專題二三角函數(shù)與解三角形第一講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】7
【考點(diǎn)一】三角函數(shù)的運(yùn)算8
【考點(diǎn)二】三角函數(shù)的圖象11
【考點(diǎn)三】三角函數(shù)的性質(zhì)17
【專題精練】24
考情分析：
1.高考對此部分的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，常與三角恒等變換交匯命題.
2.主要以選擇題、填空題的形式考查，難度為中等或偏下．
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）
A．－1B．C．0D．
4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)y=fx的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2024·全國·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）
A．與有相同的零點(diǎn)B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸
7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
8．（2024·全國·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．
9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】當(dāng)時，例如但，
即推不出；
當(dāng)時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點(diǎn)，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
所以由圖可知，與的交點(diǎn)個數(shù)為.
故選：C.
3．B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
4．D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
5．C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因?yàn)椋裕?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
6．BC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項(xiàng)即可.
【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，
令，解得，即為零點(diǎn)，
顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯誤；
B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項(xiàng)錯誤.
故選：BC
7．AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項(xiàng)，即可解出．
【詳解】由題意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以4π3+φ=kπ，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；
對C，當(dāng)時，2x+2π3=3π，f(7π6)=0，直線不是對稱軸；
對D，由y'=2cs2x+2π3=-1得：cs2x+2π3=-12，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為k=y'x=0=2cs2π3=-1，
切線方程為：y-32=-(x-0)即．
故選：AD．
8．2
【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.
【詳解】，當(dāng)時，，
當(dāng)時，即時，.
故答案為：2
9．2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，
所以.
故答案為：2.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】三角函數(shù)的運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·浙江寧波·二模）若為銳角，，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南長沙·一模）若，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知，則（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（）
A．為奇函數(shù)
B．的值域?yàn)?br>C．的最小正周期為
D．的圖象關(guān)于直線對稱
三、填空題
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知，則 .
6．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)同角關(guān)系得，即可由和差角公式求解.
【詳解】為銳角，,故，
所以，
故選：A
2．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式求得，然后結(jié)合二倍角余弦公式，利用1的代換化弦為切代入計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以.
故選：D
3．AB
【分析】A選項(xiàng)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可解；
B選項(xiàng)先結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，再利用兩角和與差的正切公式化簡求值；
C選項(xiàng)將原式變形得，再代值求解；
D選項(xiàng)活用“1”，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值.
【詳解】對于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)錯誤．
故選：AB．
4．ACD
【分析】A.結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B. 令，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)求解判斷；C. 結(jié)合誘導(dǎo)公式，利用周期函數(shù)的定義判斷；D.結(jié)合誘導(dǎo)公式，利用函數(shù)的對稱性判斷.
【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，故是奇函數(shù)，故A正確；
令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，故B錯誤；
因?yàn)?，所以的最小正周期為，故C正確；
因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)直線對稱，故D正確；
故選：ACD
5．/
【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式可求得答案．
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
故答案為：.
6．/
【分析】變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出.
【詳解】由題可知，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，故，
所以，
兩邊平方后得，故，
．
故答案為：
核心梳理：
1．同角關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．誘導(dǎo)公式：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”．
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
(1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，則sin α0)圖象的步驟
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數(shù)的值
(1)最值定A，B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設(shè)最大值為M，最小值為m，則M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq \f(M＋m,2)，A＝eq \f(M－m,2).
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)特殊點(diǎn)定φ：代入特殊點(diǎn)求φ，一般代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，代入中心點(diǎn)時應(yīng)注意是上升趨勢還是下降趨勢．
【考點(diǎn)三】三角函數(shù)的性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·山東淄博·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．函數(shù)的最小正周期
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
2．（23-24高一上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．C．，D．，
3．（23-24高一下·江西贛州·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
4．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）
A．若和為函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則
B．若，則函數(shù)在上的值域?yàn)?br>C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值為
D．若函數(shù)在上恰有一個零點(diǎn)，則
5．（2024·廣東·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）
A．B．
C．D．
6．（2024·浙江嘉興·二模）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，定義：.對于函數(shù)，則（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象
D．方程在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)數(shù)解
三、填空題
7．（2024·廣東深圳·一模）若函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則．
8．（23-24高三上·上海寶山·期末）若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間上均有兩個零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的最小值是 .
9．（2024·上海·三模）函數(shù)的最小正周期為．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期，A錯誤；
對于B，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，B錯誤；
對于C，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.
故選：D
2．D
【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】，可化為，
故單調(diào)增區(qū)間滿足：，，
解得，.
令，，令，，
，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.
故選：D
3．D
【分析】由條件列方程求，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】依題意，，且，
即且，
因?yàn)?，所以?br>則，
所以，化簡得，
因?yàn)椋詴r，故，
所以．
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．
故選：D．
4．ACD
【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的值域可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換以及正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，若和為函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，
則函數(shù)的最小正周期為，則，
所以，，此時，，合乎題意，A對；
對于B選項(xiàng)，若，則，
當(dāng)時，則，所以，，
故當(dāng)時，則函數(shù)在上的值域?yàn)椋珺錯；
對于C選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
則為奇函數(shù)，
所以，，解得，
因?yàn)?，?dāng)時，取最小值，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有一個零點(diǎn)，則，解得，D對.
故選：ACD.
5．AC
【分析】由偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，由給定的區(qū)間，去掉絕對值，化簡選項(xiàng)中的函數(shù)式，在由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷區(qū)間是否符合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到答案.
【詳解】對于A：，為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，
的遞增區(qū)間為，
而，
