目錄
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】16
【考點(diǎn)一】異面直線所成的角16
【考點(diǎn)二】直線與平面的夾角24
【考點(diǎn)三】平面與平面的夾角38
【專題精練】48
考情分析：
以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)．空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．
真題自測(cè)
一、解答題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
2．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
參考答案：
1．(1)證明見詳解；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫?br>平面，所以平面；
（2）如圖所示，作交于，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以?br>結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，
因?yàn)?，所以，所以互相垂直?br>以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，即，令，得，即m=3,3,1，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點(diǎn)，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】
3．(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡(jiǎn)可得，，
解得或，
或，
.
4．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)椋?，即有?br>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面

（2）解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.

6．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
7．(1)證明過程見解析
(2)與平面所成的角的正弦值為
【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)與平面所成的角為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.
8．(1)
(2)
【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；
（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由（1）得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】異面直線所成的角
核心梳理：
設(shè)異面直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，異面直線l與m的夾角為θ.
則(1)θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1))\r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
一、單選題
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·四川南充·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)、E、B作正方體的截面α，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為
B．與所成角的余弦值為
C．
D．二面角的余弦值為
4．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若在線段上，則的最小值為
B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為
C．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
D．對(duì)于給定的點(diǎn)，過有且僅有3條直線與直線所成角為
三、填空題
5．（2024·廣東·一模）在正方體中，點(diǎn)P、Q分別在、上，且，，則異面直線與所成角的余弦值為
6．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知圓臺(tái)的高為2，上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，，兩點(diǎn)分別在圓、圓上，若向量與向量的夾角為60°，則直線與直線所成角的大小為 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.
【詳解】以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的垂線交于，
以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)橹比庵?，，，?br>所以，
所以，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以.
故選：C.
2．C
【分析】設(shè)，，，表達(dá)出，，求出兩向量數(shù)量積和模長(zhǎng)，利用求出答案.
【詳解】設(shè)，，，
則，，
則，由得,即，
又，由得，
因?yàn)?，所以?br>即，即，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
3．ACD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)等體積法直接計(jì)算即可；對(duì)于BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，，
則，，
則，
所以與所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B知，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，可得，
所以，即，
又平面，所以平面，
即，故C正確；
對(duì)于D，在正方體中，平面，
所以平面的一個(gè)法向量為,
所以，
所以二面角的余弦值為，故D正確.
故選：ACD.
4．C
【分析】把矩形與正方形置于同一平面，求出長(zhǎng)判斷A；求出內(nèi)切球球心到平面，求出截面小圓半徑判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角建立方程判斷C；利用異面直線所成角的意義轉(zhuǎn)化判斷D.
【詳解】對(duì)于A，正方體的對(duì)角面是矩形，把矩形與正方形
置于同一平面，且在直線兩側(cè)，連接，則，
當(dāng)且僅當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，A正確；
對(duì)于B，令正方體內(nèi)切球球心為，連接，為正方體的中心，
，，正半徑，
正三棱錐底面上的高，又球的半徑為，
則被截得的圓的半徑為，面積為，B正確；
對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，設(shè)，有，
則，整理得，
則的軌跡是雙曲線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，顯然過的滿足條件的直線數(shù)目等于過的滿足條件的直線的數(shù)目，，
在直線上取點(diǎn)，使，不妨設(shè)，則，
則四面體是正四面體，有兩種可能，直線也有兩種可能，
若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能，D正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)A中，關(guān)鍵是將空間中的兩距離之和最短轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)三點(diǎn)共線時(shí)長(zhǎng)度最短問題求解.
5．45/0.8
【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為3，
以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
設(shè)異面直線與所成角為，則.
即異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
6．
【分析】法1：設(shè)直線與直線所成角為，根據(jù)求解即可.
法2：設(shè)點(diǎn)在圓上的射影為，則為中點(diǎn)，且，則即為與所成角的平面角，求出即可.
法3：以為原點(diǎn)建系，利用向量法求解即可.
【詳解】法1：在上的投影向量為，故，
，
設(shè)直線與直線所成角為，
則，所以，
即直線與直線所成角的大小為.
法2：如圖，，
則即為向量與向量的夾角，
所以，所以為等邊三角形，
設(shè)點(diǎn)在圓上的射影為，
則為中點(diǎn)，且，
所以即為與所成角的平面角，
，，
在中，
則，
即與所成角為.
法3：因?yàn)椋?br>則即為向量與向量的夾角，
所以，所以為等邊三角形，
以為原點(diǎn)建系，則，，
故，
即直線與直線所成角的余弦值為，
所以直線與直線所成角的大小為．
規(guī)律方法：
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系．
(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．
(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．
【考點(diǎn)二】直線與平面所成的角
核心梳理：
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，
則(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；(2)sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
一、單選題
1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)N是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則DN與平面所成角的正切值的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·全國(guó)·期中）PA，PB，PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．已知正三棱臺(tái)中，，棱，的中點(diǎn)分別為，．若該棱臺(tái)頂點(diǎn)，的曲率之差為，則（ ）
A．
B．平面
C．直線與平面所成角的正弦值等于
D．多面體頂點(diǎn)D的曲率的余弦值等于
4．（2024·山西呂梁·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為
B．平面平面
C．若，則的最小值為
D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
三、填空題
5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，與平面所成角的正弦值是 ．
四、解答題
7．（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).
(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足平面?若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)設(shè)平面交棱于點(diǎn)T，平面將四棱臺(tái)分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.
8．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在三棱臺(tái)中，上?下底面是邊長(zhǎng)分別為4和6的等邊三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足.
