（Ⅰ）求的值和的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.
【詳解】（Ⅰ） 由已知，有，即，
所以，又因為，故，由，得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的通項公式為
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，設(shè)數(shù)列的前項和為，則
，
兩式相減得
，
整理得
所以數(shù)列的前項和為.
考點：等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項和公式、錯位相減法求和.
2．在數(shù)列中，
（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式
（II）求數(shù)列的前項和
【答案】（I）()
（II）=
【詳解】試題分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式: ()
(II)由(I)知,
=
而,又是一個典型的錯位相減法模型,
易得=
考點：數(shù)列的通項公式和求和的運用
點評：解決的關(guān)鍵是對于數(shù)列的遞推關(guān)系式的運用，根據(jù)迭代法得到通項公式，并結(jié)合錯位相減法求和．
3．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得出數(shù)列是等比數(shù)列，（先求出），可得通項公式；
（2）由（1）得，用錯位相減法求和．
【詳解】解：（1）當(dāng)時，，解得．
因為，①
所以當(dāng)時，，②
①-②得，，所以．
故數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為．
（2）由題知，，
所以，③
，④
③-④得，
．
所以．
【點睛】方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：
（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組（并項）求和法；（5）倒序相加法．
4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足， ，.
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，進而可求得等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)已知條件求得的值，由此可求得等比數(shù)列的通項公式；
（2）求得，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，
由題知，即，解得：，
所以，，
又，解得，又，所以，；
（2），
，①
②
①②得
，
所以.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法.
5．已知等比數(shù)列的公比，且滿足，，數(shù)列的前項和，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項與公比的方程組，解出與的值，即可計算出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)公式進行計算可得數(shù)列的通項公式；
（2）先分為奇數(shù)和為偶數(shù)分別計算出數(shù)列的通項公式，在求前項和時，對奇數(shù)項運用裂項相消法求和，對偶數(shù)項運用錯位相減法求和，最后相加進行計算即可得到前項和.
【詳解】（1）依題意，由，，可得，因為，所以解得，，
，，
對于數(shù)列：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，也滿足上式，
，.
（2）由題意及（1），可知：
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
令，，則
，
，
，
兩式相減，可得，
，
，
，
，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問中當(dāng)為奇數(shù)時，求出，并對進行裂項為是解題關(guān)鍵，本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸能力，整體思想，裂項相消法和錯位相減法求和，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力.本題屬中檔偏難題.
6．設(shè)是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項，的前項和為，.
（1）求和的通項公式;
（2）設(shè)數(shù)列的通項公式.
（i）求數(shù)列的前項和；
（ii）求.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）
【分析】（1）因為，是和的等比中項，根據(jù)等比中項可求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，利用與的關(guān)系，證出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項公式；
（2）根據(jù)（1）中和的通項公式，列出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法，分成奇數(shù)組和偶數(shù)組，即可求出數(shù)列的前項和；
將分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，運用裂項相消法化簡求出結(jié)果；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，運用錯位相減法求出結(jié)果；分別求解出后，相加求得的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，是和的等比中項，
所以，即，
解得，因為是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，
所以，
故，
因為，所以，
兩式相減得：，
當(dāng)時，，，
是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
.
（2）（i）解：，
所以
.
（ii）解：當(dāng)為奇數(shù)時，
設(shè)
，
當(dāng)為偶數(shù)時，
設(shè)，
，
所以，
故，
所以.
【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，以及運用分組求和法、裂項相消法和錯位相減法求和，屬于中檔題．
7．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)可得，再由前項和公式，即可求解；
（2）由（1），再結(jié)合錯位相減法即可求解；
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，，∴，
∴，∴.
（2）由（1）可知，
∴數(shù)列的前項和為，
，
兩式作差，得 ，
∴.
【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解，錯位相減法求解數(shù)列的前項和，屬于中檔題
8．已知是正項數(shù)列的前項和，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)當(dāng)時，，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，分別得到，作差化簡可得，又當(dāng)時，可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列
（2）由（1）及，得，∴，由錯位相減法可得數(shù)列的前項和
【詳解】（1）當(dāng)時，有
∴，∴
又∵，∴
當(dāng)時，有
∴，又∴
∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）及，得，∴，
則，
∴
9．已知數(shù)列的前項和為，且，（）求：
（1）數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由來求解；
（2）先求出數(shù)列，然后用錯位相減法求得．
【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時，，
當(dāng)時，，（*）
顯然，當(dāng)時也滿足（*）式
綜上所述，
（2）由（1）可得，，其前項和 ①
則 ②
①-②得，
，

10．已知數(shù)列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得，即可知{an}的通項公式；
（2）由（1）得，應(yīng)用錯位相減法求{an}的前n項和Sn.
