專題二三角函數(shù)與解三角形第二講　三角恒等變換與解三角形-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】13
【考點(diǎn)一】三角恒等變換13
【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用16
【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用25
【專題精練】31
考情分析：
1.三角恒等變換主要考查化簡(jiǎn)、求值，解三角形主要考查求邊長(zhǎng)、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問(wèn)題.
2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國(guó)·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（）．
A．B．C．D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A．1B．C．D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為銳角，，則（）．
A．3-58B．C．D．
6．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（）
A．B．C．D．
二、填空題
8．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．
三、解答題
9．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
10．（2023·全國(guó)·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
11．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
12．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
參考答案：
1．B
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故選：B.
2．C
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據(jù)正弦定理得，
所以，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.
故選：C.
3．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)?，而，因此?br>則，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．
4．B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

5．D
【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因?yàn)閏sα=1-2sin2α2=1+54，而為銳角，
解得：3-58=5-1216=5-14．
故選：D．
6．C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.
【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據(jù)此可得，
則.
故選：C.
7．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕瑒t，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以?br>在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因?yàn)?，所以?br>即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
8．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因?yàn)?，解得：?br>由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：?br>由正弦定理可得，，解得：，，
因?yàn)?，所以，?br>又，所以，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；
（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).
【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點(diǎn)求解
設(shè)，則，
顯然時(shí)，，注意到，
，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設(shè)，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，
則，此時(shí)，即同向共線，
根據(jù)向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬(wàn)能公式求解
設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
（2）由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長(zhǎng)為
10．(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由=sinAcsC+csAsinC=22(31010+1010)=255，
由正弦定理，，可得，
，
.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：?br>（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
12．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】三角恒等變換
一、單選題
1．（2023·江蘇·三模）已知，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北武漢·二模）若，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．
B．函數(shù)的最小正周期為
C．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
4．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則（）
A．y=fx的最大值為2
B．y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．y=fx在上單調(diào)遞增
D．直線是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸
三、填空題
5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角 .
6．（2024·吉林白山·一模）化簡(jiǎn) ．
參考答案：
1．A
【分析】利用和差角公式展開，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以
.
故選：A．
2．A
【分析】由倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式求目標(biāo)式的值.
【詳解】，
.
故選：A
3．ACD
【分析】A由降冪公式，輔助角公式可得答案；
B由周期計(jì)算公式可得答案；
C將代入由A選項(xiàng)所得化簡(jiǎn)式中可得答案；
D由函數(shù)圖象平移知識(shí)可得答案．
【詳解】Ａ選項(xiàng)，，故A正確；
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)結(jié)合周期計(jì)算公式可知最小正周期為，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，將代入，在此時(shí)得最大值，故是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；
D選項(xiàng)，的圖象向右平移個(gè)單位得，故D正確．
故選：ACD
4．AC
【分析】化簡(jiǎn)得，分析y=fx的最大值，對(duì)稱中心，對(duì)稱軸，單調(diào)性判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】,
對(duì)A：y=fx的最大值為2，故A正確；
對(duì)B：因?yàn)?，所以不是y=fx的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，而在上為增函數(shù)，故y=fx在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)D：，所以直線不是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
5．
【分析】利用正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因?yàn)樵谥校?br>，
即，
即，
因?yàn)樵谥校?
所以，所以.
故答案為：.
6．2
【分析】運(yùn)用降冪公式將化成，整理后再用誘導(dǎo)公式將化成，化簡(jiǎn)即得.
【詳解】．
故答案為：2.
核心梳理：
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2)cs(α±β)＝cs αcs β?sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
三角恒等變換的“4大策略”
(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【考點(diǎn)二】正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·廣東江門·一模）在中，，，則角A的大小為（）
A．B．或C．D．或
2．（2023·廣東茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長(zhǎng)為m，軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說(shuō)法正確的是（）
A．
B．
C．是銳角三角形
D．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍
4．（23-24高一下·江蘇南京·期中）對(duì)于有如下命題，其中正確的是（）
A．若，則為鈍角三角形
B．若，則的面積為
C．在銳角中，不等式恒成立
D．若且有兩解，則的取值范圍是
三、填空題
5．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分．過(guò)點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是．
6．（23-24高二上·廣東汕頭·期中）如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為，其中下坡路段長(zhǎng)為．