(1)證明：平面；
(2)若直線和平面所成角的余弦值為，求該三棱臺(tái)的體積.
參考答案：
1．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，平面的法向量為，
由于點(diǎn)N是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，故可設(shè)，，
由于，所以，所以，
所以點(diǎn)在線段上，設(shè)DN與平面所成角為，，
則，所以，
當(dāng)時(shí)，，不存在.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
故選：D
2．C
【分析】將放在正方體中進(jìn)行分析，結(jié)合空間向量法求解即可.
【詳解】如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，所以，
所以．
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
所以．
故選：C．
3．BC
【分析】延長(zhǎng)，相交于P，O為的中心，棱的中點(diǎn)為E，以過O且平行于的直線為x軸，直線為y軸，直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線垂直的向量表示，判斷A；利用線面垂直的判定，判斷B；利用直線與平面所成角的向量求法，判斷C；利用向量與向量的夾角，判斷D．
【詳解】
正三棱臺(tái)中，棱，的中點(diǎn)分別為，，
延長(zhǎng)，相交于P，設(shè)O為的中心，棱的中點(diǎn)為E，
以過O且平行于的直線為x軸，直線為y軸，
直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
∵正三棱臺(tái)的頂點(diǎn)，的曲率之差為，
∴，
則，
又，
∴，，
令，則，，，
，，，，
，．
對(duì)于A，∵，，
，
∴與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵，，則，同理，，
又，平面，
∴平面，即平面，故B正確；
對(duì)于C，∵，，
令平面，即平面的法向量為m=x,y,z，
則，
取，得，
令直線與平面所成角為，
∴
，故C正確；
對(duì)于D，∵，，
∴
，
又多面體頂點(diǎn)D的曲率
，
∴，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
4．BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求異面直線夾角的取值范圍，判斷A的真假；平面平面，B選項(xiàng)很好判斷；先確定點(diǎn)位置，再展開成平面，轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間的距離問題判斷C的真假；先得到是線段上一點(diǎn)，連接并與交于點(diǎn)，分當(dāng)與重合，在線段（不含點(diǎn)）上，在線段（不含點(diǎn)，）上和與重合四種情況，得到截面積的最大值，判斷D的真假.
【詳解】對(duì)于，如圖：
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
則，
因?yàn)?br>所以，
故，則的取值范圍為，故A不正確；
對(duì)于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；
對(duì)于C：正方體的棱長(zhǎng)為2，為空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使,如圖：
由得，即，故為線段上一點(diǎn).
將平面沿展開至與平面共面，如下圖：
易知：，
則.
在平面圖中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，所以，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖：
連接并與交于點(diǎn).
當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.
當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長(zhǎng)均為，故此時(shí)截面面積最大值為.
當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖：
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.
由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，
所以.
當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.
故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中截面的處理思路：
（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；
（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；
（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；
（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.
5．
【分析】以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量，利用向量的夾角公式可求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則平面，
又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槠矫妫矫?，則，
因?yàn)椋?，則，
則、、、，
所以，
易知平面的一個(gè)法向量為，
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：.
6．
【分析】設(shè)，結(jié)合等積法，可求出當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)；法一，根據(jù)，可求出點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.
【詳解】設(shè)，則
．
由等體積法，得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)．
方法一 易知，，．由余弦定理，得
，所以，
所以．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．根據(jù)，
得，解得．
所以與平面所成角的正弦值為．
方法二 以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
所以，，．
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則即令，得，，
則．設(shè)與平面所成的角為，
則．
故答案為：
7．(1)存在點(diǎn)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意建系，求出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，通過線線垂直建立方程組，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，得出結(jié)論；
（2）按（1）建系，利用四點(diǎn)共面求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）
因底面，且是正方形，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則
因點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn)，則,
,
假設(shè)在底面內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，則
則由，解得，
故存在點(diǎn)，滿足平面；
（2）按照（1）建系，設(shè)點(diǎn)，
依題意，四點(diǎn)共面，故必有,
即，則得，，解得，
即，又,
設(shè)平面的法向量為，則，
故可取.因，
設(shè)與平面所成角為，則.
即與平面所成角的正弦值為.
8．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用線面角的向量求法及棱臺(tái)的體積公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）由三棱臺(tái)知，平面，
因?yàn)槠矫?，且平面平面?br>所以，
因?yàn)?，所以，又，平面?br>所以平面；
（2）取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，
過點(diǎn)做軸垂直于平面，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺(tái)的高為，
則
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可得平面的一個(gè)法向量，
易得平面的一個(gè)法向量，
設(shè)與平面夾角為，
，
所以
由，得，
由（1）知，所以，
解得，所以三棱臺(tái)的體積.
規(guī)律方法：
(1)線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的關(guān)系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯(cuò)，要認(rèn)真細(xì)心．
【考點(diǎn)三】平面與平面的夾角
核心梳理：
設(shè)平面α，β的法向量分別為u，v，平面α與平面β的夾角為θ，
則(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
一、單選題
1．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·福建·階段練習(xí)）在矩形中，，，將沿著翻折，使點(diǎn)在平面上的投影恰好在直線AB上，則此時(shí)二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為B．平面
C．平面D．二面角的余弦值為
4．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（ ）
A．該截面是五邊形
B．四面體外接球的球心在該截面上
C．該截面與底面夾角的正切值為
D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75
三、填空題
5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為 ．
四、解答題
6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為等腰梯形，其中，．
(1)證明：平面平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
7．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐中，平面，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
參考答案：
1．A
【分析】因?yàn)檎襟w中過體對(duì)角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，建立空間直角坐標(biāo)系，求得即可.
【詳解】
如圖：因?yàn)檎襟w中過體對(duì)角線的截面面積最大，
所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由為正方體，設(shè)棱長(zhǎng)為，，所以四邊形為正方形，
所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又因?yàn)?，平面，所以平面?br>即為平面的一個(gè)法向量，
同理為平面的一個(gè)法向量，
由，知，
設(shè)平面與平面的夾角為，，
則.
故選：A.
2．A
【分析】如圖所示，作于，于，求得，，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.
【詳解】如圖所示，作于，于.

