第3講　三角恒等變換與解三角形1.[三角恒等變換](2021·新高考Ⅰ卷,T6)若tan θ=-2,則=(　C　)A.- B.- C. D.解析:由題意可得===sin θ(sin θ+cos θ)====.故選C.2.[解三角形](2021·全國甲卷,T8)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,則BC=(　D　)A.1 B. C. D.3解析:法一　由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故選D.法二　由正弦定理=,得sin C=,從而cos C=(C是銳角),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×-×=.又=,所以BC=3.故選D.3.[解三角形實(shí)際應(yīng)用](2021·全國甲卷,T8)2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′滿足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°,BB′與CC′的差為100;由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為(≈1.732)(　B　)A.346 B.373 C.446 D.473解析:過C作CH⊥BB′,過B作BD⊥AA′,垂足分別為H,D,故AA′-CC′=AA′-(BB′-BH)=AA′-BB′+100=AD+100,由題易知△ADB為等腰直角三角形,所以AD=DB,所以AA′-CC′=DB+100=A′B′+100.因?yàn)?/span>∠BCH=15°,所以CH=C′B′=.在△A′B′C′中,由正弦定理得===,而sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin 30°=,所以A′B′==100(+1)≈273,所以AA′-CC′=A′B′+100≈373.故選B.4.[解三角形中的最值問題](2022·全國甲卷,T16)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)取得最小值時,BD=　　　　. 解析:設(shè)BD=k(k>0),則CD=2k.根據(jù)題意作出大致圖形,如圖.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·(-)=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4,則===4-=4-=4-,因?yàn)閗+1+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)k+1=,即k=-1時,等號成立),所以≥4-=4-2=(-1)2,所以當(dāng)取得最小值-1時,BD=k=-1.答案:-15.[面積公式與解三角形](2022·新高考Ⅱ卷,T18)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.(1)求△ABC的面積;(2)若sin Asin C=,求b.解:(1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.由sin B=,得cos B=或cos B=-(舍去),所以ac==,則△ABC的面積為S=acsin B=××=.(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,即b2=×=,得b=. 三角恒等變換與解三角形是高考的必考內(nèi)容,命題數(shù)量上“一大兩小”,考查角度常有:(1)三角恒等變換主要考查化簡、求值,以選擇題、填空題為主,也與解三角形相結(jié)合.(2)解三角形主要考查解三角形、求面積等,三角恒等變換常作為工具,三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.以解答題為主,中等難度.熱點(diǎn)一　三角恒等變換三角恒等變換“四大策略”(1)常值代換:常用到“1”的代換,如1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.(3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.典例1　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,則(　　)A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1(2)(2022·河北唐山二模)已知0<α<β<2π,函數(shù)f(x)=5sin(x-),若f(α)=f(β)=1,則cos(β-α)=(　　)A. B.- C. D.-解析:(1)由題意得sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,整理得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin (α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故選C.(2)令f(x)=5sin(x-)=0,0<x<2π,則x=或x=,令f(x)=5sin(x-)=5,0<x<2π,則x=.又0<α<β<2π,f(α)=f(β)=1,所以<α<,<β<,sin(α-)=,sin(β-)=.因?yàn)?<α-<,<β-<π,所以cos(α-)=,cos(β-)=-,所以cos(β-α)=cos[(β-)-(α-)]=cos(β-)cos(α-)+sin(β-)sin(α-)=-×+×=-.故選B.(1)三角恒等變換的基本思路:找差異,化同角(名),化簡求值.(2)解決條件求值問題的三個關(guān)注點(diǎn):①分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來表示未知角.②正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示.③求解三角函數(shù)中給值求角的問題時,要根據(jù)已知求這個角的某個三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小.熱點(diǎn)訓(xùn)練1　 (1)(2022·福建漳州一模)已知=,則sin(α-)=(　　)A. B.- C.- D.(2)(2022·湖南臨澧縣第一中學(xué)二模)已知sin(α+)+sin α=,則sin(2α-)的值是(　　)A. B.- C. D.-解析:(1)由=,得=,所以sin(α-)=-.故選C.(2)由sin(α+)+sin α=,得sin α+cos α+sin α=,即sin α+cos α=,得sin(α+)=,則sin(2α-)=sin(2α+-)=-cos(2α+)=-[1-2sin2(α+)]=-(1-)=-.故選B.熱點(diǎn)二　正弦定理與余弦定理1.正弦定理:在△ABC中,===2R(R為△ABC外接圓的半徑).變形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=,sin B=,sin C=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等.2.余弦定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A.