1．恒成立問題的解法
(1)若在區(qū)間D上有最值，
則；；
(2)若能分離常數(shù)，即將問題轉化為（或），
則；.
2．已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法
(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；
(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．
3．利用參變量分離法求解函數(shù)不等式能成立問題，可根據(jù)以下原則進行求解：
(1)，；
(2)，．
1．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，曲線恒與x軸相切于坐標原點．
(1)求常數(shù)b的值；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)求證：恒成立．
【解題思路】（1）求導，由求出答案；
（2）先考慮時，滿足要求，再考慮，參變分離得到，構造函數(shù)，求導得到其單調性，結合洛必達法則求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）推導出要證，只需證，
令，則，構造函數(shù)，，并證明出不等式即可.
【解答過程】（1），
由得，；
（2）當時，，滿足要求，
當時，分離變量可得：，
令，則，
令，，
則，
令，則在上恒成立，
故在上單調遞減，故，
所以在上恒成立，故在上單調遞減，
故，故，
兩邊平方得，故在恒成立，
故在上單調遞增，
故只需證明即可，當時，屬于類型，
由洛必達法則得，
，
故，實數(shù)a的取值范圍是；
（3）要證，
故只需證，
只需證，只需證，
令，則，構造函數(shù)，即可，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
故，所以，
令，則在上恒成立，
故在上單調遞減，
故，所以，
綜上，，證畢.
2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）設函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若當時，不等式恒成立，求m的取值范圍．
【解題思路】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）問題轉化為，當時，原不等式可化為，當時，原不等式可化為，根據(jù)函數(shù)的單調性討論m的取值范圍．
【解答過程】（1）依題意得．
①當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
②當時，令，得，令，得或，
所以在上單調遞減，在和上單調遞增；
③當時在上恒成立，所以在上單調遞增；
④當時，令，得，令，得或，
所以在上單調遞減，在和上單調遞增．
（2）當時，恒成立，則恒成立．
（i）當時，不等式即，滿足條件．
（ii）當時，原不等式可化為，該式對任意恒成立．
設，則．
設，則．
因為，所以，所以在上單調遞增，即在上單調遞增．
又因為，所以是在上的唯一零點，
所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，
所以當時，，所以．
（iii）當時，原不等式可化為，
此時對于（ii）中的函數(shù)，可知當時，，
所以在上單調遞減，且，
所以當時，，即，所以在上單調遞減，
所以當時，，所以．
綜上所述，m的取值范圍是．
3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在上單調遞增；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
【解題思路】（1）由導數(shù)結合正弦函數(shù)的性質得出單調性；
（2）分離參數(shù)得出，利用導數(shù)得出的最值，進而得出實數(shù)k的取值范圍．
【解答過程】（1）證明：∵
當時，
∴成立，所以函數(shù)在上單調遞增．
（2）
當時，不等式顯然成立
當時，，所以
令，
令，
在上成立，
∴在上為單調遞增函數(shù)，
∴
即在上成立，
在上單調遞減，∴
∴．
4．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)求的單調區(qū)間；
(2)若對恒成立，求a的取值范圍；
(3)證明：若在區(qū)間上存在唯一零點，則．
【解題思路】（1）討論、，結合導數(shù)的符號確定單調區(qū)間；
（2）由，討論、研究導數(shù)符號判斷單調性，進而判斷題設不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；
（3）根據(jù)（2）結論及零點存在性確定時在上存在唯一零點，由零點性質及區(qū)間單調性，應用分析法將問題轉化為證在上恒成立，即可證結論.
【解答過程】（1）由題設，
當時，，則在R上遞增；
當時，令，則，
若，則，在上遞減；
若，則，在上遞增；
綜上，時的遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；
時的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）由，
當時，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；
當時，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，
所以在上遞減，在上遞增，要使對恒成立，
所以，只需，
令且，則，即遞減，
所以，故在上不存在；
綜上，
（3）由（2）知：時，在恒有，故不可能有零點；
時，在上遞減，在上遞增，且，
所以上，無零點，即，且趨向于正無窮時趨向正無窮，
所以，在上存在唯一，使，
要證，只需在上恒成立即可，
令，若，則，
令，則，即在上遞增，故，
所以，即在上遞增，故，
所以在上恒成立，得證；
故，得證.