四、解答題
7．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．
8．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知.
(1)求；
(2)若，且邊上的高為，求的周長(zhǎng).
9．（2024·北京東城·一模）在中，.
(1)求；
(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的值.
參考答案：
1．D
【分析】利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.
【詳解】由題意知中，，，
故，即，
由于，故，則或，
故A的大小為或，
故選：D
2．C
【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.
【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為，
因?yàn)槠漭S截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長(zhǎng)為，面積為的等腰三角形，
所以，解得，則或（舍去），
由得，，
則上半部分的體積為，下半部分體積為，
故蒙古包的體積為.
故選：C.
3．AC
【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷BC選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，A對(duì)；
對(duì)于B，由余弦定理可得，，，
所以，，B錯(cuò)；
對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t為最大角，又因?yàn)?，則為銳角，故為銳角三角形，C對(duì)；
對(duì)于D，由題意知，為最小角，則，
因?yàn)?，則，則，D錯(cuò).
故選：AC.
4．ACD
【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理邊角互化判斷AB，利用銳角三角形角的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷C，結(jié)合圖象，根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，為鈍角三角形，A說(shuō)法正確；
選項(xiàng)B：中，若，則由正弦定理得，解得，
所以或，所以或，的面積或，B說(shuō)法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，
又，所以，則，
又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，C說(shuō)法正確；
選項(xiàng)D：如圖所示，
若有兩解，則，解得，D說(shuō)法正確；
故選：ACD
5．/0.1875
【分析】利用三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合橢圓的定義得，再利用均值不等式求解作答.
【詳解】設(shè)，依題意，，，由，
得，即，
，
橢圓中，，
在中，由余弦定理得，
即有，
則，
因此
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值是.
故答案為：
6．
【分析】將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，過(guò)P作AB的垂線，垂足為M，最短路線即為扇形中的直線段AB，利用余弦定理求出即可；當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，求出即可.
【詳解】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，
易知該扇形半徑為2，弧長(zhǎng)為，故圓心角∠APB＝，
最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cs∠PBA＝＝；
過(guò)P作AB的垂線，垂足為M，
當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越小，故AM為上坡路段，
當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過(guò)程中，它與點(diǎn)P的距離越來(lái)越大，故MB為下坡路段，
下坡路段長(zhǎng)MB＝PB?cs∠PBA＝．
故答案為：，.

