學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
教材分析
雙紅線是繼橢圓之后學(xué)習(xí)的又一種圓錐曲線，它是解析幾何的重要內(nèi)容之一，無論從知識的角度還是從思想方法的角度雙曲線都與橢圓有類似之處，學(xué)習(xí)雙曲線本身對橢圓知識和方法的鞏固、深化與提高.
學(xué)情分析
在前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法不會陌生，因此本節(jié)課的講解比較少，要引導(dǎo)學(xué)生利用類比的方法發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時安排
2課時
教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
廣州塔是目前世界上已經(jīng)建成的最高的塔桅建筑,廣州塔的兩側(cè)輪廓線是什么圖形？有什么特點(diǎn)？
【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生形成雙曲線形狀的直觀感受.
（二）調(diào)動思維，探究新知
可以看出,廣州塔兩側(cè)的輪廓線是關(guān)于塔中軸對稱的兩條曲線,它們分別從塔的腰部向上下兩個方向延伸,人們稱這樣的曲線為雙曲線．那么,如何畫出雙曲線呢？
我們可以通過一個實驗來完成.
（1）取一條拉鏈,把它拉開分成兩條,將其中一條剪短.把長的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F1出,短的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F2處；
（2）將筆尖放在拉鏈鎖扣M 處,隨著拉鏈的拉開或閉合,筆尖 就畫出一條曲線(圖中右邊的曲線)；
（3）再把拉鏈短的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F1處,長的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F2處.類似地,筆尖可面出另一條曲線(圖中左邊的曲線).
拉鏈?zhǔn)遣豢缮炜s的,筆尖(即點(diǎn)M )在移動過程中,與兩個點(diǎn)F1、F2 的距離之差的絕對值始終保特不變.
一般地,把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.這兩個定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)之間的距離稱為雙曲線的焦距.
【設(shè)計意圖】通過一個試驗展示畫雙曲線的這個過程，為建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程創(chuàng)造條件.
（三）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境與問題
我們利用橢圓的對稱性建立了平面直角坐標(biāo)系,并推導(dǎo)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對于雙曲線,如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求它的方程呢？
【設(shè)計意圖】滲透類比的思想.
（四）調(diào)動思維，探究新知
以經(jīng)過雙曲線兩焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸,以線段F1F2的垂直平分線為y 軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)M(x,y)為雙曲線上的任一點(diǎn),雙曲線的焦距為2c(c>0),則焦點(diǎn)F1 、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)，M與兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為2a，則
，
即 ．
于是有
將上式化簡（類似于求橢圓的方程），得
．
由雙曲線的定義知，2c＞2a，即c＞a，因此．令，則上式變?yōu)?br>兩邊同時除以，得

方程叫做焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)是并且．
如圖所示，如果取過焦點(diǎn)的直線為y軸，線段的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么用類似的方法可以得到雙曲線的方程

方程叫做焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．焦點(diǎn)為字母a，b意義同上，并且．
【設(shè)計意圖】通過把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題從而使幾何問題可以通過代數(shù)運(yùn)算來解決，類比介紹焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（五）鞏固知識，典例練習(xí)
【典例1】根據(jù)條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（1）焦點(diǎn)在x軸上，焦距為14，雙曲線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為6；
（2）焦點(diǎn)為，雙曲線上的一點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
解: （1）因為2c=14,2a=6,即c=7,a=3,所以b2=a2-c2=40.
由于雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由雙曲線的定義知，||MF1|-|MF2||=2a，于是有
從而可得即
又因為c=6,所以
由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【典例2】已知橢圓的方程,求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.
（1）；（2）
解:（1）因為含x項的系數(shù)為正數(shù),所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,并且a2=32,b2=4.于是有
c2=a2+b2=32+4=36，
從而可得 c=6,2c=12.
所以,雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-6,0)、(6,0),焦距為12.
（2）將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,為
因為含y的項的系數(shù)為正數(shù),所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且a2=8,b2=8.于是有 c2=a2+b2=16，
從而可得 c=4,2c=8.
所以,雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-4)、(0,4),焦距為8.
溫馨提示
要判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上,可將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.然后,觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含x項與含y項的符號,哪項的符號為正,焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上.
【設(shè)計意圖】例1讓學(xué)生理解求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是求出和，例2是求焦點(diǎn)和焦距的問題，引導(dǎo)學(xué)生先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
【鞏固1】已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為14，雙曲線上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差的絕對值等于8，請寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以
由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【鞏固2】求下列雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距：
（1）； （2）．
分析 解題關(guān)鍵是判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上．方法是觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含x項與含y項的符號，如果含x項（或含y項）的系數(shù)為正數(shù)，那么焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上，并且該項的分母為．
解 （1）因為含x項的系數(shù)為正數(shù)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，并且．故
．
因此 ．
所以，雙曲線的焦點(diǎn)為，焦距為26．
（2）將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為
．
因為含y項的系數(shù)為正數(shù)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且．故
因此
所以，雙曲線的焦點(diǎn)為焦距為
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（五）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1. 根據(jù)條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)為；
（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)為．
2．已知雙曲線的焦距為，雙曲線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離距離之差的絕對值等于4，.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．已知雙曲線的方程，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.
(1) ；
(2) ．
4．求證：雙曲線與橢圓.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)3.2.1；
(2)書面作業(yè)： P76習(xí)題3.2的1，2，（1），（2）.
（八）教學(xué)反思

知識
能力與素養(yǎng)
理解雙曲線的定義，理解焦點(diǎn)在x軸與焦點(diǎn)在y軸的兩種雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，理解“解析法”的應(yīng)用，從而學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提高．
重點(diǎn)
難點(diǎn)
雙曲線兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程．
標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

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3.2.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊一 上冊

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