【詳解】（1）由得：，
∴，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，故.
（2）由（1）得：，
∴①，②，
①②得：
∴ .
11．已知等差數(shù)列，滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用已知條件列出關(guān)于首項與公差的方程組，解方程組即得數(shù)列的通項公式；
（2）先由（1）得到，再利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由已知得，
即，
所以，
解得，
所以．
（2）由（1）得，
所以，①
，②
①②得：，
所以．
12．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項和，，且.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和；
（3）設(shè)，求的前項和；
【答案】（1）；；（2）；（3）.
【分析】（1）由等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程求得公比，進而得到，由等比數(shù)列通項公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求得結(jié)果；
（3）由（1）可得，進而整理得到，將相鄰兩項看作一組，采用分組求和的方式，分別根據(jù)等差數(shù)列求和公式和錯位相減法求得兩個部分的和，由此可得.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，成等差數(shù)列，，即，
，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
當(dāng)時，，整理可得：，
；
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足，
綜上所述：.
（2）由（1）得：，
；
（3）由（1）得：，
，
令，則其前項和；
令，
則其前項和，
，
，，
.
【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列通項和求和相關(guān)問題的求解，涉及到求和方法中的分組求和、裂項相消法和錯位相減法的應(yīng)用，其中錯位相減法的基本步驟如下：
①列出的形式；
②左右兩側(cè)同乘通項中的等比部分的公比，得到；
③上下兩式作差得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可整理等式右側(cè)的部分；
④整理所得式子求得.
13．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程求得，即可求得數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，結(jié)合“乘公比錯位相減法”，即可求解.
【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，，成等比數(shù)列，可得，即，
解得或（舍），所以數(shù)列的通項公式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以，
可得，
兩式相減得
所以.
【點睛】錯位相減法求解數(shù)列的前項和的分法：
（1）適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項和；
（2）注意事項：
①在寫出和的表達式時，應(yīng)注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號；
③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.
14．已知等比數(shù)列的前項和為，且.
（1）求與；
（2）記，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用可得數(shù)列的遞推式，得其為等比數(shù)列，易得通項公式、求和；
（2）由（1）得，用錯位相減法求和．
【詳解】（1）由，得，
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
則，
，
兩式相減得，
所以
.
【點睛】（1）錯位相減法適用于數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和，求解的方法是等式兩邊乘等比數(shù)列的公比再錯位相減，錯位相減后化歸為一個等比數(shù)列的求和；
（2）用錯位相減法求和時，應(yīng)注意兩點：一是要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；二是在寫出“”與“”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達式.
15．已知數(shù)列滿足.
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【分析】(1)把給定的遞推公式兩邊取倒數(shù)并變形即可作答；
(2)由(1)求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法即可得解.
【詳解】（1）由得，
所以是公差為2的等差數(shù)列，，即；
（2）由(1)知，
，
則，
兩式相減得，
則，
所以數(shù)列的前項和.
16．已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，內(nèi)角成等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項、公比均為．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知內(nèi)角成等差數(shù)列求得，可得，利用通項公式即可得出結(jié)果；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求前項和．
【詳解】解：（1）成等差數(shù)列
又 ．
．
∴數(shù)列首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）
整理得
故
17．已知等比數(shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．
(1)求b的值和數(shù)列的通項公式；
(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；
【詳解】（1）解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，
若的首項、公比分別為、，則，
∴且，所以，
故的通項公式為．
當(dāng)時，；
（2）解：令，，解得，所以
數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，
∵，①
∵②
兩式相減得∴．
∴
18．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由前n項和與通項之間的關(guān)系即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）以錯位相減法求數(shù)列的前n項和即可解決．
【詳解】（1）因為為數(shù)列的前n項和，
當(dāng)時，，則
當(dāng)時，
① ②，
①－②得，得
所以數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以．當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
顯然對于不成立，所以
當(dāng)時，
當(dāng)時，
上下相減可得
則
又時，
綜上，
19．已知等差數(shù)列的首項為2，且，，成等比數(shù)列.數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求與的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的公差，由此求得.利用來求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，因為，
所以，解得，
所以.
