2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)普通班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）在中，已知，則角的大小為　　A． B． C． D．2．（5分）設(shè)，不共線，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值是　　A． B． C． D．3．（5分）已知，且為銳角，則　　A． B． C． D．4．（5分）歐拉公式是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將復(fù)數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)緊密相聯(lián)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”．當(dāng)時(shí)，就有，根據(jù)上述背景知識，復(fù)數(shù)的虛部為　　A．1 B． C． D．5．（5分）已知向量，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C．，， D．，，6．（5分）、分別是復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，是原點(diǎn)，若，則三角形一定是　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．（5分）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是　　A．的最大值為1 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于直線對稱8．（5分）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約，則該月牙泉的面積約為　　（參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（5分）已知向量，，，則　　A． B． C． D．10．（5分）下列各式中，值為的是　　A． B． C． D．11．（5分）已知與是共軛復(fù)數(shù)，以下4個(gè)命題一定正確的是　　A． B． C． D．12．（5分）如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為的反射坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的反射坐標(biāo)，記為．在的反射坐標(biāo)系中，，．則下列結(jié)論中，正確的是　　A． B． C． D．在上的投影向量為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)　　．14．（5分）若，則　　．15．（5分）中，為邊的中點(diǎn)，為中線上的一點(diǎn)且，則的最小值為　　．16．（5分）邳州市艾山九龍景區(qū)標(biāo)志性建筑物鼎，距今已有多年的歷史．它是每一位到邳州旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)．其中央主體建筑集多面體于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算該鼎的高度，在它的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)，，三點(diǎn)共線）處測得樓頂，該鼎頂的仰角分別是和，在樓頂處測得該鼎頂的仰角為，則小明估算該標(biāo)志性建筑物的高度為　　．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）若復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位）．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍．18．（12分）如圖，三個(gè)全等的矩形相接，且，．（1）若，求的值；（2）已知，求的值．19．（12分）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，和交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用和表示向量，；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．20．（12分）的面積為，，，的對邊分別為，，且，﹣___．（1）求；（2）若，求．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．21．（12分）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，向量與垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．22．（12分）如圖，已知扇形是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計(jì)方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個(gè)頂點(diǎn)在弧上，另一頂點(diǎn)在半徑上，且，求周長的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個(gè)頂點(diǎn)在弧上，另兩個(gè)頂點(diǎn)、在半徑、上，且，，求花圃面積的最大值． 
2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)普通班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】已知等式利用正弦定理化簡，求出三邊之比，設(shè)出三邊長，利用余弦定理表示出，將表示出的三邊長代入求出的值，即可確定出的度數(shù)．【解答】解：在中，已知，，設(shè)，，，，由余弦定理得：，因?yàn)?/span>為三角形內(nèi)角，則，故選：．2．【分析】根據(jù)，，三點(diǎn)共線，得到，即可求解結(jié)論．【解答】解：，，，，，三點(diǎn)共線，，即，，解得．故選：．3．【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及兩角和的余弦公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，且為銳角，所以，則．故選：．4．【分析】利用歐拉公式，化簡求解復(fù)數(shù)，推出虛部即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)．所以復(fù)數(shù)的虛部為1．故選：．5．【分析】利用向量夾角為鈍角，得到數(shù)量積小于0并且排除反向的情況．【解答】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，若與的夾角為鈍角，并且，即且，解得且；故選：．6．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，，則由，得，，則向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，則角形一定是直角三角形，故選：．7．【分析】利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：函數(shù)，所以的最大值為2，所以不正確；時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以不正確；由，可得，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以正確；時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，所以不正確．故選：．8．【分析】由題意，求出內(nèi)側(cè)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的弧長公式和面積公式求出弓形的面積，再求出以為直徑的半圓的面積，相減即可．【解答】解：設(shè)的外接圓半徑為，則，，又月牙內(nèi)弧所對的圓心角為，內(nèi)弧的弧長，弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，則該月牙形的面積為，故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．【分析】由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：向量，，，，不平行，故排除；，，，故，故正確；，故不正確；，故正確，故選：．10．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式中倍角公式和誘導(dǎo)公式的變換求出結(jié)果．【解答】解：對于，故正確；對于，故錯誤；對于，故正確；對于，故錯誤；故選：．11．【分析】由虛數(shù)與實(shí)數(shù)不能比較大小判定；設(shè)，則，然后逐一核對即可．【解答】解：由虛數(shù)與實(shí)數(shù)不能比較大小判定錯誤；設(shè)，則，則，，，故正確；，故正確；，若，則，故錯誤．故選：．12．【分析】利用已知題意以及向量模，投影向量的求法對應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解即可．【解答】解：選項(xiàng)：因?yàn)?/span>，則，故正確，選項(xiàng)，故正確，選項(xiàng)，故錯誤，選項(xiàng)：設(shè)在上的投影向量為，則，因?yàn)?/span>，所以，則，故正確，故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：，，．故答案為：．14．【分析】由題意利用兩角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，則，故答案為：．15．【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，則由向量共線定理可設(shè)：，，然后根據(jù)平面向量基本定理表示出向量，由此求出，，然后根據(jù)基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，則由向量共線定理可設(shè)：，因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為9，故答案為：9．16．【分析】中求得，在中運(yùn)用正弦定理求得，解求得的值．【解答】解：在中，．在中，，，所以，由正弦定理，，故，在中，．所以小明估算該標(biāo)志性建筑物的高度為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【分析】（1）由實(shí)部為0且虛部不為0求解的值；（2）由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：（1）是純虛數(shù)，，解得，，的值為；（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，解得，，的取值范圍是．18．【分析】（1）由已知先求出，，然后結(jié)合兩角和的正切公式即可求解；（2）由已知，結(jié)合兩角和的正切公式展開即可求解．【解答】解：（1）如圖，若，則，所以，，（2）由圖可得，，因?yàn)?/span>，所以即，化簡得，，所以，所以的值為119．【分析】（1）根據(jù)平面向量加減運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行表示；（2）設(shè)，用表示出，求出的值．【解答】解：（1）；．（2）設(shè)，則，又，，解得．20．【分析】（1）根據(jù)條件可得出，然后可求出，從而求出；（2）若選①，根據(jù)余弦定理即可求出的值；若選②根據(jù)正弦定理即可求出的值；若選③，根據(jù)余弦定理即可求出的值．【解答】解：（1）在中，，，即，且，；（2）若選①：則在中，由余弦定理，得，解得或（舍去），；若選②：，則，由正弦定理，得，解得；若選③：，由余弦定理得，，解得或（舍去），．21．【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由題意可求范圍，進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．【解答】解：（1）因?yàn)橄蛄?/span>與垂直，所以，在中，由正弦定理得，，所以，化簡得，，即，又因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，所以．（2）由（1）可知，因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以，所以，所以，所以所以的取值范圍為．22．【分析】（1）由已知可得，又，設(shè)，，利用正弦定理求得，，作和后利用三角函數(shù)求最值；（2）由已知結(jié)合余弦定理求解的最大值，代入三角形面積公式求解．【解答】解：（1），，，又，設(shè)，，在中，由正弦定理可知，，，，的周長，．化簡得．時(shí)，的周長有最大值為米．答：周長的最大值為米；（2）圖2中與圖1中面積相等，而在中，，，，．由余弦定理知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．平方米．答：花圃面積的最大值為平方米，此時(shí)米．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:17:45；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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