在中，，，
在中，，
，
同理可得，，，
因?yàn)椋?br>所以
，
又因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)榕c的夾角即為二面角的大小，
所以二面角的余弦值為.
故選：A.
3．ABC
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明面，平面，轉(zhuǎn)換后求棱錐的體積，由空間向量法求二面角，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，
，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，，
，，
易知，所以共面，
又平面，所以面，C正確；
，A正確；
，，同理，
所以是平面的一個(gè)法向量，即平面，B正確；
平面的一個(gè)法向量是，
，因此二面角的余弦值為，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
4．ACD
【分析】對(duì)于A，過三點(diǎn)作正方體的截面即可；對(duì)于B，計(jì)算四面體外接球半徑，以及外接圓半徑，比較球心與圓心是否重合即可；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量即可；對(duì)于D，將被截正方體較小部分體積分為5個(gè)三棱錐計(jì)算即可.
【詳解】對(duì)于A，如圖①所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，
連接交于，連接交于，
連接，，則五邊形為平面截正方體所得的截面，故A正確；
對(duì)于B， 如圖②所示，設(shè)三棱錐底面外心為，
三棱錐外接球球心為，
且,
在中，,，
所以外接圓半徑為,
所以在中，三棱錐外接球半徑
,
所以三棱錐外接球球心到三點(diǎn)的距離都為.
在中，，
所以外接圓半徑,
所以四面體外接球的球心不在該截面上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖③所示，以分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
且正方體邊長(zhǎng)為6，即，
所以，
設(shè)為平面的法向量，則
，取，
所以，
又因?yàn)槠矫妫?br>故為平面的法向量，
則，
，故C正確；
對(duì)于D，如圖④所示，取中點(diǎn)，連接,
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)?，所以，即?br>同理，由得，
由得，
所以，
，
，
，
,
所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積為，故D正確.
故選：ACD.