7．(1)
(2)
【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所?
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范圍為.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，最后由正弦定理將角化邊；
（2）由余弦定理得到，利用面積公式求出，即可得到、，從而得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>所以，
即，
所以，
由正弦定理得，即；
（2）由題意得，，
由余弦定理得，
解得（負(fù)值舍去），
因?yàn)檫吷系母邽椋?br>所以，
則，所以，，
故的周長(zhǎng)．
9．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合三角和為及誘導(dǎo)公式可得，即可得答案；
（2）在中，由正弦定理可求得，從而可得，在中，利用余弦定理求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
即，，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得，又因?yàn)椋?br>所以；
（2）解：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，
所以,
設(shè),
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
又因?yàn)?，所以?br>
在中，，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
即.
核心梳理：
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面積公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
解三角形中常見(jiàn)的求最值與范圍問(wèn)題的解題策略
(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．
(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．
【考點(diǎn)三】解三角形的實(shí)際應(yīng)用
一、單選題
1．（22-23高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中，若，則的形狀是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
2．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的三邊一定構(gòu)成等差數(shù)列
B．的三邊一定構(gòu)成等比數(shù)列
C．面積的最大值為
D．周長(zhǎng)的最大值為
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）將銳角三角形置于平面直角坐標(biāo)系中，，為軸上方一點(diǎn)，設(shè)中的對(duì)邊分別為且，則的外心縱坐標(biāo)可能落在以下（）區(qū)間內(nèi).
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過(guò)路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個(gè)半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為．
6．（2021·寧夏石嘴山·三模）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)校外一座山的高度h(單位：)進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，社團(tuán)同學(xué)朝山沿直線行進(jìn)，在前后相距a米兩處分別觀測(cè)山頂?shù)难鼋呛?)，多次測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)取平均值后代入數(shù)學(xué)模型求解山高，這個(gè)社團(tuán)利用到的數(shù)學(xué)模型；多次測(cè)量取平均值是中學(xué)物理測(cè)量中常用的減小誤差的方法之一，對(duì)物理量進(jìn)行n次測(cè)量，其誤差近似滿足，為使誤差在的概率不小于0.9973，至少要測(cè)量次.參考數(shù)據(jù)：若占，則.
參考答案：
1．D
【分析】利用余弦定理將化簡(jiǎn)為，從而可求解.
【詳解】由，得，
化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，即，則為直角三角形；
當(dāng)時(shí)，得，則為等腰三角形；
綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.
故選：D.
2．A
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)值域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
由解得.
，
由于三角形是銳角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：A
3．BC
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可結(jié)合中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB，結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解CD.
【詳解】在中，由，得．
所以，所以，
所以．又，所以，
所以．由正弦定理得，即成等比數(shù)列．
取適合題意，但此時(shí)三邊不構(gòu)成等差數(shù)列，A錯(cuò)誤，正確．
由及余弦定理得（時(shí)取等號(hào)）．
因?yàn)椋裕裕?br>又，所以，
所以的面積，C正確．
由及，可得，
即，所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，D錯(cuò)誤．
故選:BC．
4．BD
【分析】利用余弦定理求得，然后可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，結(jié)合已知可得，結(jié)合平方關(guān)系和正弦定理求出半徑范圍，即可求縱坐標(biāo)范圍.
【詳解】由題知，，，由余弦定理得，
又，解得，同理：，
所以，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，即，
又，所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，
即外接圓半徑為，則，即，
由外心定義可知，的外心在軸上，
記的外心縱坐標(biāo)為，則，
因?yàn)榕c和交集非空，與和交集為空間，
所以BD正確，AC錯(cuò)誤.
故選：BD
5．
【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，利用正弦定理可得，利用三角函數(shù)的有界性建立不等式，即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)切點(diǎn)為，連接．由題意得，
設(shè)，
在中，
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
設(shè)，則，
所以，
故
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
解得，所以的最小值為．
故答案為：.
6． (也可以寫成) 72
【分析】再中由正弦定理可得，在中求解即可；由正態(tài)分布的3原則建立不等式求解即可.
【詳解】（1）在中，，，
在中，.
(結(jié)果還可以是)
（2）由于，因此，
所以，
故至少要測(cè)量72次.
故答案為：(也可以寫成)；72
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決正態(tài)分布問(wèn)題中，需要理解原則，學(xué)會(huì)利用原則求解相關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題.
核心梳理：
解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?br>(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
解三角形實(shí)際問(wèn)題的步驟
專題精練
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北武漢·二模）已知，則（）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則的最小值為（）
A．12B．24C．27D．36
6．（2023·青?！つM預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）
A．B．C．D．
7．（22-23高三·湖南婁底·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）
A．B．C．D．
8．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）某校學(xué)生參加課外實(shí)踐活動(dòng)“測(cè)量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測(cè)得，沿土坡向坡頂前進(jìn)后到達(dá)D處，測(cè)得．已知旗桿，土坡對(duì)于地平面的坡角為，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）
A．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)
C．若，則的最小值為
D．若，則
10．（2023·湖南·一模）已知函數(shù)，則（）
A．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．的所有零點(diǎn)為
D．是以為周期的函數(shù)
11．（2021·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（）
A．在上有兩個(gè)零點(diǎn)
B．在上單調(diào)遞增
C．在的最大值是1
D．的圖像可由向右移動(dòng)得到
三、填空題
12．（22-23高三下·福建南平·階段練習(xí)）已知為銳角，，則．
13．（2023·江蘇·三模）如圖，在△ABC所在平面內(nèi)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，則FH＝．
14．（2024·廣東·一模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且，D為邊AB上一點(diǎn)，CD平分，，則．
四、解答題
15．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
16．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面積．
17．（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)求的取值范圍.
18．（2023·廣東廣州·二模）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.
19．（2023·江蘇南通·一模）在中，的對(duì)邊分別為.
(1)若，求的值；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)三角恒等變換公式求解.
【詳解】
所以，
所以
故選:B.
2．C
【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).
故選：C.
3．A
【分析】利用二倍角公式和兩角差的公式得到，利用平移變換得到，再根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值求解.
【詳解】由，化簡(jiǎn)得，
所以．
又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，
所以，
解得．
因?yàn)椋?br>所以．
故選：A．
4．D
【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.
【詳解】
.
故選：D
5．A
【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：A.
6．A
【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】由余弦定理可得：
由條件及正弦定理可得：
，
所以，則．
故選：A
7．B
【分析】根據(jù)二倍角公式將化簡(jiǎn)得到，利用余弦定理和正弦定理將化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又，所以，
所以，所以.
因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
即，
又，所以，所以，
由正弦定理得，所以.
設(shè)的外接圓的半徑為，
所以，解得，
所以的外接圓的面積為.
故選：B.
8．D
【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函數(shù)同角關(guān)系表示出，化簡(jiǎn)可得.
【詳解】在中，由正弦定理可得
在中，易知，
則
整理可得
故選：D
9．ABD
【分析】利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性求出，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.
【詳解】依題意，，即，而，則，，
對(duì)于A，因?yàn)?，于是函?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，又，因此中一個(gè)為函數(shù)的最大值點(diǎn)，
另一個(gè)為其最小值點(diǎn)，又函數(shù)的周期為，所以的最小值為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，依題意，，
則
，因此，D正確.
故選：ABD
10．AC
【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱軸的定義分析證明；對(duì)于B：舉例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉例說(shuō)明即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B錯(cuò)誤.
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>注意到，
令，得，即，
故的所有零點(diǎn)為，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋圆皇堑闹芷?，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11．AB
【分析】利用降冪公式、二倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)整理，可得，根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】
，
A選項(xiàng)，令，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).故A正確；
B選項(xiàng)，令，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間，
令k=0，可得一個(gè)遞增區(qū)間為，且，所以B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，向右移動(dòng)，則，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握恒等變換公式、余弦型函數(shù)的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.
12．
【分析】利用三角恒等變換求得，從而得到，由此結(jié)合角的范圍即可得解.
【詳解】因?yàn)?br>，
所以，
又因?yàn)闉殇J角，
所以.
故答案為：
13．
【分析】通過(guò)正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，再結(jié)合面積公式和余弦定理即可求出的長(zhǎng)度.
【詳解】由題意，
在中，，，
由正弦定理，，
∵，
∴，
連接如下圖所示，
在中，
由余弦定理，，
又，
∴，
∴．
故答案為：.
14．/
【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知式可得，即，再由CD平分，即，將三角形的面積公式代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>，因?yàn)椋?br>所以，所以，因?yàn)椋?br>所以，又CD平分，所以，
所以，即，
即，
所以.
故答案為：

