的外接球半徑為，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知D正確.
【詳解】對于A，取棱中點(diǎn)，連接，
若三棱柱存在內(nèi)切球，則三棱柱內(nèi)切球球心即為的內(nèi)切圓圓心，
的內(nèi)切圓半徑即為的內(nèi)切圓半徑，又，，，
，的內(nèi)切圓半徑，
即的內(nèi)切圓半徑為，
又平面、平面到平面的距離均為，
三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球半徑為，A正確；
對于B，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，
，為的外接圓圓心，又，平面，
為三棱柱的外接球的球心；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
，平面，為四邊形的外接圓圓心，
四邊形為矩形，
直線被三棱柱截得的線段長即為矩形的外接圓直徑，
，直線被三棱柱截得的線段長為，B正確；
對于C，在平面中作出矩形，
設(shè)，則，
，，，
又，，即，
解得：或，為棱的三等分點(diǎn)，不是唯一確定的，C錯誤；
對于D，取中點(diǎn)，
，為的外接圓圓心，且，
則四面體的外接球球心在過且垂直于平面的直線上，
平面，平面，
設(shè)，四面體的外接球半徑為，
，解得：，，
四面體的外接球表面積為，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體的外接球、內(nèi)切球相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何體外接球和內(nèi)切球的定義及性質(zhì)，確定球心所在的位置，從而利用長度關(guān)系來構(gòu)造方程求得半徑.
4．ACD
【分析】對A，根據(jù)相切求出球的半徑，再利用球的體積公式即可；對B，寫出體積表達(dá)式并結(jié)合基本不等式即可判斷；對C，設(shè)，寫出的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值；對D，利用等體積法求出到平面，再求出截面積即可.
【詳解】選項(xiàng)A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，
因?yàn)槭沁呴L為2的為等邊三角形，則，為中點(diǎn)，
則球的半徑球的體積為，故A正確.
選項(xiàng)，作，因?yàn)槊?，?br>所以底面，，
，故B錯誤.
選項(xiàng)C，設(shè)，x∈0,2，
..
.，
設(shè)，則令，解得，
當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)x∈0,2時，則，
易知在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減，且，
則當(dāng)x∈0,2時，f'x>0， 單調(diào)遞增；
，故C正確.
選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時，，
由，，，得..
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，，代入數(shù)據(jù)解得.
截面面積為，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是設(shè)設(shè)，x∈0,2，結(jié)合余弦定理和勾股定理求出線段和表示式，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.
5．
【分析】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，計(jì)算該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積即可得.
【詳解】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，
故該圓柱的側(cè)面積,
該球的表面積,
則.
故答案為：.
6．9π8/98π
【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)特征：132=32+42+122，再類比勾股定理，由面推及至空間幾何體可知三棱錐是一個墻角模型，所以∠APB=∠BPC=∠APC=π2，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，則可由題中所給面積數(shù)據(jù)求出側(cè)棱長，再依據(jù)內(nèi)切球公式V=R3S表計(jì)算相關(guān)量即可求出內(nèi)切球.
【詳解】因?yàn)?32=32+42+122，所以類比勾股定理由面推及到空間幾何體可知三棱錐是一個墻角模型，
所以∠APB=∠BPC=∠APC=π2，
設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC長分別為PA=x，PB=y，PC=z，
則由題意有xy=6yz=8xz=24①，所以有xyz2=6×8×24=672，?xyz=242，
所以代入①式?x=32,y=2,z=42，
所以VP-ABC=VA-PBC=13S△PBC×PA=13×12×PB×PC×PA=42，
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC
=13S△ABC·R+13S△PAB·R+13S△PBC·R+13S△PAC·R=R3×3+4+12+13=32R3，
所以32R3=42，?R=328，所以內(nèi)切球的表面積為S=4πR2=98π.
故答案為：98π.
專題精練
一、單選題
1．（2024·安徽安慶·三模）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西太原·二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點(diǎn)）的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面是一個正三角形，其中是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線SC上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·新疆烏魯木齊·一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（ ）
A．該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12
B．該幾何體的棱數(shù)為24
C．該幾何體的表面積為
D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)
10．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)是其側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得二面角大小為
B．存在點(diǎn)，使得平面與平面平行
C．當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時，則點(diǎn)的軌跡長度為
D．當(dāng)為的中點(diǎn)時，四棱錐外接球的表面積為
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的動點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）