變形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=.3.三角形的面積公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.典例2　(1)(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,B=60°,a2+c2=3ac,則b=　　　　. (2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,則A=　　　　. 解析:(1)因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,B=60°,a2+c2=3ac,所以acsin B=?ac×=?ac=4?a2+c2=12,又cos B=?=?b=2(負(fù)值舍去).(2)由sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,得sin Acos C+sin Ccos A=-bcos A,所以sin(A+C)=-bcos A,即sin B=-bcos A,又=,所以==-,又a=1,所以=-,即tan A=-,因?yàn)?<A<π,所以A=.答案:(1)2　(2)(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形時,涉及邊與角的余弦的積時,常用正弦定理將邊化為角,涉及邊的平方時,一般用余弦定理.(2)涉及邊a,b,c的齊次式時,常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值,再利用三角恒等變換進(jìn)行變形.(3)涉及正弦定理、余弦定理與三角形面積綜合問題,求三角形面積時常用S=absin C形式的面積公式.熱點(diǎn)訓(xùn)練2　 (1)(2022·山東臨沂二模)我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,即在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=.根據(jù)此公式,若acos B+(b-c)cos A=0,且b2+c2-a2=,則△ABC的面積為(　　)A. B. C. D.(2) (2022·湖北模擬預(yù)測)設(shè)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,若B=C≠A,且a(b2+c2-a2)=b2c,則A=(　　)A. B. C. D.解析:(1)由正弦定理邊角互化可將acos B+(b-c)cos A=0化簡為sin Acos B+(sin B-sin C)cos A=0,sin Acos B+sin Bcos A=sin Ccos A,即sin(A+B)=sin C=sin Ccos A,因?yàn)閟in C≠0,所以cos A=.由cos A==?=,解得bc=1,根據(jù)面積公式可知S===.故選A.(2)因?yàn)閍(b2+c2-a2)=b2c,所以2a×=b,即b=2acos A,所以sin B=2sin Acos A=sin 2A,所以B=2A或B+2A=π.若B+2A=π,則C=A,不符合題意,故B=2A,又B=C,所以A+B+C=5A=π,即A=.故選B.熱點(diǎn)三　解三角形的綜合問題　　在處理三角形中的邊角關(guān)系時,一般全部化為角的關(guān)系,或全部化為邊的關(guān)系,題中若出現(xiàn)一次式,一般采用正弦定理,出現(xiàn)二次式一般采用余弦定理.應(yīng)用正弦定理、余弦定理時,注意公式變式的應(yīng)用,解決三角形問題時,注意角的限制范圍.典例3　(2022·湖南岳陽三模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若已知asin=bsin A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值.解:(1)由asin=bsin A及正弦定理,得sin Asin=sin Bsin A?cos=sin B(sin A≠0)?cos=2sincos?sin=(cos ≠0)?=?B=.(2) 法一　由余弦定理得cos B==?=≥?ac≤12(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時,取等號)?S=acsin B≤×12×=3,所以△ABC的面積的最大值為3.法二　由正弦定理得====4,所以a=4sin A,c=4sin C.又A+C=,所以C=-A,所以S=acsin B=4sin Asin C=4sin Asin(-A)=3sin 2A-cos 2A+=2sin(2A-)+.因?yàn)?<A<,所以-<2A-<,所以-<sin(2A-)≤1,所以0<2sin(2A-)+≤3,所以當(dāng)2A-=,即A=時,△ABC的面積有最大值3.變式探究　若本例(2)的條件不變,試求△ABC周長的取值范圍.解:法一　由(1)得B=,則sin B=,又b=2,由正弦定理得====4,所以a+c=4sin A+4sin C=4sin A+4sin(-A)=6sin A+2cos A=4sin(A+).因?yàn)锽=,所以0<A<,則<A+<,所以<sin(A+)≤1,所以2<4sin(A+)≤4,所以△ABC周長的取值范圍是(4,6].法二　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-2accos=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3×()2=,所以a+c≤4,所以a+b+c≤6,由三角形的性質(zhì),得a+c>b,所以a+b+c>2b=4,所以△ABC周長的取值范圍是(4,6].求解三角形中的最值、范圍問題常用以下方法:(1)正弦定理+三角函數(shù):利用正弦定理,結(jié)合三角恒等變換將問題轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)問題,然后結(jié)合角的范圍求解,此法為通法,適用于所有情況.(2)余弦定理+基本不等式:由余弦定理找出三角形的邊的關(guān)系,利用基本不等式求解.此方法有一定的局限性,求最值問題可采用此法.熱點(diǎn)訓(xùn)練3　  (2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=.(1)若C=,求B;(2)求的最小值.解:(1)因?yàn)?/span>=,所以=,所以=,所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,所以cos(A+B)=sin B,所以sin B=-cos C=-cos =.因?yàn)锽∈(0,),所以B=.(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,所以sin[-(A+B)]=sin B,且0<A+B<,所以0<B<,0<-(A+B)<,所以-(A+B)=B,解得A=-2B,由正弦定理得=======4cos2B+-5≥2-5=4-5,當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=時取等號,所以的最小值為4-5.

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