1. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解.
【詳解】因?yàn)樵凇鰽BC中，a=2，A=45°，B=30°，
所以由正弦定理得，
解得，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題在考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題》
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部與虛部之和為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
所以的實(shí)部為，虛部為，則的實(shí)部與虛部之和為.
故選：D.
3. 已知在中，，，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，得到，根據(jù)向量的數(shù)量積，化簡得到，求得取得最小值；當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，得到，化簡得到，求得最小值.
【詳解】在中，，，可得，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，所以，
又因，所以，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
綜上可得，的最小值是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：
（1）坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決；
（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則?運(yùn)算律和性質(zhì)求解.
4. 中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，若且，則的形狀是（ ）
A. 有一個(gè)角是的等腰三角形
B. 等邊三角形
C. 三邊均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由推導(dǎo)可得的平分線垂直于邊BC，進(jìn)而可得，再由給定面積導(dǎo)出得解.
【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點(diǎn)、，使、，
以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，
因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點(diǎn)O，則O是BC邊的中點(diǎn)，，
而，因此有，從而得，
所以是等腰直角三角形.
故選：D
5. 某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，如圖.已知在A，B，C處測得該建筑頂部P的仰角分別為，，，，米，則該建筑的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
分析】設(shè)，由，結(jié)合余弦定理可得，求解即可.
【詳解】設(shè)，則可得，
由，可得B是AC的中點(diǎn)，所以，
而，則，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以該建筑高度米.
故選：B.
二、多選題
6. 已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則的值為
B. 若，則的值為
C. 若，則與的夾角為銳角
D. 若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)表示及向量夾角的坐標(biāo)表示一一判斷即可．
【詳解】對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；
對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，與同向，此時(shí)與的夾角為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則，即，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，，，，顯然，
當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
7. 在中，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量為D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)對(duì)題干條件直接根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡成，然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B選項(xiàng)利用兩角和的正切公式求解；C選項(xiàng)結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項(xiàng)根據(jù)正弦定理算出三邊長度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.
【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，，
即，即，由正弦定理，，
即，則為銳角，由，
解得，，A選項(xiàng)正確，
B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)和題干可知，，
，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：在方向上的投影向量為，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，則，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
8. 記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知?jiǎng)t下列說法正確的是（ ）
A. a可能是最大邊B. b可能是最大邊
C. a可能是最小邊D. c可能是最小邊
【答案】BCD
【解析】
【分析】應(yīng)用正弦定理及兩角和差公式化簡，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得出或計(jì)算判斷即可.
【詳解】由題意可得
所以
由正弦定理可得
所以
即
即
等價(jià)于
所以則或即
若則c是最大邊，a，b可能是最小邊；
若則b是最大邊，a，c可能是最小邊.
綜上，選項(xiàng)B，C，D正確.
故選：
三、填空題
9. 已知單位向量，的夾角為，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即得.
【詳解】由單位向量，的夾角為，得，
所以.
故答案為：
10. 已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)幾何意義求目標(biāo)式的最大值.
【詳解】令復(fù)數(shù)，，，則，
所以，所以，，即.
又因?yàn)椋丛趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.
又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
所以的最大值為.
故答案為：.
11. 在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．

【答案】或0
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點(diǎn)共線，
∴可設(shè)，
∵，
∴，即，
若且，則三點(diǎn)共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設(shè)，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長度為.
當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長度為，
當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．
四、解答題
12. 如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).
（1）用，表示；
（2）求線段的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接可得解；
（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化法可得向量的模.
【小問1詳解】
由已知，
且為的中點(diǎn)，
則四邊形為平行四邊形，為等邊三角形，
即，
又為的中點(diǎn)，
則，
即；
【小問2詳解】
由已知，，三點(diǎn)共線，
則，
又因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，則有，解得，
故有，
所以.
13. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．且滿足．
（1）求角的大?。?br>（2）若的面積，內(nèi)切圓的半徑為，求；
（3）若的平分線交于，且，求的面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式化簡，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得.
（2）由等面積得出，，利用余弦定理得出，三式聯(lián)立即可求得邊.
（3）結(jié)合題設(shè)，分別在，和中，由正弦定理推出邊，的關(guān)系式，再利用基本不等式求得的最小值，繼而即得三角形面積最小值．
【小問1詳解】
由，得，則，即，
而，所以
【小問2詳解】
由等面積法得：，即，
因此，，在中，由余弦定理得，
即，所以.
【小問3詳解】
由平分，得，
在中，設(shè)，則，
在中，由正弦定理，得，則，
在中，由正弦定理，得，則，
得，故有．
在中，由正弦定理，得，則，
得代入式，可得，即．
由基本不等式，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．
于是，．即的面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題時(shí)要注重題設(shè)條件應(yīng)用，如三角形內(nèi)切圓半徑常與其面積聯(lián)系解題，內(nèi)角平分線常與正余弦定理結(jié)合使用，遇到兩參數(shù)的相關(guān)式求最值常與基本不等式掛鉤解題．

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