考點(diǎn)一 三角恒等變換
1．三角求值“三大類型”
“給角求值”“給值求值”“給值求角”．
2．三角恒等變換“四大策略”
(1)常值代換：常用到“1”的代換，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
【熱點(diǎn)突破】
【典例】1 (1)(2020·全國(guó)Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，則sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
(2)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【方法總結(jié)】
(1)公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況．
(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解．
【拓展訓(xùn)練】1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(cs 2β,1－sin 2β)，則( )
A．α＋β＝eq \f(π,2) B．α－β＝eq \f(π,4)
C．α＋β＝eq \f(π,4) D．α＋2β＝eq \f(π,2)
(2)(tan 10°－eq \r(3))·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝________.
【要點(diǎn)提煉】
考點(diǎn)二 正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面積公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
【熱點(diǎn)突破】
考向1 求解三角形中的角、邊
【典例】2 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq \f(asin C,1－cs A)＝eq \r(3)c.
(1)求角A的大??；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面積S△ABC＝4eq \r(3)，求a的值．
考向2 求解三角形中的最值與范圍問(wèn)題
【典例】3 (2020·新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)在：①a＝eq \r(3)csin A－acs C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝eq \r(3)，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
【拓展訓(xùn)練】2 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為( )
A．4π B．2π C．π D.eq \f(π,2)
(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝3B，則eq \f(a,b)的取值范圍是( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(0,1] D．(1,2]
(3)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若tan C＝eq \f(12,5)，a＝b＝eq \r(13)，BC邊上的中點(diǎn)為D，則sin∠BAC＝________，AD＝________.
專題訓(xùn)練
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2020·全國(guó)Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cs B等于( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
2．(2020·全國(guó)Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b＝2，eq \f(sin 2C,1－cs 2C)＝1，B＝eq \f(π,6)，則a的值為( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(3)＋2
C．2eq \r(3)－2 D.eq \r(2)＋eq \r(6)
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acs B＋bcs A＝2ccs C，c＝eq \r(7)，且△ABC的面積為eq \f(3\r(3),2)，則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A．1＋eq \r(7) B．2＋eq \r(7)
C．4＋eq \r(7) D．5＋eq \r(7)
5．若α，β都是銳角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，則cs β等于( )
A.eq \f(2\r(5),25) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
6．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若A＝120°，a＝1，則2b＋3c的最大值為( )
A．3 B.eq \f(2\r(21),3) C．3eq \r(2) D.eq \f(3\r(5),2)
二、多項(xiàng)選擇題
7．(2020·臨沂模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝2eq \r(3)，c＝3，A＋3C＝π，則下列結(jié)論正確的是( )
A．cs C＝eq \f(\r(3),3) B．sin B＝eq \f(\r(2),3)
C．a(chǎn)＝3 D．S△ABC＝eq \r(2)
8．已知00，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
(2)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案】 C
【解析】 因?yàn)棣?，β均為銳角，所以－eq \f(π,2)

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