新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題06 數(shù)列中的恒成立和存在性問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．設(shè)為正項數(shù)列的前項和，滿足.
（1）求的通項公式；
（2）若不等式對任意正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求證：.
【答案】（1）（2）（3）證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)題中的關(guān)系式，利用得出數(shù)列是等差數(shù)列，可得通項公式；
（2）時，求出的范圍，接著證明的此范圍對的正整數(shù)都成立，首先由，放縮，然后結(jié)合二項式定理證明結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式，求出變形并放縮
，再由當(dāng)時，放縮裂項相消法求和證明結(jié)論.
【詳解】（1）∵，
∴，
兩式相減，得，
即，
∴，
∵為正項數(shù)列，∴，
又由，解得或（舍去），
∴.
（2），即，
當(dāng)時，，
解得且，
下面證明當(dāng)且時，對任意正整數(shù)都成立，
當(dāng)時，，
∴，
又當(dāng)時，上式顯然成立，
故只要證明對任意正整數(shù)都成立即可，
又，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）證明：由題得，
∵ ，
∴.
當(dāng)時，
，
∴ .
【點(diǎn)睛】本題考查已知與關(guān)系求數(shù)列的通項公式，考查不等式恒成立問題以及不等式的證明．在利用時，注意，數(shù)列不等式恒成立，可從特殊值出發(fā)，如時成立得出參數(shù)的范圍，然后再考慮它對時是否也成立．不等式的證明，根據(jù)不等式的形式首先考慮能否求和，.由于是不等式可能考慮用放縮法，適當(dāng)放縮后再求和．本題對學(xué)生分析問題解決問題的能力，邏輯思維能力要求較高，屬于困難題．
2．已知數(shù)列是首項的等差數(shù)列，設(shè).
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前項和；
(3)在（2）的條件下，記，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)證明見解析.
(2)
(3)11
【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式，可得公差，進(jìn)而得到，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義，即可得證；
(2) 由（1）得，再利用裂項相消法求和即可；
(3)根據(jù)題意，求得，設(shè)，判斷其為單調(diào)遞增，求得最小值為，再由恒成立思想可得的范圍，進(jìn)而得到整數(shù)的最大值.
【詳解】（1）解：由及，得，所以.
因為，所以，即.
則，所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列.
（2）解：由（1）得，所以
（3）解：因為，
則問題轉(zhuǎn)化為對任意正整數(shù)使不等式恒成立.
設(shè)，則
.
所以，故的最小值是.
由，所以，則整數(shù)可取最大值為11.
3．已知數(shù)列的前n項和為，滿足：
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，令，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用關(guān)系可得，即有，將兩式相減并整理有，即可證結(jié)論.
（2）由（1）結(jié)論及題設(shè)可得，令、，應(yīng)用作差法比較它們的大小，即可確定的單調(diào)性并求其最大值，結(jié)合恒成立求m的取值范圍．
【詳解】（1）由題設(shè)，，則，
所以，整理得，則，
所以，即，，
所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，得證.
（2）由，可得，又，結(jié)合（1）結(jié)論知：公差，
所以，故，則，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上遞減，則，
要使對任意恒成立，即，
所以.
4．設(shè)．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）證明：對一切正整數(shù)n，都有．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而有當(dāng)時，恒成立；
(2) 放縮法構(gòu)造數(shù)列不等式，再利用裂項相消法證明不等式.
【詳解】(1)由題知，，，故單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，有恒成立.
(2)由(1)知當(dāng)時，，取
有，
故
即待證不等式成立．
5．已知等差數(shù)列滿足其中為的前項和，遞增的等比數(shù)列滿足：，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）設(shè)的前項和為，求
（3）設(shè)，的前n項和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】(1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和求和公式可得，從而可求出首項和公差，即可求出通項公式；設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求出公比，從而可求出的通項公式.
(2)由錯位相減法即可求出前項和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂項相消法可得，由恒成立可得恒成立，結(jié)合的單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)的最大值.
【詳解】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，，.
設(shè)等比數(shù)列公比為（其中），因為，
由，可得，解得或（舍去）；
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）得，
則①．
②
由①減去②得，
則，所以的前n項和.
（3）由(1)可知，，
則
恒成立，恒成立，
單調(diào)遞增，時，，
最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:
常見數(shù)列求和的方法有：公式法；裂項相消法；錯位相減法；分組求和法等.