5．
【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則折成二面角后，，由結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
可知，
沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，
仍有，
則，
由，
可得，
即，
即，
可得．
故答案為：
6．(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）過作，垂足為，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，即可證線面垂直；
（2）根據(jù)題意分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.
【詳解】（1）過作，垂足為，則，
因?yàn)?，則，且平面，
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
因?yàn)?，則，
又因?yàn)槠矫?，平面，則，
且，平面，可得平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）若，由（1）可知：，
可得，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，則，
令，則，可得，
則，
由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，先證得，，由線面垂直的判定定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面與平面的法向量，代入二面角公式即可得出答案.
【詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接，如圖，

因?yàn)椋遥?br>故四邊形為正方形，
而，，，
所以，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又平面，，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，所以，
由（1）知，平面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成角為，則，
，
解得或（舍去），所以．
規(guī)律方法：
平面與平面夾角的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，兩向量夾角的取值范圍是[0，π]，兩平面的夾角與其對(duì)應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補(bǔ)．
專題精練
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點(diǎn)，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，則（ ）
A．三棱錐的體積為
B．與所成的角為
C．過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形
D．平面與平面夾角的正切值為
4．（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．四點(diǎn)共面B．與異面
C．D．RS與所成角為
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，記異面直線與所成角為，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
6．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，CD，的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．平面EFG截正方體所得到的截面面積是
C．直線AB和直線與平面EFG所成的角相等
D．點(diǎn)E到平面BFG的距離為
三、填空題
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，四邊形為直角梯形，，，給出下列結(jié)論：①平面；②三棱錐的外接球的表面積為；③異面直線與所成角的余弦值為；④直線與平面所成角的正弦值為.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，異面直線所成角的余弦值為，則正四棱錐的高為 ，外接球的表面積為 ．
四、解答題
9．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
10．（2024·安徽·一模）如圖，四棱錐中，底面 是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面；
(2)若點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
11．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，是正三角形，．
(1)證明：平面平面;
(2)求二面角的余弦值．
12．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面四邊形中，，，垂足為，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.

(1)設(shè)平面與平面的交線為，證明：.
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案：
1．A
【分析】法一：根據(jù)，可得異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，再解即可.
法二：利用空間向量的數(shù)量積求出即可.
法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】解法一：因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角為或其補(bǔ)角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，連接，則，
在中，，
即異面直線與所成角的余弦值為.
解法二：由題，，
所以，
設(shè)，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
解法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則A2,0,0，，，，
則，，
故，
故異面直線與所成角的余弦值為.

