一．共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
【典型例題】
例1．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例2．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
例3．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例4．在平行四邊形中，，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【過關測試】
1．（2022·全國·高一期末）已知三棱錐A-BCD中，，，則此幾何體外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形?若二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積大小為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（ ）．
A．B．C．D．
7．（多選題）（2022·山東·泰安一中高一期中）三棱錐中，平面平面ABC，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的外接球的表面積為
C．點A到平面SBC的距離為
D．二面角的正切值為
8．（2022·云南省下關第一中學高二階段練習）在三棱錐中，，，點到底面的距離為，若三棱錐的外接球表面積為，則三棱錐的外接球直徑長為___________，的長為___________．
9．（2022·安徽·高二期末（理））在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__
10．（2022·湖南·高二階段練習）如圖，三棱錐中，，，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為___________．
11．（2022·全國·模擬預測（文））已知在三棱錐中，，，則當取得最小值時，該三棱錐外接球的表面積為______．
12．（2022·全國·高一期末）在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biena）．已知在鱉臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，則該鱉臑的外接球的體積為_________．
13．（2022·安徽滁州·二模（文））已知三棱錐中，，則外接球的表面積為___________．
14．（2022·重慶·高一期末）將一個邊長為的正三角形沿其中線折成一個直二面角，則所得三棱錐的外接球的體積為_________．
15．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知三棱錐P—ABC中，，，，當該三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為______．
16．（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，則球的表面積的最小值為________．
17．（2022·廣東·揭陽華僑高中高三階段練習）鱉臑（bie na）是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼，已知三棱錐是一個鱉臑，其中，，，且，，，則三棱錐的外接球的體積是__________．

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