一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐個判斷向量是否共線可得.
【詳解】對于A，，兩向量共線，故A錯誤；
對于B，，兩向量共線，故B錯誤；
對于C，，兩向量共線，故C錯誤；
對于D，設，即，方程組無解，即兩向量不共線，故D正確.
故選：D
2. 下列說法正確的是（ ）
A. 若兩個非零向量共線，則必在同一直線上
B. 若與共線，與共線，則與也共線
C. 若則
D. 若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據(jù)相等向量的概念可以判斷C.
【詳解】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；
若非零向量是共線向量，則未必在同一直線上，A錯；
若，則與共線，與共線，但是與未必共線，B錯；
由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C錯.
故選：D.
3. 在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，則用向量、表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形重心關系有，，即可化簡得解.
【詳解】在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，
所以，
.
故選：B
【點睛】此題考查平面向量的基本運算，根據(jù)加法法則減法法則和數(shù)乘運算進行化簡，熟記常見的幾何結論的向量表示對于解題能夠起到事半功倍的作用.
4. 若向量與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量夾角為鈍角可得兩向量數(shù)量積小于0且不反向，由此列出不等式求解即可.
【詳解】因為向量與的夾角為鈍角，
所以且，即且，
即實數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
5. 在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（ ）
A 矩形B. 梯形C. 平行四邊形D. 菱形
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量判斷四邊形形狀首先考慮判斷對邊的位置與大小關系，根據(jù)變形可得，可得四邊形為梯形.
【詳解】由，得，
所以，
可得且.
所以四邊形一定是梯形．
故選：B
6. 平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，與的夾角為45°，則的大小為（ ）
A. B. 5NC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平衡狀態(tài)得，結合向量的數(shù)量積求解即可．
【詳解】由題意得，，
所以，
故選：C．
7. 正三角形中是線段上的點，，則（ ）
A. B. 6C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的基本運算，結合數(shù)量積公式求解即可.
【詳解】由題意，
.
故選：C
8. 在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將三角形放到直角坐標系當中，利用坐標法求向量夾角，即可求解.
【詳解】解：建立如圖直角坐標系，則,
得,
所以，
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 若向量，則（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量為D. 與的夾角為
【答案】BC
【解析】
【分析】用坐標表示出向量，用模長公式求出模長即可判斷A選項；用向量坐標求向量的數(shù)量積判斷B選項；由向量的投影向量的公式判斷C選項；由坐標求出模長和向量的數(shù)量積，求出向量的夾角判斷D選項.
【詳解】由題，
所以，故A錯；
又，故B正確；
，所以在上的投影向量為：，故C正確；
因為，又，所以，故D錯誤.
故選：BC.
10. 對于，有如下判斷，其中錯誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則是等腰三角形
C. 若，則符合條件的有兩個
D. 若，則是銳角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角形大邊對大角和正弦定理判斷A，利用正弦定理邊化角得出角的關系判斷B，利用正弦定理求出的值判斷C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判斷D.
【詳解】選項A，在中由大邊對大角可知若，則，
又由正弦定理可得，故A說法正確；
選項B，若，則由正弦定理邊化角可得，
即，所以或，整理得或，
所以是等腰三角形或直角三角形，B說法錯誤；
選項C，因為，所以由正弦定理可得，
所以角有兩個值，此時符合條件的有兩個，C說法正確；
選項D，若，則由正弦定理角化邊可得，
所以，即角是鈍角，所以是鈍角三角形，D說法錯誤；
故選：BD
11. 已知點O為所在平面內一點，且則下列選項正確的有（ ）
A. B. 直線過邊的中點
C. D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量間的線性關系及向量數(shù)量積的運算律化簡求值判斷A、D；若得到是△的重心，根據(jù)與不平行、相關三角形面積關系判斷B、C.
