二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．

【典型例題】
例1．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（ ）
A．12πB．13πC．D．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．
C．D．
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為_(kāi)_______．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四邊形ABDC是菱形，，，沿對(duì)角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_(kāi)____.
例7．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)（理））梯形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角等于，當(dāng)時(shí)，四棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________.
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2022·安徽省太和中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A?B?C?D四點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積是（ ）
A．15B．18C．21D．24
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形中，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）足球運(yùn)動(dòng)成為當(dāng)今世界上開(kāi)展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項(xiàng)目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場(chǎng)舉行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足，二面角的大小為，則該足球的體積為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，把兩個(gè)完全相同的直三角尺，斜邊重合，沿其斜邊折疊形成一個(gè)120°的二面角，其中，且，則空間四邊形外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形?若二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積大小為（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若矩形ABCD的面積是4，沿對(duì)角線AC將矩形ABCD折成一個(gè)大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，四點(diǎn)都在某個(gè)球表面上，與都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角的大小為，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
13．（多選題）（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二面角的棱上有不同兩點(diǎn)和，若，，，，則（ ）
A．直線和直線為異面直線
B．若，則四面體體積的最大值為2
C．若，，，，，，則二面角的大小為
D．若二面角的大小為，，，，則過(guò)、、、四點(diǎn)的球的表面積為
14．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）矩形中，，，將此矩形沿著對(duì)角線折成一個(gè)三棱錐，則以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．三棱錐的體積最大值為
B．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的體積為
C．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
D．當(dāng)二面角不是直二面角時(shí)，三棱錐的外接球的表面積小于
15．（2022·云南普洱·高三期末（理））在邊長(zhǎng)為的菱形中，對(duì)角線，將沿翻折，使得二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是______.
16．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知四邊形中，，，三角形沿折起，使得二面角為120°，則此空間四邊形外接球的表面積為_(kāi)_____.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，若沿對(duì)角線將△折起，所得的二面角的大小為，則四點(diǎn)所在球的表面積為_(kāi)___________．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在菱形中，，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知邊長(zhǎng)為4的菱形中，，將沿對(duì)角線翻折至所在的位置，若二面角的大小為，則過(guò)，，，四點(diǎn)的外接球的表面積為_(kāi)__________.
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，二面角的大小為，則點(diǎn)O到平面的距離為_(kāi)______，球O的表面積為_(kāi)______．

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