15．（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可計(jì)算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.
【詳解】（I）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理，即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式，得到角和邊的關(guān)系，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1），且，
所以；
（2）根據(jù)正弦定理，，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不成立，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，
的面積.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化邊為角化簡(jiǎn)即得三角方程，解之即得；
（2）先用三角降冪公式降次，再通過(guò)（1）求得的進(jìn)行消元，化簡(jiǎn)得到余弦型函數(shù)，再利用銳角三角形條件，求得角的范圍，最后利用余弦型函數(shù)的值域即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理，，
整理得：，
又由正弦定理，，而A為三角形內(nèi)角，故，
故，而C為銳角三角形內(nèi)角，故
（2）由（1）知，

，
因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，解得：，
則，故，所以.
故的取值范圍是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)可得出，可求出的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）求出、的值，設(shè)，則，分別在和中，利用正弦定理結(jié)合等式的性質(zhì)可得出、的等式，即可求得的值，即為所求.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，
化簡(jiǎn)可得，由余弦定理可得，
因?yàn)?，所以?
（2）解：因?yàn)?，則為銳角，所以，，
因?yàn)?，所以，?br>所以，，
設(shè)，則，
在和中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，上面兩個(gè)等式相除可得，
得，即，
所以，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得結(jié)果；
（2）設(shè)，把表示成兩個(gè)三角形的面積和，表示出，再求其取值范圍；
【詳解】（1）已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
，即，
.
（2）由（1）知，由，則.
設(shè)，，
，，
.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7

答案
B
C
B
B
D
C
C

題號(hào)
1
2
3
4

答案
A
A
ACD
AC

題號(hào)
1
2
3
4

答案
D
C
AC
ACD

題號(hào)
1
2
3
4

答案
D
A
BC
BD

題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
A
B
D
ABD
AC
題號(hào)
11

答案
AB

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