6．已知數(shù)列中，，點(diǎn) ，在直線上.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，Sn為數(shù)列的前 n項和，試問：是否存在關(guān)于n的整式，使得恒成立，若存在，寫出的表達(dá)式，并加以證明，若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，，證明見解析.
【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得與的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可得，進(jìn)而可求得的表示式，化簡整理，可得，利用累加法，即可求得的表達(dá)式，結(jié)合題意，即可得答案.
【詳解】（1）因為點(diǎn)，在直線上，
所以，即，且，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2），所以，
所以，即，
所以，
，
所以
所以，
根據(jù)題意恒成立，
所以，
所以存在關(guān)于n的整式，使得恒成立，
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)表達(dá)式，整理得與的關(guān)系，再利用累加法求解，若出現(xiàn)（關(guān)于n的表達(dá)式）時，采用累加法求通項，若出現(xiàn)（關(guān)于n的表達(dá)式）時，采用累乘法求通項，考查計算化簡的能力，屬中檔題.
7．記為數(shù)列的前項和，已知．證明：
(1)為等比數(shù)列；
(2)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)遞推式可得，即，由等比數(shù)列定義證明即可；
（2）由（1）求得，進(jìn)而求出的通項公式，結(jié)合，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由已知得①，②，
②①：，即，
特別地，①中令得：，即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）知：，所以，
故，注意到，
顯然時成立；
當(dāng)時，，
所以得證.
8．已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)求；
(2)若，對任意的，，，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用和的關(guān)系可得，進(jìn)而即得；
（2）由題可得，令，然后求數(shù)列的最小值即得.
【詳解】（1）由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
即；
（2）因為，，
當(dāng)時，，
令，則
當(dāng)時，
，
所以，當(dāng)時，，
所以的最小值為，
所以.
9．已知等差數(shù)列滿足：的前n項和為．
(1)求及；
(2)令，若對于任意，數(shù)列的前n項和恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1) ；
(2).
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可列出方程組，即可求得d，進(jìn)而求得答案；
（2）利用裂項求和法求得數(shù)列的前n項和，說明，結(jié)合數(shù)列不等式恒成立可求得參數(shù)的范圍.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由題設(shè)可得：，解得：，
∴ ，；
（2）由（1）可得：，
∴
，
又恒成立，
∴，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[，+∞）．
10．已知數(shù)列的前n項和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若，對任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即得；
（2）利用錯位相減法求出，然后分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，由有，兩式相減可得，
即是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以．
（2）由得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以．
由，得，
即恒成立．
當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，不等式恒成立；
當(dāng)時，，所以；
綜上，．
11．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，；，
(2) ．
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求得公比，再由求解；進(jìn)而由求解.
（2）由對于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.
【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，顯然，所以，解得，
由于，所以的通項公式為，；
所以，，
所以的通項公式為，．
（2）因為恒成立，即對于任意的恒成立．
令，，
則，
當(dāng)時，所以，即的最小值為，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
12．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列，其前n項和為，且，對任意恒成立.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式即可求解；
（2）利用（1）得出的通項公式，再利用錯位相減法求出，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為則
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以數(shù)列的通項公式為，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化簡得：，
又因為，即
即，
（i）當(dāng)時，，所以；
（ii）當(dāng)時，，
令，則
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時，取得最小值為
，即,
所以的取值范圍是.
13．已知數(shù)列、滿足，，，﹒
(1)求證：為等差數(shù)列，并求通項公式；
(2)若，記前n項和為，對任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．
【答案】(1)證明見解析；.
(2).
【分析】(1)證明為常數(shù)即可證明為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求通項公式，于是可求通項公式；
(2)根據(jù)累乘法求，再求出，根據(jù)通項公式的特征，采用錯位相減法求其前n項和，求單調(diào)性并求其范圍即可求λ的范圍.
【詳解】（1）∵，，兩邊同除以得：
，從而，，
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，
∴；
（2）由，，
∴，∴，
∴，
∴，
，
兩式相減得，，
∴
＝，
中每一項，為遞增數(shù)列，∴，
∵，∴，
，
.
14．已知正項數(shù)列的首項，前n項和滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前n項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）化簡數(shù)列的遞推公式，得，進(jìn)而可求解數(shù)列的通項公式；
（2）利用裂項法，求解，列出不等式，即求.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
∴，即，又，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，
又由（），
當(dāng)時，也適合，
所以.
（2）∵，
∴，
又∵對任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.