A．直三棱柱的體積為
B．直三棱柱外接球的表面積為
C．若分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為
D．取得最小值時，
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）《論球與圓柱》是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的得意杰作，據(jù)傳說在他的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖為一個圓柱與球的組合體，其中球與圓柱的側(cè)面和上?下底面均相切，為底面圓的一條直徑，，若球的半徑，則球的體積與圓柱的體積之比為 ；球心到平面的距離為 .
13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）三棱錐中，，且兩兩垂直．設(shè)三棱錐的外接球和內(nèi)切球的表面積分別為和，則 ．
14．（2024·內(nèi)蒙古·三模）在平行四邊形中，，沿將折起，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為 .
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)截面圖分析即可得半徑比，然后可得答案.
【詳解】如圖，等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑即為內(nèi)切球和外接球的半徑，
記內(nèi)切球和外接球的半徑分別為和，
則
所以其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.
故選：A．
2．C
【分析】利用條件先判定為正三角形，再作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，利用正三角形的性質(zhì)計(jì)算球半徑，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】由圓錐的性質(zhì)易知為以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，
又，所以，則為正三角形，邊長為，
如圖所示，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，
設(shè)中點(diǎn)分別為，內(nèi)切球球心為O，
由正三角形內(nèi)心的性質(zhì)易知

即內(nèi)切球球半徑為1，所以體積.
故選：C
3．B
【分析】先利用題給條件求得圓錐的母線長，再利用公式即可求得該圓錐的側(cè)面積.
【詳解】球表面積為，則該球半徑為，
設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的母線長為，
則此圓錐的軸截面面積為
，解之得，
則該圓錐的側(cè)面積為
故選：B
4．B
【分析】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5，底面正方形的邊長為6，從而可得正四棱錐的高，設(shè)這個正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，高線與斜高的夾角為，則易得，，從而可得，再代入球的體積公式，即可求解．
【詳解】作出四棱錐如圖：
根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，
正四棱錐的高為，
設(shè)這個正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，
則高線與斜高的夾角為，則，
則,
，，
這個正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．
故選：B．
5．B
【分析】過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，由題意可求得軸截面內(nèi)切圓的半徑為1，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，代入圓錐體積公式，可得答案．
【詳解】
如圖，由題意知內(nèi)切圓和外接圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，則為正三角形，
因?yàn)閮?nèi)切球表面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以內(nèi)切圓的半徑為1，
所以的邊長為，
所以圓錐的底面半徑為，又高為，
故圓錐體積，
故選：B.
6．D
【分析】取的中點(diǎn)為，即可說明點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，再證明平面，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，即可得到為四棱錐外接球球心，外接球半徑為，從而求出表面積.
【詳解】取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，等腰梯形的面積為，
所以梯形的高為，所以，則，所以，連接、，
所以、為等邊三角形，點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，
連接，在中，根據(jù)余弦定理得，即，解得.
因?yàn)?，，所以，所?
因?yàn)?，，平面，所以平面?br>過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且為的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)為外接圓圓心，所以為四棱錐外接球球心，
所以外接球半徑為，故表面積.
故選：D
7．C
【分析】取點(diǎn)D在母線SA上且，可證明三棱錐與三棱錐外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圓半徑即為外接球半徑得解.
【詳解】如圖，
設(shè)點(diǎn)D在母線SA上且，
因?yàn)槭侵苯侨切?，所以三棱錐外接球的球心E在SO上，
由 ≌，可得，
即三棱錐外接球的球心E也是三棱錐外接球的球心，且兩個外接球的表面積相等．
由，得的外心即為三棱錐外接球的球心E．
在中，，
所以的外接圓的直徑，
所以三棱錐外接球的表面積是，
故選：C．
8．C
【分析】先求出圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角，再由此求出圓錐的底面圓半徑和高，然后可求外接球的半徑，由此求得圓錐的外接球的面積.
【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，由題意可知，，解得，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，所以，
則該圓錐的高為，
設(shè)該圓錐的外接球的半徑為，由球的性質(zhì)可知，，
解得，所以該圓錐的外接球的面積為.
故選：C.
9．ABD
【分析】對于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，由正方體有12條棱即可判斷；對于B，由該幾何體有6個面為正方形即可判斷；對于C，該幾何體的棱長為，根據(jù)正三角形及正方形的面積公式求解即可判斷；對于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，原正方體外接球的半徑為，該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，根據(jù)球的表面積公式及等差中項(xiàng)的定義即可判斷.
【詳解】對于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12，故A正確；
對于B，由題意知，該幾何體有6個面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為，故B正確；
對于C，該幾何體的棱長為，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，
所以該幾何體的表面積為，故C錯誤；
對于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，內(nèi)切球表面積為.
原正方體外接球的半徑為，外接球表面積為.
由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，
所以該幾何體外接球的表面積為.
因?yàn)椋?br>所以該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)，故D正確.
故選:ABD.
10．BC
【分析】由題意，證得，得到二面角的平面角，可得判定A錯誤；利用線面平行的判定定理分別證得平面，平面，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，可判定B正確；取中點(diǎn)，證得，得到，得到點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動軌跡是以為圓心、半徑為的劣弧，可判定C正確；當(dāng)為中點(diǎn)時，連接與交于點(diǎn)，求得，得到四棱錐外接球的球心為，進(jìn)而可判定D錯誤.
【詳解】對于A，在正方體中，可得平面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以二面角的平面角為，其中，所以A錯誤；
對于B，如圖所示，當(dāng)M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時，
在正方體中，可得，
因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)?，且平面，且平面，所以平面?br>因?yàn)椋移矫妫云矫嫫矫?，所以B正確；

