2025年高考數(shù)學(xué)大題題型歸納精講(新高考通用)第06講數(shù)列中的恒成立和存在性問題練習(xí)(學(xué)生版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考法一：數(shù)列中的恒成立問題
滿分秘籍
數(shù)列的“存在性和恒成立問題”的本質(zhì)是不等式的問題，是高考中的熱點問題。在出題上，經(jīng)常巧妙的植入數(shù)列的求和中。因此數(shù)列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進(jìn)行“參變分離”后等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。
例題分析
【例1-1】恒成立與分組求和
已知數(shù)列an的前n項和為Sn，點n,Sn在曲線x2-2x+y=0上.
(1)證明：數(shù)列an為等差數(shù)列；
(2)若bn=-1nan，數(shù)列bn的前n項和Tn滿足mTn-2≤Tn對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的值.
【例1-2】恒成立與裂項相消求和
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足2Sn=an+1，其中Sn是數(shù)列an的前n項和.
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)若對任意n∈N+，且當(dāng)n≥2時，總有14S1+1S2-1+1S3-1+???+1Sn-1m2-m+727恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【例1-4】恒成立與數(shù)列的函數(shù)特性
在①Sn=2bn-1，②-4bn=bn-1(n≥2)，③bn=bn-1+2(n≥2)，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求出k的值；若k不存在，說明理由．
已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1=23，a3=a1a2，數(shù)列{bn}的首項b1=1，其前n項和為Sn，，是否存在k∈N*，使得對任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立？
變式訓(xùn)練
【變式1-1】在①2Sn=3an-3；②a1=3,lg3an+1=lg3an+1這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．
設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足________，bn=3n-9an+1,n∈N*．
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)若存在正整數(shù)n0，使得bn0≥bn對?n∈N*恒成立，求n0的值．
【變式1-2】在數(shù)列an中，a1=1,an+1=1-14an,bn=12an-1，其中n∈N*．
(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并寫出證明過程；
(2)設(shè)cn=2bn2n+1，數(shù)列cn的前n項和為Tn，求Tn；
(3)對?n∈N*，使得bnn+1≤n+3λ恒成立，求實數(shù)λ的最小值．
【變式1-3】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=3，Sn+1Sn=3n+1-13n-1，n∈N*.
(1)求S2，S3及an的通項公式；
(2)設(shè)bn=an+1an-1an+1-1，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若Tn≤λan-1對任意的n∈N*恒成立，求λ的最小值.
【變式1-4】已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和Sn滿足2Sn=an+1，數(shù)列bn滿足bn=1an+1an+1+1.
(1)求an的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，若5m-242022成立的n的最小值．
【變式2-3】已知數(shù)列{an}是正項等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+bn＝1．
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)如果cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．
【變式2-4】已知數(shù)列an滿足a1=12，2an+1+an=3，數(shù)列bn滿足b1=1，nbn+1-n+1bn=n2+n.
（1）數(shù)列an，bn的通項公式；
（2）若cn=bn+1-bnan，求使c1+c2+c2+???+cn≤2021成立(cn表示不超過cn的最大整數(shù))的最大整數(shù)n的值.
真題專練
1．在公差不為零的等差數(shù)列an中，a1=1，且a1,a3,a13成等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n項和Sn滿足Sn=2bn-2.
(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；
(2)設(shè)cn=bn-an，數(shù)列cn的前n項和Tn，若不等式Tn+n2-n>lg21-a對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
2．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=-165，且5an+1+Sn+16=0．
(1)求數(shù)列an的通項；
(2)設(shè)數(shù)列bn滿足4bn+n-5an=0n∈N*，記bn的前n項和為Tn，若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
3．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，當(dāng)n≥2時，SnSn-an+1=Sn-1.
(1)證明：數(shù)列1Sn是等差數(shù)列；
(2)若a1=12，數(shù)列2nSn的前n項和為Tn，若mTn≤n2+16?2n+1恒成立，求正整數(shù)m的最大值.
4．在數(shù)列an中，a1=-32，2an=an-1-2n-2n≥2.
(1)證明：數(shù)列an+2n是等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列nan+2n的前n項和為Tn，若關(guān)于n的不等式n2-Tn≤λn+2n+1恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.
5．已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,an+1=Sn+2n∈N*.
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為Tn，若不等式(-1)nλln2-14nn∈N*.
7．已知數(shù)列an中，a1=2,nan+1-n+1an=2n2+nn∈N+
(1)證明：數(shù)列ann是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；
(2)設(shè)bn=2n+1anan+1，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若TnN，都有an>δ.
(1)若an=2n+1，bn=2+cs(n)（n=1，2，），判斷數(shù)列{an}，{bn}是否是無界數(shù)列；
(2)若an=2n+1，是否存在正整數(shù)k，使得對于一切n≥k，都有a1a2+a2a3+...+anan+1