即所求實(shí)數(shù)的范圍是或.
15．已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用公式，時，，代入化簡得到數(shù)列的遞推公式，即可求解通項公式；
（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，由，得，
兩式相減可得，，又，
，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，
因此，的通項公式為；
（2）證明：由可知，所以，
，
因為恒成立，所以，
又因為，所以單調(diào)遞增，所以，
綜上可得．
16．函數(shù)滿足，，且與直線相切.
(1)求實(shí)數(shù)，，的值；
(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，可推得，又已知切線方程，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可解得的值；
（2）由已知可得，，進(jìn)而可推得是等差數(shù)列，求出，.則原不等式可轉(zhuǎn)化為，對是奇數(shù)以及偶數(shù)進(jìn)行討論，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為，，
，
又，，
所以有，解得，所以，.
因為函數(shù)與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，
則，，
即，解得，所以，，，，
所以.
（2）由（1）知，，即.
當(dāng)時，，解得或（舍去）；
當(dāng)時，有，，
所以有，整理可得，
因為，所以，即.
所以，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
所以，，.
則不等式對于任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為
，
即對于任意恒成立.
①當(dāng)為偶數(shù)時，即有恒成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時有；
②當(dāng)為奇數(shù)時，即有恒成立，
令，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
又，，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，最小值為.
所以，，即有.
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】在求解數(shù)列不等式恒成立時，常采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞钪档姆椒?，然后結(jié)合不等式或者構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得到數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值.本題將分離后，轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立.考慮到的正負(fù)問題，對分為奇數(shù)和偶數(shù)討論，然后結(jié)合基本不等式以及構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得到的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，最終求得的取值范圍.
17．已知為等差數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，且，，．
(1)求與的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)在（2）的條件下，若對任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；
（2）采用分組求和的方式，根據(jù)等比數(shù)列求和公式和裂項相消法可求得；
（3）將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用作差的方式可求得的單調(diào)性，得到，由此可得的取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，又，，
，.
（2）由（1）得：，
.
（3）由（2）得：對任意的，恒成立，
對任意的，恒成立；
令，則；
則當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．已知數(shù)列的前項和為，滿足：.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，數(shù)列滿足，記為的前項和，求證：；
(3)在（2）的前提下，記，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由條件可得、，然后可得、，兩式相減即可證明；
（2）首先可求出、，然后計算出即可；
（3）首先可得，然后利用裂項求和法求出，然后求出，然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，，
兩式相減可得，即
由可得，
兩式相減可得
化簡可得，所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）由可得，可得，
因為，所以，
因為數(shù)列滿足，
所以，所以，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，
因為，所以，，
所以，
所以，即，
（3）由（2）可得；
由已知
可得
設(shè)的前項和中，奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
所以
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以
由，
得，
即，
當(dāng)為偶數(shù)時，對一切偶數(shù)成立，所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，對一切奇數(shù)成立，所以此時，
故對一切恒成立，則.
19．設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…，在和之間插入n個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，求；
(3)對于（2）中求得的，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，所有的正整數(shù)對為及.
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的通項公式基本量計算求出d＝1，從而，再由，推導(dǎo)出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此求出通項公式；
（2）由題意推導(dǎo)出公差，從而，利用公式得到，故，由此利用錯位相減法能求出；
（3）由及第（2）問得到，求出當(dāng)，n＝2，n＝3時的值，再利用導(dǎo)函數(shù)證明當(dāng) 時，有，即證，由此能求出所有的正整數(shù)對．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，（d≠0），
則由，得，
因為，所以，
所以；
由，①
當(dāng)時，，②
①﹣②，得，
∴，
又當(dāng)時，，解得：，
∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴．
（2）在和之間插入n個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
∴，
則，
∴，
∴，①
則，②
①﹣②得，
∴．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使成立，
．
，
當(dāng)時，不合題意，
當(dāng)n＝2時，，
當(dāng)n＝3時，，
下證，當(dāng) 時，有，即證，
設(shè)，，則，
∴在上單調(diào)遞增，
故時，，
∴，
∴時，m不是整數(shù)，
∴所有的正整數(shù)對為及.
【點(diǎn)睛】本題第二問和第三問有難度，第二問需要先理解題意，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列通項公式和求和公式，結(jié)合錯位相減法進(jìn)行求解，而第三問則是數(shù)列與函數(shù)的綜合，需要利用導(dǎo)函數(shù)來證明當(dāng) 時，有，即證，屬于綜合題，難度大．
20．已知數(shù)列的前n項和為，且，，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】(1) 要證明數(shù)列是等比數(shù)列，需要把已知遞推公式變形為等于非零常數(shù)，求出數(shù)列的通項，再利用累加法求的通項公式.
