專題08 共斜邊拼接模型（解析版）一、解題技巧歸納總結(jié)1． 共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的,為公共的斜邊,故以“共斜邊拼接模型”命名之.設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等,故點(diǎn)就是四面體外接球的球心,公共的斜邊就是外接球的一條直徑.二、典型例題例1.在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（     ）A.        B.        C.        D.【解析】設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示. ∴外接球的半徑.故.選C.例2.三棱錐中，平面平面， ，,，則三棱錐的外接球的半徑為      【解析】是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心 ，球半徑為.三、配套練習(xí)1．在梯形中，，，，，將梯形沿對(duì)角線折疊成三棱錐，當(dāng)二面角是直二面角時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖：，，，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，平面平面，平面，，，，，，即外接球的半徑為2，此時(shí)三棱錐外接球的表面積為．故選：．2．將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角．則四面體的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，畫(huà)圖如下： 在中，作，則為中點(diǎn)，且根據(jù)四邊形是正方形，可知．點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，，球．故選：．3．在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿折成直二面角，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，因?yàn)槠矫?/span>平面（折成直二面角），所以平面，平面，得，．取的中點(diǎn)，則．于是外接球的球心是，．而．所以半徑．于是外接球的表面積為．故選：．4．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．5．如圖，在平面四邊形中，，，．將該四邊形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，因?yàn)槠矫?/span>平面，，則平面，從而．因?yàn)?/span>，則平面，從而，所以是外接球的直徑．在中，，則球半徑．所以外接球的體積．故選：．6．矩形中，，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】由于和都是直角三角形，且是公共的斜邊，所以，線段的中點(diǎn)到點(diǎn)、、、的距離都相等，因此，為四面體的外接球的直徑，且，則外接球的半徑為5，因此，四面體的外接球的表面積為，故選：．7．如圖，在平行四邊形中，，，沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積是　　A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，沿折成直二面角，平面，平面，三棱錐的外接球的直徑為，且外接球的半徑為1，表面積是．故選：．8．如圖所示，在平行四邊形中，，沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積是　　A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，可知折疊后的三棱錐如右圖所示．，，由此可得的中點(diǎn)即為外接球的球心又二面角是直二面角，即平面平面，且平面，可得是以為斜邊的直角三角形中，從而三棱錐的外接球的表面積故選：．9．平行四邊形中，，沿將四邊形折起成直二面角一，且，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，沿折成直二面角，將四邊形折起成直二面角一，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，，，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．10．在平行四邊形中，，且，沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積是　　A． B． C． D．【解析】由題意可知，折成直二面角后，為外接球直徑，因?yàn)?/span>，所以，，；故選：．11．在矩形中，，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】由題意知，球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對(duì)角線上，且其半徑為長(zhǎng)度的一半，則．故選：．12．在平行四邊形中，，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，沿折成直二面角，平面平面，三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．13．如圖，二面角滿足半平面，半平面內(nèi)有一點(diǎn)（不在上），半平面內(nèi)有一點(diǎn)（不在上），，在直線的射影分別為，，不重合），，，則三棱錐外接球的表面積為　　．【解析】設(shè)的中點(diǎn)，二面角滿足半平面，，在直線的射影分別為，，不重合），，，面，面；故；；三棱錐外接球的表面積為：；故答案為：．14．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，為邊的中點(diǎn)，沿將折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為　　【解析】如下圖所示，折疊前，由于時(shí)等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，折疊后，則有，，，平面，二面角為直二面角，，，則二面角的平面角為，且，，的外接圓直徑為，所以，三棱錐的外接球直徑為，則，因此，三棱錐的外接球的表面積為．15．如圖是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形，現(xiàn)將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為　　．【解析】四邊形中，，，；沿折成直二面角，如圖所示；平面，平面，，；三棱錐的外接球的直徑為，且外接球的半徑為，它的體積為．故答案為：．16．在矩形中，已知，，將該矩形沿對(duì)角線折成直二面角，則四面體的外接球的體積為　　．【解析】矩形中，，，，設(shè)交與，則是和的外心，球心一定在過(guò)且垂直于的直線上，也在過(guò)且垂直于的直線上，這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)因此球半徑，四面體的外接球的體積：．故答案為：．17．將長(zhǎng)寬分別為3和4的長(zhǎng)方形沿對(duì)角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為　　【解析】因?yàn)榍虻那蛐牡剿拿骟w四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心到任意一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；所以球心應(yīng)當(dāng)在經(jīng)過(guò)直角三角形斜邊中點(diǎn)并垂直于直角三角形的直線上，這樣就得到了兩條直線，它們的交點(diǎn)就是兩個(gè)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以球半徑就是所以四面體的外接球的表面積為：故答案為：18．把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為　　．【解析】由題意，球的直徑恰好是正方形對(duì)角線，所以球的體積．故答案為：．19．在平行四邊形中，，若將沿折成直二面角，則三棱錐外接球的表面積為　　．【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面，平面，三棱錐的外接球的直徑為，且外接球的表面積是．故答案為：．  

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