5．（2023·河南鄭州·校考模擬預測）已知函數(shù)，，其中．
(1)若方程在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在，使不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解題思路】（1）由可得，則題意可轉化成在上有唯一的零點,分，和三種情況進行討論分析即可；
（2）題意可轉化成函數(shù)在上的最小值小于零，求導，然后分，和三種情況分析其最小值即可
【解答過程】（1）函數(shù),
因為,所以,即,
令,由題意得只需函數(shù)在上有唯一的零點,
又,其中,
當時,恒成立,單調遞增,又,則函數(shù)在區(qū)間[1,e]上有唯一的零點;
當時,恒成立,單調遞減,又,則函數(shù) 在區(qū)間[1,e]上有唯一的零點;
當時,
當時,單調遞減,又,所以,則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點;
當時,單調遞增,則當時符合題意,即 ,
所以,所以當時,則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點;
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是;
（2）存在,使不等式成立,
等價于在上有解,即函數(shù)在上的最小值小于零,
①時,即時,在[1,e]上單調遞減,所以的最小值為,
由,可得,又,故;
②當時,即時,在[1,e]上單調遞增,所以的最小值為,
由,可得;
③當,即時,
當時,單調遞減,當時,單調遞增，
可得的最小值為,
因為 ,所以,,
所以 不成立,
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
6．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．
(1)若直線是曲線的一條切線，求的值；
(2)若對于任意的，都存在，使成立，求的取值范圍．
【解題思路】(1) 直線是曲線的一條切線,根據(jù)切點在切線和原函數(shù)上，斜率是切點處導數(shù)列式求的值即可；
(2) 把任意的，都存在，使成立轉化，在參數(shù)分離轉化為恒成立,構造函數(shù) ，求出，進而求出 的取值范圍.
【解答過程】（1）由得,
設直線 與曲線的切點為,
則，
解得
因此的值為.
（2）由得
設，則 ,
因為當時，，所以在上單調遞增，
又因為
所以存在 ，使 ,
且當時， ；當時， ；
從而 ，且當 時， ；
當 時， ,所以函數(shù) 在上單調遞減，在上單調遞增，
因此 ,
由，得從而 ,
所以
由對于任意的，都存在，使 成立，
得對于任意的，都有 ,
即不等式在上恒成立，
即不等式 在上恒成立.
設 ，則
因為 ，當 時，;
當 時，;
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以 ，因此 ,
故 的取值范圍為.
7．（2023·陜西銅川·校考一模）已知函數(shù) ．
(1)若存在使得成立，求a的取值范圍；
(2)設函數(shù)有兩個極值點，且，求證：．
【解題思路】（1）分離參數(shù)可得，設，原題可轉化為.求出，構造，可證得恒成立，進而得出單調遞增，即可得出a的取值范圍；
（2）求出.由已知可得，是方程的兩個相異實根，且.求出，整理可得.換元令，，求出，即可得出.
【解答過程】（1）由于，故轉化為．
設，則.
設，則.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上單調遞增；
解可得，，所以在上單調遞減.
故在處有極小值，也是最小值.
所以故在上總成立，所以為單調增函數(shù).
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范圍是．
（2）由已知可得，定義域為，且.
由已知有兩個極值點，
所以方程有兩個相異根，則，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，則，設.
則，
所以在為減函數(shù)，
所以.
即．
8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若對于任意的，都存在，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）求出導函數(shù)，由導數(shù)的正負確定單調性；
（2）利用導數(shù)求出的最小值，問題轉化為不等式恒成立，再用分離參數(shù)法分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的最大值．
【解答過程】（1）由題可知函數(shù)的定義域為.
因為，則.
當時，.
所以當時，，函數(shù)在上單調遞減；
當時，，函數(shù)在上單調遞增.
所以的單調遞增區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為.
（2）因為，所以，
又，所以，故函數(shù)在上單調遞增，
所以.
所以對任意的恒成立，即恒成立.
所以恒成立.