所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B：，為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，
而，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C：，為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，
而，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D：，
所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：AC.
6．AB
【分析】由三角函數(shù)定義可得，根據(jù)題意，可得，利用正切函數(shù)的性質(zhì)依次判斷求解各個選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意，，，
對于A，由正切函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故A正確；
對于B，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，將的圖象向左平移個單位可得，為奇函數(shù)，故C錯誤；
對于D，，，令，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，
所以方程在區(qū)間上只有一個實(shí)數(shù)解，故D錯誤.
故選：AB.
7．
【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出，再由正弦型函數(shù)的對稱中心即可求出.
【詳解】由得，，所以，
又的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
所以,解得，又，
所以，.
故答案為：
8．
【分析】根據(jù)整體法可得零點(diǎn)滿足，即可利用時，，求解符合條件的結(jié)合周期性驗(yàn)證所求滿足其他區(qū)間即可.
【詳解】令,則，
函數(shù)的零點(diǎn)
，
當(dāng)時，，此時符合條件的兩個零點(diǎn)為故，
故，解得，
當(dāng) 時，的零點(diǎn)為，
因此零點(diǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可知：滿足每個閉區(qū)間上恰好有兩個零點(diǎn)。
故答案為：
9．
【分析】利用函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式即可求解.
【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?
所以函數(shù)的最小正周期為，
所以函數(shù)的最小正周期為,
故答案為：.
核心梳理：
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)
(1)單調(diào)性：由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞增區(qū)間，由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞減區(qū)間．
(2)對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)可得對稱軸．
(3)奇偶性：當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．
2單+2多+2填+2解（有的加） 0.85-0.65
規(guī)律方法：
研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y＝sin x的性質(zhì)求f(x)的性質(zhì)，此時有兩種思路：一種是根據(jù)y＝sin x的性質(zhì)求出f(x)的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求得t＝ωx＋φ的范圍，然后由y＝sin t的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
專題精練
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知，則（）
A．0B．C．D．1
2．（2024·廣東茂名·一模）若，，則（）
A．B．C．D．
3．（2024·廣東江門·一模）已知角α的終邊上有一點(diǎn)，則=（）
A．B．C．D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
5．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（）在有且僅有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
6．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致是（）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（）
A．B．C．D．
8．（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（23-24高三上·山東濱州·期末）已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（）
A．若的最小正周期，則
B．當(dāng)時，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
C．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是
D．若在區(qū)間上只有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是
10．（23-24高一上·四川宜賓·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．的最小正周期為
B．當(dāng)時，的值域?yàn)?br>C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
11．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則（）
A．
B．恒成立
C．在上單調(diào)遞減
D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱
三、填空題
12．（2024·湖南株洲·一模）已知函數(shù)（，），若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為 .
13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．
14．（2024·上?！ひ荒＃┮阎?，為其三個內(nèi)角，且都是整數(shù)，則．
四、解答題
15．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域；
(2)在中，內(nèi)角的對邊分別為為的平分線，若的最小正周期是，求的面積．
17．（23-24高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為且求的取值范圍.
18．（2024·山東臨沂·一模）已知向量，，函數(shù).
(1)若，且，求的值；
(2)將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位，然后再向下平移1個單位，最后使所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，當(dāng)時，解不等式.
19．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若方程在上有2個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．
參考答案：
1．A
【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合求解.
【詳解】已知，
則，
，
，，
則，，
則
.
故選：A.
2．C
【分析】合理換元，求出關(guān)鍵數(shù)值，結(jié)合誘導(dǎo)公式處理即可.
【詳解】令，，得，則，
即，整理得，且，
那么，則.
故選：C.
3．A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知角α的終邊上有一點(diǎn)，則，
故，則，
故選：A
4．A
【分析】利用換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式等知識求得正確答案.
【詳解】設(shè)，則
.
故選：A
5．B
【分析】當(dāng)時，，依題意有，解出即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)（）在有且僅有三個零點(diǎn)，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，
解得，
故選：B.
6．C
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷時，函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】，
定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
由，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
當(dāng)時，，因?yàn)闉樯蠝p函數(shù)，為上的增函數(shù)，
則為上的減函數(shù)，且當(dāng)，，則當(dāng)，
，故，排除A.
故選：C.
7．B
【分析】根據(jù)題意可得，再利用值域可限定，解得的取值范圍為.
【詳解】由及可得，
根據(jù)其值域?yàn)?，且?br>由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，
即可得，解得.
故選：B
8．D
【分析】首先利用平移規(guī)律求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.
【詳解】由題意可知，，
因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，
則，,得，且，
所以.
故選：D
9．ACD
【分析】利用最小正周期公式可得，可判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移可得，可判斷B；利用余弦函數(shù)的減區(qū)間列不等式組求的取值范圍，可判斷C；結(jié)合在區(qū)間0,π上只有一個零點(diǎn)，列不等式組可求的取值范圍，可判斷D.
【詳解】對于A：由的最小正周期可得，又，解得，故A正確；
對于B：當(dāng)時，，將其圖象向右平移個單位長度后，得的圖象，故B錯誤；
對于C：由x∈0,π得，令，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
于是，解得，即，故C正確；
對于D：因?yàn)樵趨^(qū)間0,π上只有一個零點(diǎn)，
所以在區(qū)間只有一個零點(diǎn)，
于是，解得，即，故D正確.
故選：ACD.
10．AD
【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后的解析式，判斷新圖象的對稱中心.
【詳解】由函數(shù)圖象可知，，的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；
，，，
則，由，得，
所以.
當(dāng)時，，，的值域?yàn)?，B選項(xiàng)錯誤；
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，C選項(xiàng)錯誤；
將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)的圖象，
，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
11．AC
【分析】由題意求出，然后由余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，
所以，因?yàn)?，所?故A正確；
又因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B錯誤；
當(dāng)時，，故C正確；
將的圖象向右平移個單位，得到，
是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，故D錯誤.
故選：AC.
12．32/
【分析】根據(jù)奇偶性先求解出的值，然后化簡，采用整體代換法得到所滿足的不等式組，由此分析并求解出的最大值.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時能成立，所以，
所以的最大值為，
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得恒成立，利用兩角和與差的正弦公式化簡得恒成立，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，
所以恒成立，即，
所以，
即恒成立，又不恒成立，
所以恒成立，即，
又，所以，
故答案為：.
14．6
【分析】不妨令，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得.
【詳解】在中，不妨令，顯然為銳角，而是整數(shù)，
若，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
此時與矛盾，因此，，
，整理得，
又都是整數(shù)，且，因此，
所以.
故答案為：6
15．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點(diǎn)求出，利用周期求出，由特殊點(diǎn)求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法求得最值；
（3）結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定其值域，由圖象即求.
【詳解】（1）由函數(shù)的部分圖象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）將向右平移個單位，得到，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，
令，由，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
可得，；
（3）因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有兩個不等實(shí)根，
即與的圖象在有兩個交點(diǎn).