故選：A.
2．D
【分析】求出的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，即可求得該雙曲線的離心率的值.
【詳解】在圓錐中，，，易知，
由圓錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，則，
所以，，則，
圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、，
因?yàn)槭悄妇€上一點(diǎn)，，則，,，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，且，
所以，，
所以，，
故該圓錐曲線的離心率為，
故選：D.
3．ACD
【分析】求出錐體體積判斷A；用定義法求出異面直線的夾角判斷B；推理判斷截面形狀判斷C；建立坐標(biāo)系，利用空間向量求出面面角的余弦判斷D.
【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，
對(duì)于A，三棱錐的體積，A正確；
對(duì)于B，，則是與所成的角或其補(bǔ)角，而，
因此與所成的角為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，連接，由，得，則，
而，，因此平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形，C正確；
對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，
，設(shè)平面的法向量，
則，令，得，顯然平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
，則，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角．
4．AC
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)即可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法判斷線線位置關(guān)系判斷AB，求解線線角判斷CD.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，
因?yàn)榉謩e為棱、的中點(diǎn)，
所以，
對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>所以，所以四點(diǎn)共面，正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?br>所以，即，正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
設(shè)RS與所成角為，，則，所以，
即與所成角為，錯(cuò)誤.
故選：AC
5．ACD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，以及相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向量求法，一一求解各選項(xiàng)中所求結(jié)果，即可判斷答案.
【詳解】在正三棱柱中，設(shè)的中點(diǎn)為，連接,
則平面，,
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
則，
則，
由于異面直線與所成角為，范圍為大于小于等于，
故，A正確；
對(duì)于B，，
則，由于，
則，
解得或，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
則，
則，故，則，C正確；
對(duì)于D，若，則，
則，
則，
則，
解得或（舍），D正確；
故選：ACD
6．AC
【分析】對(duì)于A，可用幾何法直接證明；對(duì)于B，畫出截面，求面積即可；對(duì)于C 和D，建系求法向量，進(jìn)而求得線面角和點(diǎn)到面的距離.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A2,0,0，，，，，，，
對(duì)于A，因?yàn)檎襟w中E，F(xiàn)分別為棱，CD的中點(diǎn)，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，，
又，所以，故A正確；
對(duì)于B，由平面的基本性質(zhì)，平面EFG截正方體所得到的截面如圖所示為正六邊形，
正六邊形邊長(zhǎng)為，面積為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，則，，
取，則，而，，
，，
所以直線AB和直線與平面EFG所成的角相等，故C正確；
對(duì)于D，，設(shè)平面BFG的一個(gè)法向量為，
則，，取，則，
點(diǎn)E到平面BFG的距離為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
7．②③
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法驗(yàn)證與的垂直關(guān)系，可判斷①；根據(jù)題意，找到球心的位置，計(jì)算球的表面積，可判斷②；利用向量法求異面直線與所成角的余弦值，可判斷③；利用向量法求直線與平面所成角的正弦值，可判斷④.
【詳解】對(duì)于①：由題意知AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，A0,0,0，B1,0,0，，P0,0,1，，，，
若平面，則平面，得，而，
所以與不垂直，故①錯(cuò)誤.
對(duì)于②；取的中點(diǎn)O，連接，可得，
因?yàn)椋?br>所以，則為直角三角形，且，
所以，則，
所以O(shè)為三棱錐的外接球的球心，
于是外接球半徑，
故三棱錐的外接球的表面積為，故②正確.
對(duì)于③：設(shè)異面直線與所成的角為，
則由①的解法一可知，，
因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，
所以，故③正確；
對(duì)于④：由①的解法一知，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，則，
設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，
則，故④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
8．
【分析】由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，表示出，結(jié)合向量夾角余弦的坐標(biāo)公式列方程求得參數(shù)即可得正四棱錐的高，進(jìn)一步斷定點(diǎn)（正四棱錐的外接球球心）必定在線段上面，設(shè)外接球半徑為，由勾股定理列式即可求得半徑，進(jìn)而結(jié)合球的表面積公式即可得解.
【詳解】如圖，連接，相交于點(diǎn)，連接，易知，兩兩互相垂直，是正四棱錐的高，
故以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由可得，則，．
設(shè)，則，
所以，
所以，解得（負(fù)值已舍去）．
所以．
設(shè)正四棱錐外接球的球心為，球的半徑為，
由對(duì)稱性可知點(diǎn)必定在線段上面，
則，解得．
所以球的表面積為．
故答案為：；.
9．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，得線線平行，然后得證線面平行；
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面平行；
（2）解法一：過點(diǎn)作，垂足為，連接，證得為直線與平面所成的角，在三角形中求出此角的正弦值后可得；
解法二：由空間向量法求線面角．
【詳解】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，
正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
所以，且，
所以，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又平面平面，
所以平面.
解法二：
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，
又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以平面，
如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
所以，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取得，所以，所以，即，又不在平面內(nèi)，所以平面.
（2）解法一：
過點(diǎn)作，垂足為，連接，由題意知，
又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以底面，又平面，所以，
又平面，所以底面，
所以為直線與平面所成的角，
記直線與平面所成的角為，由（1）知，所以，
又由題意知，，所以，
又，所以，
所以，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
解法二：由（1）知
設(shè)n=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，
取得，所以，
所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
10．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理逆定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，與交于Q點(diǎn)，
在底面矩形中，易知，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>易知，所以，
由題意可知,
所以，而相交，且平面，
所以平面；
（2）由上可知，，，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，
則，取，則，
設(shè)，其中，
則，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
則，
解得，即.
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等比三角形可得，由余弦定理求長(zhǎng)，再由勾股定理得，結(jié)合面面垂直判定定理證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角運(yùn)算即可得二面角的余弦值．
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭钦切?，為中點(diǎn)，
所以，且，
又，由余弦定理得，
則，故，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如圖，連接，則，
所以，故，
如圖，過作，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，
由圖可知二面角的平面角為鈍角，
二面角的余弦值為：
,．
12．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得證；
（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出的值，即可得解.
【詳解】（1）由題意可知.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，則.
（2）由圖1可知.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，
所以，則兩兩互相垂直，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，則，
所以.
設(shè)，則，從而，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角為，
則，
即，整理得，解得或（舍去）.
故當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.
題號(hào)
1
2
3
4






答案
C
C
ACD
C






題號(hào)
1
2
3
4






答案
D
C
BC
BCD






題號(hào)
1
2
3
4






答案
A
A
ABC
ACD






題號(hào)
1
2
3
4
5
6




答案
A
D
ACD
AC
ACD
AC




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