專題一函數(shù)與導數(shù) 第十一講　極值點偏移問題-2025年高考數(shù)學二輪復習講義（新高考專用）-學案下載-教習網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點突破】5
【考點一】對稱化構(gòu)造函數(shù)5
【考點二】比值代換17
【專題精練】26
考情分析：
極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移問題，有對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色．
真題自測
一、解答題
1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
參考答案：
1．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)f(x)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故f(x)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，g(x)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關于的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.
考點突破
【考點一】對稱化構(gòu)造函數(shù)
一、單選題
1．（2023·四川瀘州·二模）已知兩個不相等的正實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列命題正確的是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（22-23高三上·湖北·階段練習）已知，則（）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）已知關于的方程有兩個不等的實根，且，則下列說法正確的有（）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2022·吉林·三模）已知函數(shù)的極大值點為0，則實數(shù)m的值為；設，且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．
四、解答題
6．（2023·山東泰安·二模）已知函數(shù)，.
(1)當時，討論方程解的個數(shù)；
(2)當時，有兩個極值點，，且，若，證明：
（i）；
（ii）.
7．（22-23高二下·遼寧·期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
參考答案：
1．C
【分析】先利用同構(gòu)法與構(gòu)造函數(shù)，將題設條件轉(zhuǎn)化為，再利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖像即可排除AD，利用特殊值計算即可排除B，再利用極值點偏移的解決方法即可判斷C.
【詳解】因為，，
所以，則，即，
令，則，，
當時，，則單調(diào)遞減；
當時，，則單調(diào)遞增,
所以，
對于，總有，即在上單調(diào)遞增，
故，即在上恒成立，
所以對于，對于任意，在上取，
則，
所以當且趨向于0時，趨向于無窮大，
當趨向于無窮大時，趨向于無窮大，趨向于0，故趨向于無窮大，
所以的大致圖像如圖所示：
.
對于AD，因為，，不妨設，
由圖象可知，，故，故AD錯誤；
對于B，假設成立，取，
則，顯然不滿足，故B錯誤；
對于C，令，又，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，即，
又，則，
因為，所以，又，在上單調(diào)遞增，
所以，即，故C正確.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵在于利用同構(gòu)法轉(zhuǎn)化等式，從而構(gòu)造函數(shù)，并研究其圖像的性質(zhì)，由此判斷得解.
2．D
【分析】根據(jù)零點可將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A，根據(jù)極值點偏移，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)可得，即可求解C，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】由可得，令，其中，
則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，
由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，
由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞，
且當時，，當時，，，
如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故A錯誤；
由圖可知，，
因為，由f'x>0可得，由f'xxeq \\al(2,0)型，方法一是構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式；方法二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成兩變量即可．
【考點二】比值代換
一、解答題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點，，且，求證：．
2．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知．
(1)當時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若存在，，使，求證：．
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若有三個零點，且．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）設，為函數(shù)（）的兩個零點．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：．
5．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
(1)當時，恰好存在一條過原點的直線與，都相切，求b的值；
(2)若，方程有兩個根，（），求證：．
參考答案：
1．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.
【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域是0,+∞，，
當時，f'x0，則在0,1上單調(diào)遞增，
當時，f'x

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