對于C，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，，
在正方體中，平面，且，
所以平面，因?yàn)槠矫妫傻茫?br>則，
則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動軌跡是以為圓心、半徑為2的劣弧，
分別交，于，如圖所示，則，
結(jié)合對稱性可知，，
則，劣弧的長為，所以C正確；
對于D，當(dāng)為中點(diǎn)時，可得為等腰直角三角形，且平面平面，
連接與交于點(diǎn)，可得，
所以四棱錐外接球的球心即為與的交點(diǎn)，
所以四棱錐外接球的半徑為，其外接球的體積為，所以D錯誤.
故選：BC.
11．ACD
【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式即可判斷A選項(xiàng)；通過確定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半徑，即可判斷B選項(xiàng)；通過平移找到異面直線所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；通過三棱柱的側(cè)面展開圖可判斷D選項(xiàng)．
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，?br>所以三棱柱的上、下底面均為正三角形，
所以，故A正確．
選項(xiàng)B：如圖1，記和外接圓的圓心分別為和，
連接，，記的中點(diǎn)為，連接，
則， ，
易知為直三棱柱的外接球半徑，
且，
所以直三棱柱外接球的表面積為，故B錯誤．

選項(xiàng)C：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，
易知，，且，
故即異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，
則，
故，
故異面直線與所成角的余弦值為，故C正確．
選項(xiàng)D：將直三棱柱的側(cè)面展開得到平面展開圖，
如圖3所示．連接，分別交，于點(diǎn)，
易知的最小值為．
在側(cè)面展開圖中易知點(diǎn)分別為的三等分點(diǎn)，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由勾股定理得，
因?yàn)?，所以，故D正確．
.
12．
【分析】根據(jù)球與圓柱的體積公式代入計(jì)算，即可求解；再由面面垂直的判定定理可證平面平面，從而可得平面，再由勾股定理以及相似三角形可得.
【詳解】
因?yàn)榍虻陌霃?，所以球的體積為，
圓柱的體積為，
所以球的體積與圓柱的體積之比為，
由題易知平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
連接，則平面與平面的交線為，
所以過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，則平面.
如圖，易知，由勾股定理可得，
由，可知，
即，解得，
所以球心到平面的距離為.
故答案為：23；
13．
【分析】根據(jù)三棱錐結(jié)構(gòu)，可補(bǔ)成正方體，利用正方體外接球求半徑，再由等體積法求出三棱錐內(nèi)切球半徑，利用球的面積公式得解.
【詳解】由題意可知，三棱錐可以為棱，補(bǔ)成棱長為的正方體，
所以三棱錐的外接球與所在正方體的外接球相同，
所以外接球直徑，其面積，
設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為，則由等體積法可得：,
即，
解得，故，
所以.
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理得，由題知平面時，三棱錐的體積最大，再將三棱錐補(bǔ)全為正方體，將問題轉(zhuǎn)化成求正方體的外接球半徑，即可解決問題.
【詳解】在中，，
由余弦定理得，
得到，所以，則，
由題可知，當(dāng)平面時，三棱錐的體積最大，
如下圖，可將三棱錐補(bǔ)全為正方體，
則三棱錐外接球的半徑即為正方體外接球的半徑，易知,
所以，故三棱錐外接球的表面積為，
故答案為：.
題號
1
2
3
4






答案
A
C
B
C






題號
1
2
3
4






答案
A
B
ACD
ABC






題號
1
2
3
4






答案
A
C
ABD
ACD






題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
B
D
C
C
ABD
BC
題號
11









答案
ACD









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