【詳解】，則，A正確；
若，則，
所以是△的重心，
直線過中點，而與不平行，
所以直線不過邊的中點，B錯誤；
又，而，，
所以，C正確；
若，且，
所以，
而，D正確.
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：注意向量之間的線性關系，結合向量數(shù)量積的運算律化簡求值；根據(jù)重心的性質求三角形的面積關系.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，是單位向量，與的夾角為，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求，然后再根據(jù)向量的平方等于向量模的平方求.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
13. 已知平面上兩點的坐標分別是為直線上一點，且，則點的坐標為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設，再根據(jù)向量的坐標公式與求解即可.
【詳解】設，由，即，可得，
即，解得，即.
故答案為：
14. 在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則xy的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結合配方法進行求解即可．
【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，

∵，
∴有，
∴，
設，
因此有，
∵，
∴有，而，
∴，
當時，有最大值，當有最小值0，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知向量．
（1）當且時，求；
（2）當，求向量與的夾角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的坐標運算法則先求出和的坐標，再由條件可得，求出x的值，再求的坐標，得出其模長.
（2）由向量的坐標運算法則先求出的坐標，由，求出x的值，然后由向量的夾角公式可得答案.
【小問1詳解】
因為向量
則，，
又因為，則，
可得，解得或，
且，則，則，，
所以.
【小問2詳解】
由，則，
由，可得，解得，即，
可得，，，
則，
且，所以向量與的夾角.
16. 在中，內角、、的對邊分別為、、，且.
（1）求；
（2）若，且，則的面積為，求、.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得，進而可求的值；
（2）由題意利用三角形的面積公式可求，由余弦定理可得，聯(lián)立方程即可求解，的值.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理得：，
所以，
可得：，
因為，所以，
所以，
因為，所以
小問2詳解】
因為，且，則的面積為，
所以，
又由余弦定理可得：，
所以，
由，解得：，或
因為，所以
17. 在直角坐標系中，已知向量，，（其中），為坐標平面內一點.
（1）若，，三點共線，求的值；
（2）若向量與的夾角為，求的值；
（3）若四邊形為矩形，求點坐標.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標運算求出、，利用，，三點共線列方程求出的值．
（2）利用向量的夾角公式即可求解.
（3）由平面向量的坐標運算和矩形的定義，列方程組求出、、的值即可得到的坐標．
【小問1詳解】
向量，，，
所以，，
由，，三點共線知，，
即，解得；
【小問2詳解】
，
解得，
【小問3詳解】
設，
由，，
，
，
若四邊形為矩形，則，
即，解得；
由，得，
解得，
故
18. 某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習性，設立了兩個相距 的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，．（注：點A，B，C，D在同一平面內）
（1）求面積；
（2）求點之間的距離．
【答案】（1）;
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求得的長，利用三角形面積公式，即可求得答案；
（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.
【小問1詳解】
在 中，，，所以．
由正弦定理：，得，
所以,
，
所以 的面積為．
【小問2詳解】
由，，得，且,
．
在 中由余弦定理，得
,
所以．
即點C，D之間的距離為．
19. 已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，.
（1）求B及a，c；
（2）若線段MN長為3，其端點分別落在邊AB和AC上，求△AMN內切圓半徑的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題得，再結合三角形面積公式和余弦定理即可得到答案；
（2）設內切圓的圓心為，半徑為，根據(jù)內切圓半徑公式得，代入數(shù)據(jù)有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
小問1詳解】
由，得，又
，解得
，或
由余弦定理，
得，
當時，，又，所以，，
當時，，矛盾
所以，，
【小問2詳解】
設△內切圓的圓心為，半徑為，由（1）知：△ABC為等邊三角形，
則，
從而（其中指的周長），
，
，
，則
，
又，當且僅當?shù)忍柍闪?br>，
，當且僅當時等號成立，.
即內切圓半徑的最大值為
【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是利用三角形內切圓半徑公式，再結合余弦定理和基本不等式求出的最大值.

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