由圖象可知符合題意的的取值范圍為.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將化為一般式，再利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，即可求得值域；
（2）根據(jù)題意，求得，利用等面積法和余弦定理，求得，再求三角形面積即可.
【詳解】（1）
,
當(dāng)時，，又，故，
又在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
故函數(shù)在上的值域?yàn)?
（2）由（1）知，，由其最小正周期為，
可得，又，解得，則；
由，即，又，可得，則，即；
AD為的平分線，故可得，
則，即，；
在三角形中由余弦定理可得，即，
將代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面積為.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)周期求得的值，從而得到函數(shù)的解析式，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用正弦定理即兩角和的正弦公式化簡條件，從而求得繼而得到整體代入求函數(shù)值的范圍即可.
【詳解】（1）
.
因?yàn)樗?br>故.
由
解得
當(dāng)時又
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由
得（
所以.
因?yàn)樗?br>又所以
又三角形為銳角三角形，則，則，所以，
又，，
則，
所以的取值范圍為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式化簡，依題意可得，即可求出，最后由利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，，函?shù)，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以，
所以，
所以
.
（2）將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位得到，
再將向下平移1個單位得到，
最后將的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫剑?br>即，
由，即，所以，，
解得，，
令可得，令可得，
又，所以，
即在時不等式的解集為.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再探討在上的性質(zhì)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求解作答.
（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，進(jìn)而求出，再利用等腰三角形性質(zhì)求解作答.
【詳解】（1）依題意，
，
當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，
方程在上有2個不同的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，

觀察圖象，當(dāng)時，直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（2）由（1）知，，即，
在中，，即，則，解得，

在中，，，由正弦定理得，
則，顯然，有，
于是，即有，則，是等腰三角形，
所以.
題號
1
2
3
4
5
6
7

答案
B
C
B
D
C
BC
AD

題號
1
2
3
4

答案
A
D
AB
ACD

題號
1
2
3
4

答案
A
D
ABD
ABC

題號
1
2
3
4
5
6

答案
D
D
D
ACD
AC
AB

題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
B
C
B
D
ACD
AD
題號
11

答案
AC

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