令，則.
令，則，解得.
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；
當時，，所以函數(shù)在上單調遞減.
所以.所以.
所以實數(shù)的取值范圍是.
9．（2023·四川成都·校考模擬預測）已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的極小值；
（2）若上，使得成立，求的取值范圍．
【解題思路】
將參數(shù)值代入表達式，再進行求導，根據(jù)導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調性，進而得到極值；
（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，對函數(shù)求導，研究函數(shù)的單調性，得到最小值即可.
【解答過程】（1）當時，
令0，得
且在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增
所以在時取得極小值為.
（2）由已知：，使得
，即：
設，則只需要函數(shù)在上的最小值小于零．
又，
令，得（舍去）或．
①當，即時，在上單調遞減，
故在上的最小值為，由，可得．
因為，所以．
②當，即時，在上單調遞增，
故在上的最小值為，由，
可得（滿足）．
③當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，故在上的最小值為．
因為，所以，
所以，即，不滿足題意，舍去．
綜上可得或，
所以實數(shù)的取值范圍為．
10．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┮阎瘮?shù)
（I）當?shù)膯握{區(qū)間；
（II）若任意給定的，使得
的取值范圍．
【解題思路】（I）求導，進行求解即可；
（II）分類討論，進行求解即可.
【解答過程】解：（I）由；
由；
故函數(shù)；單調遞減區(qū)間是[0，1].。
（II），
①當時，顯然不可能；
②當時，
又因為當上是減函數(shù)，
對任意，不合題意；
③當時，
又因為當在[0，2]上是增函數(shù)，對任意
，
由題意可得，解得，
綜上，a的取值范圍為
11．（2023春·天津靜海·高二階段練習）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）
(1)求在處的切線方程.
(2)存在成立，求a的取值范圍.
(3)對任意的，存在，有，則的取值范圍.
【解題思路】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）根據(jù)題意可得原題意等價于存在成立，結合存在性問題分析運算；
（3）根據(jù)題意可得：，對于：利用導數(shù)求其最大值，對于：分類討論求其最大值，分析運算即可得結果.
【解答過程】（1）由題意可得：，
則，
即切點坐標，切線斜率，
故在處的切線方程為，即.
（2）∵，則，
∴原題意等價于存在成立，
又∵，則，
∴，
故a的取值范圍為.
（3）因為對任意的，存在，有，所以，
因為，所以，
令，得；令，得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，故，
因為開口向下，對稱軸為，則有：
①當，即時，在上單調遞減，則，
所以，則，
故；
②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，則，
所以，故；
③當，即時，在上單調遞增，則，
所以，故；
綜上所述：，即的取值范圍.
12．（2023·北京·?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)若在處的切線與x軸平行，求a的值；
(2)是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由；
(3)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義可得在處的切線斜率為0，即可得；
（2）利用導函數(shù)對參數(shù)進行分類討論，判斷出函數(shù)的單調性即可求得極值點；
（3）將不等式在區(qū)間上恒成立轉化成函數(shù)在恒成立，利用導數(shù)求得當時，成立，即可求得的取值范圍.
【解答過程】（1）由題可得，，
又切線與x軸平行，所以，即，解得．
經(jīng)檢驗，當時，在處的切線為，滿足題意．
所以.
（2）易知函數(shù)的定義域為，又，
則當時，恒成立，在上單調遞增，無極值點；
當時，令，則，
和隨的變化如下表：
此時，存在極小值點為，無極大值點．
（3）設，則，
當時，，則在上單調遞增，，結論不成立；
當時，令，則，
若，即，和隨的變化如下表:
若在區(qū)間上恒成立，則只需.
設，，則，
所以在上單調遞增，，
因此在上無解；
若，即，，在上單調遞減，
所以恒成立，
綜上所述，a的取值范圍是．
13．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個零點（其中），且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義運算求解；
（2）根據(jù)題意可得有兩個正根，換元令，分析可得有兩個正根，換元令，整理分析可得當時恒成立，利用定點法運算求解.
【解答過程】（1）∵，則，
可得，
即切點坐標為，切線斜率，
故切線方程為，即.
