1.下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是( )
A. a=(1,2)，b=(0,0)B. a=(1,2)，b=(?1,?2)
C. a=(1,2)，b=(5,10)D. a=(1,2)，b=(?1,2)
2.下列說法正確的是( )
A. 若兩個(gè)非零向量AB,CD共線，則A，B，C，D必在同一直線上
B. 若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線
C. 若|a|=|b|，則a=b
D. 若非零向量AB與CD是共線向量，則它們的夾角是0°或180°
3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AD上，且是△ABC的重心，則用向量AB,AC表示BG為( )
A. BG=?23AB+13AC
B. BG=?13AB+23AC
C. BG=23AB?13AC
D. BG=23AB+13AC
4.已知a=(?2,?1)，b=(λ,1)，若a與b的夾角α為鈍角，則λ的取值范圍為( )
A. (?12,+∞)B. (?12,2)∪(2,+∞)
C. (?∞,?12)D. (?2,2)
5.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若3OA+OC=3OD+OB，則四邊形ABCD一定是( )
A. 矩形B. 梯形C. 平行四邊形D. 菱形
6.平面上三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，|F1|=1N，|F2|= 2N，F(xiàn)1與F2的夾角為45°，則F3大小為( )
A. 3NB. 4NC. 5ND. 6N
7.正三角形ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，若AB=3，BD=1，則AB?AD=( )
A. 212B. 152C. 132D. 92
8.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=3，AM=2MC，AN=12AB，CN與BM交于點(diǎn)P，則cs∠BPN的值為( )
A. 55B. ?2 55C. ? 55D. 2 55
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.若a=(2,0)，b=(1, 3)，則( )
A. a?b=2B. |a+b|=|a?b|
C. a與b的夾角為π6D. b在a方向上的投影向量為12a
10.對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中錯(cuò)誤的是( )
A. 若A>B，則sinA>sinB
B. 若acsA=bcsB，則△ABC是等腰三角形
C. 若B=30°，c=4，b=3，則符合條件的△ABC有兩個(gè)
D. 若sin2A+sin2B0時(shí)，求|a?b|；
(2)當(dāng)c=(?8,?1),a//(b+c)，求向量a與b的夾角α．
16.(本小題15分)
在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且acsC+ 3asinC=b+c．
(1)求A；
(2)若a=2 3，且b>c，則△ABC的面積為2 3，求b、c．
17.(本小題15分)
在直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量OA=(1,?1)，OB=(3,1)，OC=(m,3)(其中m∈R)，D為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值；
(2)若向量AB與AC的夾角為π4，求m的值；
(3)若四邊形ABCD為矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
18.(本小題17分)
某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距12km的觀測(cè)站A和B，觀測(cè)人員分別在A，B處觀測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得∠BAC=30°，∠ABC=60°，經(jīng)過一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(注：點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi))
(Ⅰ)求△ABD的面積；
(Ⅱ)求點(diǎn)C，D之間的距離．
19.(本小題17分)
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2=ac，b=4，S△ABC=4 3．
(1)求B及a，c；
(2)若線段MN長(zhǎng)為3，其端點(diǎn)分別落在邊AB和AC上，求△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值．
參考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.AD
10.BD
11.ACD
12. 3
13.(5,4)
14.[0,12]
15.解：(1)∵(a+2b)⊥(2a?b)?(a+2b)?(2a?b)=0，
a+2b=(3+2x,0)，2a?b=(6?x,5)，∴(3+2x)(6?x)+0×5=0，解得x=6或?32(舍去)，
a?b=(?3,3)，
∴|a?b|= (?3)2+32=3 2；
(2)∵b+c=(x?8,?2)，a/?/(b+c)，
∴3×(?2)?2(x?8)=0，解得x=5，b=(5,?1)，
∴csα=a?b|a||b|=3×5+2×(?1) 32+22? 52+(?1)2=1313 2= 22，
∵α∈[0,π]，
∴α=π4．
16.解：(1)因?yàn)閍csC+ 3asinC=b+c，
由正弦定理得：sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
所以sinAcsC+ 3sinAsinC=sin(A+C)+sinC，可得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，
又sinC>0，可得 3sinA?csA=1，
所以sin(A?30°)=12，
因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，
所以A=60°；
(2)因?yàn)閍=2 3，且b>c，△ABC的面積為2 3=12bcsinA= 34bc，
所以bc=8，
又由余弦定理可得：a2=b2+c2?2bccsA=(b+c)2?2bc?bc=(b+c)2?24=12，
所以b+c=6，
由bc=8b+c=6，
解得c=2b=4或c=4b=2(舍去)．
17.解：(1)已知向量OA=(1,?1)，OB=(3,1)，OC=(m,3)(其中m∈R)，
所以AB=(2,2)，AC=(m?1,4)，
由于A，B，C三點(diǎn)共線，
故8?2(m?1)=0，解得m=5．
(2)由于AB=(2,2)，AC=(m?1,4)，
故cs=AB?AC|AC||AC|=2(m?1)+8 22+22× (m?1)2+42= 22，
解得m=1；
(3)設(shè)點(diǎn)D(x,y)，
由AB=(2,2)，BC=(m?3,2)，AD=(x?1,y+1)，CD=(x?m,y?3)，
由于四邊形ABCD為矩形，
所以AB⊥BC，
故AB?BC=2(m?3)+4=0，解得m=1；
由AB=?CD，所以x?1=?2y?3=?2，解得x=?1，y=1；
故D(?1,1)．
18.解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，
由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45°=ABsin60°，
所以AD=sin45°sin60°?AB= 22 32×12=4 6(km)，
sin∠BAD=sin75°=sin(45°+30°)= 22( 32+12)= 6+ 24，
所以△ABD的面積為S△ABD=12AB?AD?sin∠BAD=12×12×4 6× 6+ 24=36+12 3(km2)．
(Ⅱ)由∠BAC=30°，∠ABC=60°，得∠CAD=45°,AC=6 3．
在△ACD中由余弦定理，得
CD2=AC2+AD2?2AC?AD?cs∠CAD
=36×3+16×6?2×6 3×4 6× 22=60，
所以CD=2 15(km)．
即點(diǎn)C，D之間的距離為2 15km．
19.解：(1)由b2=ac，b=4，得ac=16，
由余弦定理b2=a2+c2?2accsB，得16=a2+c2?32csB，即a2+c2=16+32csB，
又a2+c2≥2ac=32，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，
∴16+32csB≥32，
∴csB≥12，
又B∈(0,π)，
∴B∈(0,π3]，
∴S△ABC=12acsinB=12×16×sinB=4 3，
∴sinB= 32，
∴B=π3，由等號(hào)成立的條件可知a=c=b=4；
(2)設(shè)△AMN內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r，
則S△AMN=S△OMN+S△AOM+S△AON=12×MN×r+12×AM×r+12×AN×r，
從而r=2S△AMNL△AMN(其中L△AMN指△AMN的周長(zhǎng))，
∴r=2×12AM?AN?sinAMN+AM+AN= 32AM?AN3+AM+AN，
∵M(jìn)N2=AM2+AN2?2AM?ANcsA=AM2+AN2?AM?AN，
∴9=(AM+AN)2?3AM?AN，
∴r= 36?(AM+AN)2?93+AM+AN= 36?(AM+AN?3)，
又(AM+AN2)2≥AM?AN，當(dāng)且僅當(dāng)AM=AN等號(hào)成立，
∴9=(AM+AN)2?3AM?AN≥14(AM+AN)2，
∴AM+AN≤6，
∴r≤ 32，
∴△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值為 32．

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