(2) 求出，不等式等價于恒成立，令，利用單調(diào)性求的最大值即可.
【詳解】（1）由，得，則，
又，則，
所以，數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
則，則時，
．
當(dāng)時，滿足上式，所以，的通項公式為．
（2）由（1）可知，數(shù)列的首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，
由，即恒成立．
令，則，
則時，，即數(shù)列遞增；
當(dāng)時，，即數(shù)列遞減，
則的最大值為，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
21．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，運(yùn)用倒序相加求和，可得所求通項公式；
（2）由（1）可得的通項公式，由數(shù)列的裂項相消求和可得，再由參數(shù)分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.
【詳解】（1）因為,
由①,
則②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，則時，，
所以

.
又由對一切恒成立,可得恒成立,
即有對一切恒成立.
當(dāng)時,取得最大值，所以；
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
22．若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
(1)求和的通項公式；
(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．
(3)記的前項和為，且滿足對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.，，
，分別利用“ ”法和“ ”法求解.
（2）由（1）知當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，然后分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，然后相加即可.
(3)把恒成立轉(zhuǎn)化為求最大值問題,作差比較大小,應(yīng)用單調(diào)求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.
因為，，
所以，
解得d=1.
所以的通項公式為.
由，
又，得，
解得，
所以的通項公式為.
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
對任意的正整數(shù)n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以數(shù)列的前2n項和為.
（3）因為,且,
而,故
即,可得,對于恒成立
令,
當(dāng)時, ,即,所以,
當(dāng)時, ,即
所以,所以
23．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且為等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
【分析】（1）由題設(shè)且，應(yīng)用關(guān)系求數(shù)列通項公式；
（2）由（1）知，構(gòu)造且并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性判斷是否存在最大值，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)且，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，則；
由，故，
所以是首項、公差均為1的等差數(shù)列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，則，
若，即，則，
在上，遞增，上，遞減，
所以在有最大值，又，
對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
綜上，，故存在或使恒成立.
24．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設(shè)其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．
【答案】(1)（）
(2)5
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合條件是與的等比中項得到，聯(lián)立條件得到和，根據(jù)題目條件和等比數(shù)列的通項公式即可求解.
（2）根據(jù)（1）求得，利用錯位相減求和得到，從而得到，通過函數(shù)法判斷出是單調(diào)遞減數(shù)列，即可求解.
【詳解】（1）因為是與的等比中項，所以，
則由題意得：，即，解得：或，
因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，，
所以，
故數(shù)列的通項公式為（）.
（2）由（1）得：（），
則
，①
即，②
則得：
即（），
所以（），
設(shè)，則（），
因為在上單調(diào)遞減，
所以是單調(diào)遞減數(shù)列，
又有，，
所以當(dāng)且時，成立，
故使成立的最大正整數(shù)的值為.
25．已知數(shù)列的前n項和為
(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
(2)，求λ的最大值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由得的遞推關(guān)系，變形后由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求得，從而代入已知等式后求得得，然后化簡不等式并分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得結(jié)論．
【詳解】（1），∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以數(shù)列是以為首項和公差的等差數(shù)；
（2）由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又滿足上式，
∴，
因為，
所以，
所以，
記，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，
所以，
所以，
所以的最大值為．
26．已知函數(shù)，其中
(1)當(dāng)時，求；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和為，求使得恒成立的m的最小整數(shù).
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用等差數(shù)列前n項和公式即可求得；
（2）先利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和，再依據(jù)題給條件列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得m的最小整數(shù)
【詳解】（1）由，可得
則當(dāng)時，
（2）由（1）可得，當(dāng)時，
則當(dāng)時，
，
則當(dāng)時，數(shù)列的前n項和
又當(dāng)時，，，
由恒成立，可得，解之得
則當(dāng)時，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2
當(dāng)時，成立，
綜上，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2
27．已知數(shù)列的前項和為
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，；
(2)或.
【分析】（1）由遞推關(guān)系變形可得，結(jié)合等差數(shù)列定義證明結(jié)論，利用等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)和的關(guān)系求數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）計算，判斷數(shù)列的單調(diào)性，令的最大值小于即可求解.
