新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)《空間幾何體-球》題型歸納練習(xí)專題02 正四面體模型（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．正四面體
如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)
任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則x的最大值為（）
A．B．C．D．
例2．（2022·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
例3．（2022·貴州師大附中高二開學(xué)考試（理））已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
例4．（2022·河北·石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（）
A．B．C．D．
【過關(guān)測(cè)試】
1．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)（文））在正四面體PABC中，點(diǎn)D，E分別在線段PC，PB上，，若的最小值為，則該正四面體外接球的表面積為（）
A．27πB．54πC．D．
2．（2022·貴州·凱里一中高二期末（理））我們將四個(gè)面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面的中心，此外在立方體的對(duì)角線的處也有個(gè)碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價(jià)鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個(gè)碳原子的周圍都有個(gè)按照正四面體分布的碳原子．設(shè)金剛石晶胞的棱長(zhǎng)為，則正四面體的棱長(zhǎng)為__________；正四面體的外接球的體積是__________．
4．（2022·江西師大附中高二期中（文））正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BP+PE的最小值為，則該正四面體的外接球的體積是________．
5．（2022·廣西·南寧三中高二階段練習(xí)（理））設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則它的外接球的體積為________．
6．（2022·寧夏育才中學(xué)高三階段練習(xí)（文））一個(gè)棱長(zhǎng)為5的正四面體（棱長(zhǎng)都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則小正四面體棱長(zhǎng)的最大值為__________．
7．（江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為_____．
8．（2022·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）表面積為的正四面體外接球的體積為__________．
9．（2022·遼寧鞍山·二模）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為______．
10．（2022·全國·高一）正四面體和邊長(zhǎng)為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為______．
11．（2022·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為______．
12．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））已知球內(nèi)接正四面體，為棱的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)．滿足，則球的體積為______．
13．（2022·湖南長(zhǎng)沙·高二期中）已知正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，且圖中三角形（正四面體的截面）的面積是，則該球的表面積為______．
14．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）一個(gè)正四面體的展開圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為_______．
15．（2022·云南曲靖·一模（文））棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過棱作四面體的截面，交棱的中點(diǎn)于，且截面面積是，則四面體外接球的表面積是__________．
16．（2022·福建漳州·高一期末）正四面體和邊長(zhǎng)為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為______，線段長(zhǎng)度的取值范圍為_______．

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