一、單選題
1．一條直線過兩點，則該直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，由兩點的坐標(biāo)求出直的斜率，即可得，進而分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，
∵直線過兩點，∴直線的斜率，
∴，；
故選：．
2．過點、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)圓心到點、的距離相等可得出關(guān)于實數(shù)的等式，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，由此可得出所求圓的標(biāo)準方程.
【詳解】設(shè)圓心為，由可得，
整理可得，解得，所以圓心，
所求圓的半徑為，因此，所求圓的標(biāo)準方程為.
故選：A.
【點睛】方法點睛：求圓的方程常見的思路與方法如下：
（1）求圓的軌跡方程，直接設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程即可；
（2）根據(jù)幾何意義直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的標(biāo)準方程；
（3）待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準方程或一般方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.
3．若，，、、三點共線，那么（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】由于、、三點共線，所以與共線，
所以，解得，所以，
故選：D
4．若拋物線上一點到其焦點的距離等于4，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由拋物線的定義求解即可
【詳解】因為拋物線的標(biāo)準方程為，其準線方程為，
由于拋物線上一點到其焦點的距離等于4，
由拋物線的定義可得，，解得．
故選：B
5．如圖，在平行六面體中，為的中點，若，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的分解求解.
【詳解】因為,
所以，
故選:B.
6．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點，焦點，均在軸上，的面積為，過點的直線交于點，，且的周長為8．則的標(biāo)準方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知所給的面積公式，結(jié)合橢圓的定義進行求解即可.
【詳解】因為的周長為8，
所以，
由橢圓的定義可知：
所以，
由題意可得：，解得，
因為橢圓的焦點在軸上，所以的標(biāo)準方程為．
故選：C
【點睛】本題考查了橢圓定義的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運算能力.
7．已知直線，其方程分別為：，：，其中，，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】D
【分析】由兩直線平行得出的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】∵直線：和：平行，
∴且它們的斜率相等，在軸上的截距不相等，
∴，且，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
∴的最小值是8.
故選：D.
8．設(shè)是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，先求得焦點到漸近線的距離為，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，結(jié)合和離心率的定義，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，漸近線方程為，
如圖所示，則焦點到漸近線的距離為，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A.