【詳解】（1）由得，又，
所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，
，即
當(dāng)時，
，
又不滿足上式，
所以；
（2）由（1）知，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，即
所以的最大值為，
依題意，即，
解得或.
28．已知為等差數(shù)列，公差為d，是公比為2的等比數(shù)列，且，．
(1)證明：；
(2)求集合的子集個數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)128個
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)題意化簡可得，從而可求出集合中的元素個數(shù)，進(jìn)而可求解其子集個數(shù)．
【詳解】（1）由題意知，即，消去得，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，，
所以，
，，
所以，即，
所以，，故可取，解得，
故集合中共有7個元素，
所以集合的子集個數(shù)為個．
29．已知數(shù)列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項和，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由數(shù)列的遞推公式，利用累乘法求數(shù)列通項；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，可得結(jié)論.
【詳解】（1）由及，得，
所以，
當(dāng)時，有
．
當(dāng)時，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以，
兩式相減，得
，
所以．
因為，所以。
30．已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用的關(guān)系結(jié)合遞推式可得，分奇偶項計算即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論利用遞推關(guān)系可得，再利用，放縮求證不等式即可.
【詳解】（1）由題意得，所以，
所以，所以，①
因此．②
由②-①，得，即，
因此或．
因為，所以，所以，
所以數(shù)列的奇偶項分別成等差數(shù)列，且公差為2．
又因為，得，
所以，．所以．
（2）證明：由（1）知，
可得，
兩式相減，得，即．
又，所以．又，
所以，
所以．
31．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列（公比不為1），的前n項和，且，
(1)求數(shù)列：，的通項公式；
(2)設(shè)的前項和為.對于任意正整數(shù)，當(dāng)恒成立時，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)出公比和公差，得到方程組，求出公差和公比，得到，的通項公式；
（2）求出的通項公式并得到為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式得到，求出的最小值.
【詳解】（1）設(shè)的公差為的公比為，
由已知可得，且，
解得
所以的通項公式為，
的通項公式為.
（2）由（1）知，則，
所以為等比數(shù)列，公比為，
所以.
因為恒成立，所以，
而，
所以，
所以的最小值為.
32．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，，求滿足條件的的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比，求得，再由，求得或者，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，進(jìn)而得到的最小值.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比，所以，
可得，整理得，
又因為，所以，
因為，所以，
可得，解得或者，
當(dāng)時，，不合題意舍去；
當(dāng)時，，則，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）解：由，可得，
所以，
當(dāng)時，
，
令，可得，
即，解得，所以的最小值為.
33．已知數(shù)列滿足，且
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）通過構(gòu)造得，則可得到的通項；
（2）利用等比數(shù)列求和公式得，通過作差得，，則得到是一個增數(shù)列，計算即可得到答案.
【詳解】（1）因為
所以，，，所以．
又因為，所以，所以．
因為，所以，
又因為，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因為，所以，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，
，
所以是一個增數(shù)列，
因為，，
所以滿足題意的n的最小值是20．
34．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求的值；
(2)（i）當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值；
（ii）記，，且.試比較與的大小并說明理由.
【答案】(1)或
(2)（i）（ii），證明理由見解析.
【分析】（1）求出切線，令切線過原點(diǎn)或切線斜率為即可；
（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)，求出的最小值，令求解即可；
（ii）分別對和取對數(shù)，對進(jìn)行放縮，再利用（i）的結(jié)論進(jìn)行累加和裂項求和，證明即可.
【詳解】（1）由已知，定義域為，
∵，
∴，∴切點(diǎn)即，
又∵，
∴由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
整理得，.
若切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則
①當(dāng)切線過原點(diǎn)時，，解得，切線方程為，
②當(dāng)切線不過原點(diǎn)時，斜線斜率，解得，切線方程為.
∴的值為或.
（2）（i）由（1）知，，令，解得，，
若為正整數(shù)，則，
∴當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，的極小值，也是最小值為，
若當(dāng)時，恒成立，則的最小值，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，單調(diào)遞減，
又∵，，
∴使的正整數(shù)的最大值為，
∴當(dāng)時，使恒成立的正整數(shù)的最大值為.
（ii），理由證明如下：
∵當(dāng)且時，
∴
（），
又∵，∴，
①當(dāng)時，，
②當(dāng)時，
由（i）知，，恒成立，，
∴當(dāng)時，，，即恒成立，
∴，
∴
，
綜上所述，當(dāng)且時，，即有.