（2）∵，
令，可得，
原題意等價于有兩個正根，
構建，則，
等價于有兩個正根，
∵當時恒成立，
故在上單調遞增，
對于，由，可得，
可得，可得，
令，由，可得，
由，整理可得，
對于，
原題意等價于當時恒成立，
等價于當時恒成立，
構建，則，
注意到，則，解得，
當時，構建，
則當時恒成立，
故在上單調遞增，則，
即當時恒成立，
故在上單調遞增，則，
可知符合題意，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍.
14．（2023·全國·聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)試討論的單調性；
(2)求使得在上恒成立的整數(shù)a的最小值；
(3)若對任意，當，時，均有成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解題思路】（1）求，討論取不同值時的正負，判斷函數(shù)的單調性；（2）由（1）可知時不成立，時借助于的單調性，解的的范圍，求出滿足條件的最小整數(shù)；（3）當時，在上單調遞增，，將原不等式化簡計算可解出的范圍.
【解答過程】（1）由題意知：
且
①當時，恒成立
∴在上單調遞增，在上單調遞減
②當時
恒成立，即在上單調遞增
③當時
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增
④當時
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增
（2）由（1）知：當時，在時單調遞增
又因為時，
所以不符合題意，所以
由（1）知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
∴
可得
所以使得在上恒成立的整數(shù)a的最小值為1
（3）由（1）可知，當時，在上單調遞增
∴
∵恒成立
∴
∴
∵，∴
∵，∴
∴.
15．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┮阎瘮?shù)的圖像與直線相切于點．
(1)求函數(shù)的圖像在點處的切線在x軸上的截距；
(2)求與的函數(shù)關系；
(3)當為函數(shù)的零點時，若對任意，不等式恒成立．求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得在點的切線方程，即可得該切線在x軸上的截距；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)在處的切線方程，再結合已知切線方程，整理聯(lián)立即可得關系；
（3）由已知先確定的值，再根據(jù)含參不等式恒成立，分類討論孤立參數(shù)求新函數(shù)最值，即可得實數(shù)的取值范圍．
【解答過程】（1），，
所以，
函數(shù)在點處的切線方程是：，
令得，所以該切線在x軸上的截距等于．
（2）因為，，函數(shù)的圖像在處的切線方程是：
，即，
兩端乘以b變作：①
又已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是：②．
直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關系為：．
（3）函數(shù)的零點為，時．
對，恒成立，轉化為對，不等式恒成立．
①當時，對恒成立，此時．
②當時，恒成立．
設，求得．
時，由得，由得，
所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．
所以當時，取得極小值，，此時．
③當時，恒成立，
與②同，設，．
令，則，在上單調遞增．
所以，時，得，在上單調遞減．
所以，時，取得最大值，此時．
整合①②③三種情形，得，且等號都取得到．
所以實數(shù)的取值范圍為．
16．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).
(1)判斷的單調性；
(2)設函數(shù)，記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，若對任意的正數(shù)恒成立，求的值.
（參考數(shù)據(jù)：，）
【解題思路】（1）對函數(shù)求導判斷出導函數(shù)恒小于等于0，即可得在上單調遞減；
（2）利用導函數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，并根據(jù)不等式可得出以及的取值范圍，代入整理可得，再根據(jù)函數(shù)的定義和參考數(shù)據(jù)即可求得結果.
【解答過程】（1）函數(shù)的定義域是，
易知恒成立，
∴在上單調遞減.
（2），定義域是，
則，
令，則；令，則.
∴在上單調遞增，在上單調遞減.
∵，，.
∴存在，使，即.
當時，；當或時，
∵
當時，；當或時，.
∴1和是方程的兩個不等實數(shù)根.
∴，由韋達定理.
∴，，∴.
即
∴
又由，∴
又，∴
所以（其中）
由（1）知在區(qū)間上單調遞減
且，.
∴.
即.