二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．直線可以表示所有的直線
B．直線在軸上的截距為
C．直線關(guān)于軸對稱的直線方程是
D．直線，，，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)點斜式特點即可判斷A，求出直線在軸上的截距即可判斷B，根據(jù)直線關(guān)于軸對稱的特點即可判斷C，根據(jù)直線垂直得到方程即可判斷D.
【詳解】對A，若直線的斜率不存在，則點斜式無法表示，故A錯誤；
對B，令，得，則其在軸上的截距為，故B正確；
對C，直線的斜率為2，令，則，則其經(jīng)過點，
則其關(guān)于軸對稱的直線的斜率為，對稱直線經(jīng)過點，
設(shè)其方程為，代入點有，則對稱直線方程為，故C正確；
對D，由題意得，解得，故D錯誤；
故選：BC.
10．已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點B．圓與圓有兩條公切線
C．直線被圓截得的最短弦長為D．當(dāng)時，圓存在無數(shù)對點關(guān)于直線對稱
【答案】ABD
【分析】求解直線系所過的定點判斷A；判斷兩圓位置關(guān)系判斷B；求解直線被圓截的弦長判斷C，利用圓的圓心與直線的位置關(guān)系判斷D．
【詳解】對A，直線，即，恒過點，所以A正確；
對B，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1，
則兩圓心的距離為，半徑和為3，半徑差為1，則，則兩圓相交，則兩圓有兩條公切線，B正確；
對C，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．
直線，恒過點，代入圓方程得，則定點在圓內(nèi)，則直線與圓必有兩交點，
設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，若要弦長最短，則最大，
而圓心到直線的距離最大值即為圓的圓心到定點的距離為：，
所以直線被圓截得的最短弦長為，所以C不正確；
對D，當(dāng)時，直線方程為：，代入圓心坐標(biāo)，得，
則該直線經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對點關(guān)于直線對稱，所以D正確．
故選：ABD．
11．如圖，在直三棱柱中，，，點，分別是線段，上的動點（不含端點），且.則下列說法正確的是（ ）
A．平面B．點到直線的距離為1
C．異面直線與所成角的正切值為D．直線與平面的夾角的正弦值為
【答案】AD
【分析】證明，再利用線面平行的判定推理判斷A；利用等面積法求出三角形的高判斷B；利用定義求出線線夾角正切值判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出向量夾角余弦值判斷D.
【詳解】對A，在直三棱柱中，由題意易得，
平面，平面，所以平面，A正確；
對B，在中，，在中，斜邊，
邊上的高，則點C1到直線B1C的距離為，B錯誤；
對C，由，得異面直線與所成角為或其補角，
在中，，，則，C錯誤；
對D，以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
設(shè)平面的一個法向量為， 則，令，得，
于是，
所以直線與平面的夾角的正弦值為，故D正確.
故選：AD.
12．已知橢圓與雙曲線，點，，是它們的左、右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．過原點與點的直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點
B．若在橢圓上，的最大值為5
C．若在橢圓上，的最大值為
D．若在雙曲線上，，則
【答案】BCD
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程即可判斷A，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解B，由橢圓定義以及三點共線即可求解C，根據(jù)雙曲線焦點三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理即可求解D.
【詳解】對于A, 過原點與點的直線方程為，將其代入雙曲線方程中得，此方程無解，故直線與雙曲線沒有交點，A錯誤，
對于B，在橢圓上，的最大值為，故B正確，
對于C，,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，且在的兩側(cè)時，等號成立，故C正確，
對于D，由可得，由雙曲線的定義可得，
由余弦定理可得,
故，所以，故，故D正確，
故選：BCD
三、填空題
13．平行線與間的距離為 ．
【答案】/
【分析】利用平行線間的距離公式計算可得答案.
【詳解】將方程兩邊乘以2，得，
所以兩平行線間的距離為．
故答案為：．
14．是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則 .
【答案】9
【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.
【詳解】是雙曲線上一點，所以，所以，
由雙曲線定義可知，
所以或者，又，所以，
故答案為：9.
15．已知橢圓，過點的直線與橢圓交于，兩點，且滿足，則直線的斜率為 .
【答案】
【分析】由，得點為線段的中點，然后利用點差法可求出直線的斜率.
【詳解】因為，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個交點，
因為，即點為線段的中點，
設(shè),，,，顯然，則，，
，可得，
則，即，
所以，即直線的斜率，
故答案為：
16．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上任意一點關(guān)于原點的對稱點都不在圓上，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】求出圓關(guān)于原點的對稱圓圓的方程，分析可知，圓與無公共點，可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.
【詳解】圓關(guān)于原點的對稱圓為，
圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
所以，，
由已知得，圓與無公共點，所以或，
所以或，解得或，
又，所以．
故答案為：.
四、解答題
17．已知三個頂點坐標(biāo)分別為，，.
(1)試判斷的形狀；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
【答案】(1)是以為直角的等腰直角三角形
(2)
【分析】（1）根據(jù)斜率公式與兩點間的距離公式求出，，，，即可判斷；
（2）求出、的中點的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求出，最后由點斜式求出直線方程，再化為一般式即可.
【詳解】（1）因為，，，
所以的斜率，，
的斜率，，
則，
所以且，所以是以為直角的等腰直角三角形；
（2）易求中點坐標(biāo)，所以直線的斜率，
邊上的中線為，化為一般式為．
18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上靠近點的三等分點.
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明CD⊥平面PAD，則有AF⊥CD，再證明AF⊥平面PCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．
【詳解】（1）底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為，點是棱的中點，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以，
所以點到平面的距離為．
19．已知點是拋物線上的動點，過點向軸作垂線段，垂足為，垂線段中點為，設(shè)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)過點且斜率為1的直線交曲線于，兩點，為坐標(biāo)原點，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)即可將代入求解，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可由面積公式求解.
【詳解】（1）設(shè)，則，
由于在拋物線上，所以，即
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為
聯(lián)立，設(shè)，
則，
因此
∴面積為
20．在四棱錐中，底面為直角梯形，側(cè)面為等邊三角形，，，側(cè)面底面，，且，分別為，的中點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.
【詳解】（1）取中點，連接，
為的中點，
，又，
，
四邊形為平行四邊形：，
平面平面，
平面.
（2）因為平面平面，平面平面平面，平面，
取中點，連接，則平面，
又因為三角形是等邊三角形，所以，
則如圖以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
又因為，
，
，設(shè)平面的一個法向量，，
則，取，則，
平面的一個法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
,平面與平面所成的夾角的余弦為.
21．已知點，圓的半徑為1.
(1)若圓的圓心坐標(biāo)為，過點作圓的切線，求此切線的方程；
(2)若圓的圓心在直線上，且圓上存在點，使，為坐標(biāo)原點，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離分直線斜率存在與不存在求解；
（2）由條件求出M所在圓，利用兩圓相交求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題意得圓標(biāo)準方程為，
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，
由，解得：，
當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為，滿足題意；
所以切線的方程為或.
（2）由圓心在直線上，設(shè)，
設(shè)點，由，
得：，
化簡得：，
所以點在以為圓心，2為半徑的圓上.
又點在圓上，所以圓與圓有交點，
則，即，
解得：或.
22．已知橢圓的的焦距為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若不經(jīng)過點的直線與交于兩點，且直線與直線的斜率之和為0，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用橢圓的定義，求，再利用求解；（2）直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示，化簡變形求解的值.
【詳解】（1）由條件可知，并且橢圓的焦點在軸，所以，，則

,
，，
所以橢圓的方程；
（2）設(shè)，
聯(lián)立方程，，
即，
，，
，
即
，

即，
整理得，所以或，
若，則直線過點，不合題意，
所以直線的斜率為定值，該定值是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的等量關(guān)系．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理求出，得，得到所要求的等量關(guān)系．考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．

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