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題用到了兩次放縮，一次是對的放縮，一次是應(yīng)用題中證明結(jié)論進(jìn)行放縮后裂項求和，如果直接進(jìn)行第二次放縮，再求和時會發(fā)現(xiàn)放縮過度，導(dǎo)致無法證明，因此對進(jìn)行了分類討論，當(dāng)時，不進(jìn)行第二次放縮，當(dāng)時，再進(jìn)行二次放縮裂項求和.
35．設(shè)對任意，數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．
(1)證明：單調(diào)遞增，且；
(2)記，證明：存在常數(shù)，使得．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由可證明單調(diào)性，由反證法即可證明，
（2）由裂項求和即可求解.
【詳解】（1）證明：由于，則，
所以，即單調(diào)遞增．
假設(shè)存在，使得，則，
所以．
不妨取，即，即，則，這與任意，恒成立相矛盾，故假設(shè)不成立，所以．
（2）由（1）有，又，所以
．
于是，
故可取，即有．
36．設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:對每個，存在唯一的，滿足；
(3)證明:對于任意，由（2）中構(gòu)成的數(shù)列滿足.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后求解導(dǎo)數(shù)值即切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）根據(jù)，得函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可證；
（3）由在上單調(diào)遞增，可得，再減變形化簡，利用放縮法得證.
【詳解】（1），所以，
所以，又，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）對每個，當(dāng)時，
由函數(shù)，
可得，故函數(shù)在上是增函數(shù).
由于，當(dāng)時，，即.
又，
根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，可得存在唯一的，滿足；
（3）對于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列，當(dāng)時，
，.
由在上單調(diào)遞增，可得，即，故數(shù)列為減數(shù)列，
即對任意的，
由于（1），
（2）
用（1）減去（2）并移項，利用，可得
.
綜上可得，對于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列滿足.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
37．已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩式相減可得結(jié)果；
（2）將不等式恒成立化為對恒成立，再利用數(shù)列的單調(diào)性求出右邊的最小值即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，得，
當(dāng)時，，
整理得，即，
又時，也適合上式，
故.
（2）若不等式對恒成立，即對恒成立，
即對恒成立，
令，
則

，
則為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最小值，
所以.
38．已知正項數(shù)列的前項和滿足關(guān)系式.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，得到，進(jìn)而得到，得到為等差數(shù)列，求出通項公式；
（2）由得到，
當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時，，當(dāng)（且）時，，，故當(dāng)時，有.
【詳解】（1）由得，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
，
當(dāng)時，由，得，也滿足上式.
.
當(dāng)時，，則，
又，所以，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，.
（2）證明：由（1）得，
，
注意到當(dāng)時，
.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，顯然成立.
當(dāng)時，，
從而時，.
當(dāng)（且）時，，
.
綜上可知當(dāng)時，有.
【點(diǎn)睛】對于公式，
（1）當(dāng)時，用替換中的得到一個新的關(guān)系式，利用，可得時的表達(dá)式，
（2）當(dāng)時，，求出，
（3）對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫，如果不符合，則要分開寫.
39．圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù).
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）設(shè)出第一行從左到右成等差數(shù)列的公差，再結(jié)合已知列出方程組求解，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式寫出通項作答.
（2）由（1）的信息結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求出，再按奇偶分類討論求解作答.
【詳解】（1）設(shè)，第一行從左到右成等差數(shù)列的公差為，
則，
由，得，即有，
于是，又，解得，因此，，
所以，即.
（2）由（1）知，
當(dāng)為奇數(shù)時，不等式等價于恒成立，而恒成立，則；
當(dāng)為偶數(shù)時, 不等式等價于恒成立，而恒成立，則，
因此, 所以存在，使得恒成立.
40．記為數(shù)列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.
（i）求的通項公式；
（ii）設(shè)，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【分析】（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系式得到，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求解；
（2）（i）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，結(jié)合等比中項公式列出方程，求得，再利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解；
（ii）由（i）得到，利用放縮法和裂項求和，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，可得，
兩式相減可得，即，
則，
又因為，可得，
所以當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為
（2）解：（i）設(shè)數(shù)列的公差為，
因為成等比數(shù)列，且，
所以，
整理得，解得或，
因為，可得，
又因為，所以數(shù)列的通項公式為.
（ii）由（i）知，，
可得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
綜上可得，對于任意，都有.

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