數(shù)列的前n項和為，且，①
當(dāng)時，，②
①-②，得.
當(dāng)時，，滿足，所以.
（2）因為，
所以.③
，④
③-④，得，
所以.
20．已知數(shù)列的前n項和是，且，數(shù)列的通項為.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用的關(guān)系求的通項公式；
（2）由（1）得，應(yīng)用錯位相減法可直接求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，，顯然滿足上式，
∴；
（2）由（1）知：，
所以①，
②，
①-②得：，
∴.
21．已知在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項和.請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答.
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)等差中項的定義，結(jié)合條件，可求解得到，設(shè)出公差為，則根據(jù)條件，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，利用等比中項的定義即可得到關(guān)于的方程從而求解得出結(jié)果；
（2）若選①，利用錯位相減法計算可得；
若選②，利用裂項相消法求和即可；
若選③，利用分組求和法及對分奇偶兩種情況討論，計算可得；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，
所以，即得，
設(shè)公差為，則有，，，
又因為，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，
所以，即，
解之可得，或（舍去），
所以，即得數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故可得，
且由題可得，，，
所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故可得，
（2）解：若選①，則，
則①，
在上式兩邊同時乘以2可得，②，
①②可得，，
即得；
若選②，則，
則；
若選③，則，
則
所以當(dāng)為偶數(shù)時，；
由上可得當(dāng)為奇數(shù)時，，
綜上可得，．
22．在數(shù)列中，.
(1)求的通項公式.
(2)設(shè)的前n項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件，適當(dāng)整理，可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求解；
（2）利用不等式基本性質(zhì)可得，進而.將不等式右邊設(shè)為，利用錯位相減求和法運算化簡后，即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：∵，∴，
又，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
從而，
則.
（2）證明：∵，
∴.
設(shè)，則，
兩式相減得，
從而，
故.
23．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，其前n項和為，數(shù)列前n項和為，從①，，成等比數(shù)列，，②，，這兩個條件中任選一個作為已知條件并解答下列問題.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）條件選擇見解析；，；（2）.
【分析】（1）選條件①：設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立方程，解之可求得公差d，由等差數(shù)列的通項公式求得，再由，兩式相減得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得；
選條件②：由已知得等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式求得，再由求得，注意時是否滿足；
（2）由（1）可得：，由錯位相減法可求得.
【詳解】解：（1）選條件①：設(shè)數(shù)列的公差為d，
由，，成等比數(shù)列，可得：，即，
解得：或（舍），
所以，
∵，∴，，
兩式相減整理得：，，
又當(dāng)時，有，解得：，
∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
∵；
選條件②：∵，∴等差數(shù)列的公差為，
又，∴，
又∵，
∴當(dāng)時，有，又當(dāng)時，有，也適合上式，
∵；
（2）由（1）可得：，
∴·，
又，
兩式相減得：
整理得：.
24．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足且
（1）求數(shù)列的通項公式
（2）設(shè)，若的前項和為，求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）將－－2＝0分解因式得，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)， 可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，可求出通項公式；
（2）由（1）得，計算出，利用錯位相減法求解.
【詳解】（1）∵，
∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，
∴，∴，
即
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.
∵，
∴數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）及得， ，
∵，
∴①
∴②
②-①得:.
25．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)及等比數(shù)列的定義即可求得答案；
（2）由錯位相減法即可求得答案.
【詳解】（1）因為．
所以，解得．
當(dāng)時，，
所以，所以，即．
因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
26．已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系的特征采用累加法求解即可（2）根據(jù)數(shù)列通項公式的特征采用錯位相減法求和
【詳解】（1）因為，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以．
（2）結(jié)合（1）得，所以
，①
，②
①②，得
，
所以．
27．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，;
(2).
【分析】（1）根據(jù)通項與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再由列出方程求出公差公比即可得出，的通項公式；
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和即可.