17．（2023秋·北京·高二?？计谀┮阎瘮?shù)．
(1)若a＜1且僅存在兩個的整數(shù)，使得，求的取值范圍；
(2)討論零點的個數(shù)；
(3)證明，，有．
【解題思路】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，分析可知滿足不等式的整數(shù)只有兩個，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可；
（2）考查直線與函數(shù)圖象相切時實數(shù)的值，數(shù)形結合可得出實數(shù)在不同取值下函數(shù)的零點個數(shù)；
（3）構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，由以及函數(shù)的單調性可證得所證不等式成立.
【解答過程】（1）解：令，其中，則，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
當時，，此時函數(shù)單調遞增，
所以，，且當時，；當時，.
由可得，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
因為有且只有兩個整數(shù)，使得，
則滿足不等式的整數(shù)只有兩個，所以，
解得.
（2）解：考查當直線與函數(shù)相切時，實數(shù)的值，
設切點坐標為，則切線斜率為，
所求切線方程為，
即，
所以，，解得或，
當時，；當時，.
如下圖所示：當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個公共點；
當或時，直線與函數(shù)的圖象有個公共點；
當或時，直線與函數(shù)的圖象只有個公共點；
當時，直線與函數(shù)的圖象無公共點.
綜上所述，當時，函數(shù)無零點；
當或或時，函數(shù)只有個零點；
當或時，函數(shù)只有個零點.
（3）證明：不妨設，構造函數(shù)，其中，
因為，
，
令，其中，則且不恒為零，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，故，
所以，，故，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
故當時，，
因為，則，
因此，、且，有.
18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)設.
(1)若在上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)求證:;對,使得總成立.
【解題思路】(1)先寫出解析式,根據(jù)在上單調遞增,即在上恒成立,全分離,設新函數(shù),求導求單調性求最值即可;
(2)因為,即只需時,,時,成立即可,取,分時,求導可知在上單增,即得證,時,由(1)結論,在上單調遞增,即時,,對求導后分析的正負,分析范圍即可證明.
【解答過程】（1）解:由題可知
因為在上單調遞增,
所以在上恒成立,
因為時,,
故只要在上恒成立,
令,,
因為,,
令,
即,
解得,
故在上單增,
在上單減,
所以,
即實數(shù)的取值范圍為;
（2）由題意, 因為,
所以只要找出,使得時,;
時,即可,
當時,顯然成立;
現(xiàn)證,滿足題意,
即證當時,若時,成立,
若時,也成立,
當時,
若,則,
所以,
因為,故,
即恒成立,
所以在上單增,
故,
即時,成立;
當時,
若,,
由(1)知當時,
在上單調遞增,
因為等價于,
即等價于,
所以在上單調遞增,
故當時,,
因為當時,
,且,
因為等價于,
所以,
即當時,也有．
綜上,,對,,使得總成立．
19．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，．
(1)求的單調遞增區(qū)間；
(2)對，，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負，即可求得答案;
（2）將化為，則設，則原問題等價于，，利用導數(shù)求函數(shù)最值，即可求得答案.
【解答過程】（1）因為，所以，
當，即時，，單調遞增，
等號僅在時取得，
綜上，的單調遞增區(qū)間是.
（2），即，
設，
則問題等價于，，
由（1）可知，當時，，故在遞增，
∴，
，，
∵時，，，
故當時，，在遞增，，
故，即，
即實數(shù)的取值范圍是.
20．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過原點，求a的值；
(2)設，若對任意，均存在，使得，求a的取值范圍．
【解題思路】（1）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程（含參數(shù)a），由切線過原點求出a的值；
（2）利用導數(shù)研究的單調性并求出上的最大值，由二次函數(shù)性質求在上的最大值，根據(jù)已知不等式恒（能）成立求參數(shù)a的范圍.
【解答過程】（1）由，可得．
因為，，
所以切點坐標為，切線方程為：，
因為切線經(jīng)過，所以，解得．
（2）由題知的定義域為，，
令 ，解得或，
因為所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增區(qū)間為，減區(qū)間為．
因為，所以函數(shù)在區(qū)間的最大值為，
函數(shù)在上單調遞增，故在區(qū)間上，
所以，即，故，
所以的取值范圍是.
21．（2023·全國·高二專題練習）設函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)設，當時，任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性，注意對參數(shù)進行討論.