【詳解】（1）由①，
可得（）②，
由①②得（）
又也符合上式，所以，
由得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則有
，
令，有，
令，有
解得，或者
取，有，檢驗得（舍去）
所以，；
（2）由得，
所以
則
兩式相減得，
28．設(shè)是等比數(shù)列，公比大于，其前項和為 ，是等差數(shù)列.已知，，，.
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)，求的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得后，利用等差和等比數(shù)列通項公式可得結(jié)果；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由得：，解得：，；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，即；
由得：，即；
由得：，；
（2）由（1）得：；
，
，
兩式作差得：，
.
29．設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 型的數(shù)列，利用公式來解決.
(2) ，等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和，用錯位相減法．
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，解得
當(dāng)，時，，
所以，得
即，可知數(shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，
所以
（2）由（1）可知，所以，所以，
所以，
則，
兩式相減，可得.
，
化簡得
30．已知等差數(shù)列的前項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．
(1)求與的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求的通項公式.
（2）利用錯位相減法整理化簡即可求得前項和．
【詳解】（1）等差數(shù)列的前項和為，，，設(shè)公差為
所以，解得
所以
正項等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
兩式相減得：

31．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，消元得到，故為等比數(shù)列，進而求出通項公式；
（2）由題意，得到的通項公式，進一步得到，利用錯位相減法，得到數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）因為，所以，
兩式相減，可得，整理得，即，
因為在中當(dāng)時，，所以，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）易知，，所以公差，
所以，所以，
因為，
則，
兩式相減可得，
即.
32．已知等比數(shù)列的前項和為，，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對進行分類討論，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式求得首項和公比，從而求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
依題意，，則.
，
若，則不成立，
所以且，所以，
即，
所以，解得.
所以.
（2），
，
，
兩式相減得
.
所以.
33．已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)①；②；③．
從上面三個條件中任選一個，求數(shù)列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由已知可得當(dāng)時，，進而得，可求數(shù)列的通項公式；
（2）若選①：．錯位相減法可求．若選②：，可求．若選③：，分組求和可求．
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
，， ，
當(dāng)時，．．，
，數(shù)列是以，3為公比的等比數(shù)列，
．
（2）若選①：，
，
，
，
．
若選②：，
．
若選③：，
．
【點睛】數(shù)列求和的常見方法：
①錯位相減法
②裂項相消法
③分組求和
④公式法
⑤倒序相加法
34．已知數(shù)列的前n項和滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.
【詳解】（1）當(dāng)，，故，
因為，當(dāng)時，,
兩式相減得：，即，
故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，
所以．
（2），
故，
故，
令①，
②，
①-②得
即，
故．
35．已知等差數(shù)列的首項為1，公差d≠0，前n項和為，且為常數(shù)．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件知 ，據(jù)此求出d；
（2）運用錯位相減法求和.
【詳解】（1）由題意知：，即 ， ，
化簡得： ， ；
經(jīng)檢驗，成立.
（2）由（1）知： ， …①，
…② ，
①-②得：
，
；
綜上，，.
36．已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可構(gòu)造方程組求得，由此可得公比，由等比數(shù)列通項公式可求得；
（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，或（舍），
數(shù)列的公比，.
（2）由（1）得：，
，，
兩式作差得：.
37．已知等差數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項和公差，從而求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，，則
所以，解得，所以.
（2），
所以，
，
兩式相減得
，
所以.
38．已知數(shù)列滿足，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得到，然后利用等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）利用錯位相減的方法求和即可.
【詳解】（1）∵，
∴.
又，
∴，
∴，
且.
∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.
∴，
即，.
∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.
（2）易得，
∴，
則，
，
化簡得，
則.
39．已知等比數(shù)列的前n項和，為常數(shù).
(1)求的值與的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前項和為即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
是等比數(shù)列，
，即，所以，
數(shù)列的通項公式為；
（2）解：由（1）得
，
，
則．
．
40．在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）對變形，代入中化簡，由等比數(shù)列的概念即可證明；
（2）由（1）得出的通項公式，代入中，整體利用分組求和，分組后差比相乘部分利用錯位相減，即可求得的前項和.
【詳解】（1）證明：由，得，即，
又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知，，
所以，故，
設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.
所以數(shù)列的前項和，
所以，
，①
，②
由①-②得，
所以，
故數(shù)列的前項和.

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