（2）恒成立與能成立問題都利用函數(shù)的最值來處理.
【解答過程】（1）因為函數(shù)，
所以函數(shù)定義域為： ，且
①當時， ，令，令 ,
所以當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
②當時，，因為，所以當時，
，令 ，令 或，
所以當時，在，上單調遞減，在上單調遞增；
當時， ，
所以當時，在上單調遞減；
當時，，令 ，令
或，
所以當時，在，上單調遞減，在上單調遞增；
③當時，令 ，令 ，
所以當時 在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述，當時 在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減；
當時，在，上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由（1）知當時，在上單調遞增，
所以，所以原問題，
使得成立，使得成立.
設，則，
所以上單調遞減，所以.
所以即.
22．（2023春·云南昆明·高三階段練習）已知函數(shù).
(1)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)當時，設函數(shù)，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【解題思路】（1）利用參變分離法，題目轉化為：在上恒成立，令，然后，問題轉化為求出即可，利用導數(shù)研究，得出，可得實數(shù)k的取值范圍.
（2）當時，，即可根據(jù)題意，可轉化為證明成立，令，利用導數(shù)研究的單調性和取值范圍，即可求出實數(shù)m的取值范圍.
【解答過程】（1）由題意知：在上恒成立，
令，
∴,
令,
,
,
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增,
∴,
;
（2）當時，，若對任意，存在，要使成立，即需成立,
令,
,
∵，,
∴在上恒成立,
即在上為增函數(shù),
∴,
∵存在，要使在時恒成立,
只需或在時恒成立,
由于在時不恒成立,
∴即需在時恒成立,
即需或在時恒成立,
即或在時恒成立,
又由于在時不恒成立,
∴只需在時恒成立,
即需在時恒成立,
∴只需,
即需,
∴若對任意，存在，使得成立時，的取值范圍為.
23．（2023春·重慶璧山·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)
(1)討論的單調區(qū)間；
(2)設，若對任意的，存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）由，按，進行分類討論求解；
（2）由已知，轉化為，由已知得，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
【解答過程】（1），
①當時，由于，故，，
所以的單調遞增區(qū)間為；
②當時，由，得，
在區(qū)間上，在區(qū)間上，
所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
（2）由題目知，只需要即可
又因為，所以只需要即可
即等價于恒成立，
由變量分離可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在為減函數(shù)，為增函數(shù)，
所以，所以.
24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.
(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(2)求的單調區(qū)間；
(3)若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．
【解題思路】（1）由題意可得出，可求得實數(shù)的值；
（2）求出函數(shù)的定義域，求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）分析可知當時，有，分析兩個函數(shù)的單調性，可得出關于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【解答過程】（1）解：，則，其中，
由題意可得，即，解得．
（2）解：函數(shù)的定義域為，則.
①當時，對任意的，，
由，可得；由，可得，
此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
②當時，則，由可得；由可得或.
此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
③當時，對任意的，且不恒為零，
此時函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
④當時，則，由可得；由可得或.
此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
（3）解：對任意，均存在，使得，
所以，當時，有．
在的最大值．
由（2）知：①當時，在上單調遞增，
故，
所以，，解得，此時；
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故，
由，知，所以，，則，則.
綜上所述的取值范圍是．
25．（2023春·四川遂寧·高三階段練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若時，求的單調區(qū)間；
(2)設，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）寫出時函數(shù)表達式，運用導數(shù)與函數(shù)單調性的知識進行求解即可；
（2）將存在性問題轉化為最值問題，原題即求對任意成立的的取值范圍，分類討論的范圍即可求解.
【解答過程】（1）若時，，則，
令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由題意可知，即求成立的的取值范圍，
因為，，所以，
所以（當且僅當時取等號），
即，即求對任意成立的的取值范圍，
當時，，此時在上單調遞增，
且有，不滿足；
當時，易知，顯然成立；
當時，令，得，令，得，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
0
（0，1）
1
（1，2）
2
0
—
0
+
1
極小值
0
（0，1）
1
（1，2）
2
0
+
0
—
1
極大值
x
－
0
＋
極小值
x
－
0
＋
極小值

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