一.對棱相等模型
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.
【典型例題】
例1．四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，
可將其補為一個三個面上對角線分別為，，5的長方體，如圖所示：
長方體的三邊長分別為2，3，4，
長方體的外接球即是四面體的外接球，四面體的外接球的半徑為，
四面體的外接球的表面積為：，
故選：．
例2．在四面體中，三組對棱棱長分別相等且依次為，，5則此四面體的外接球的半徑為
A．B．5C．D．4
【解析】四面體中，三組對棱棱長分別相等，
故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為，，5的長方體，
則其外接球的直徑，
則
故選：．
例3．如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為
A．B．C．D．
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，
可得長方體的三條對角線分別為，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：．
【過關(guān)測試】
1．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，
則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑．
設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，
，
三棱錐外接球的直徑為，
三棱錐外接球的表面積為．
故選：．
2．（2022?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：如下圖所示，
將四面體放在長方體內(nèi)，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為、、，
則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，
上述三個等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故選：．
3．已知四面體中，，，，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：由題意，四面體擴充為長方體，且面上的對角線分別為，，，
長方體的對角線長為，
球的半徑為，
此球的表面積為．
故選：．
4．如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為
A．B．C．D．
【解析】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，
可得長方體的三條對角線分別為，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：．
5．（2022?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，
則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑．
設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，
，
三棱錐外接球的直徑為，
三棱錐外接球的表面積為．
故選：．
6．（2022?五華區(qū)校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：因為鞠表面上的四個點，，，滿足，
，，
所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，則該長方體的體對角線就是鞠的直徑，
設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，鞠的半徑為，
則，
由題意得，，，
所以，即，
所以該鞠的表面積為，
故選：．
7．（2022?廣東期末）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點、、、，滿足，，，則該鞠的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：因為，，，所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，
則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．
設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，
“鞠”的半徑為，則．
因為，，，
所以，所以．
故選：．
8．（2022?陽泉期末）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點，，，，滿足，，，則該鞠的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：因為，，，所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，
則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．
設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，
“鞠”的半徑為，則．
因為，，，
所以，所以．
故選：．
9．（2022?河北月考）蹴鞠（如圖所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圓”“筑球”“踢圓”等，“蹴”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：因為，，，所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，
則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．
設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，
“鞠”的半徑為，則．
因為，，，
所以，所以
故選：．
10．（2022?潮陽區(qū)期末）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，蹴最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某“鞠”的表面上有四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為
A．B．C．D．
【解析】解：將四面體放入長方體中，四面體各邊可看作長方體各面的對角線，如圖所示：
則“鞠“的表面積為四面體外接球的表面積，
即為長方體外接球的表面積，
設(shè)長方體棱長為，，，則有，，，
設(shè)長方體外接球半徑為，
則有，解得，
所以外接球的表面積為：．
故選：．
11．（2022?羅湖區(qū)月考）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為 ．
【解析】解：如下圖所示，將四面體放在長方體內(nèi)，在四面體中，，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為2、2、1，
則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故答案為：．
12．（2022?孟津縣校級期末）若四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為 ．
【解析】解：由題意可采用割補法，考慮到四面體的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以，，為三邊的三角形作為底面，
且以分別，，長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別為，，的長方體，
并且，，，
則有為球的半徑），
所以球的表面積為．
故答案為：．
13．（2022?三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為 ．
【解析】解：如下圖所示，
將四面體放在長方體內(nèi)，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為、、，
則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，
上述三個等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故答案為：．
14．（2022?南山區(qū)校級期中）在四面體中，，，球是四面體的外接球，過點作球的截面，若最大的截面面積為，則四面體的體積是 ．
【解析】解：如圖，，，
長方體的長和寬都是4，設(shè)該長方體的高為，
球的半徑為，則，
過點作球的截面，最大的截面面積為，．
則．
故四面體的體積是．
故答案為：．
15．（2022?興化市模擬）某中學(xué)課外活動小組開展勞動實習(xí)，活動中需制造一個零件模型，該零件模型為四面體，設(shè)為，要求．當(dāng)時，此四面體外接球的表面積為 ；當(dāng)時，此四面體體積的最大值為 ．
【解析】解：如圖將四面體補成一個長方體：
，當(dāng)時，
則，，，
外接球直經(jīng)，，
，則，
，
，，
（c）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
．
故答案為：；．
16．（2022?鼓樓區(qū)校級期末）在三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ；外接球體積為 ．
【解析】解：由，，，
可以將三棱錐放置在一個長方體中，
設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，
則有，整理得，
得該三棱錐外接球的半徑．
該三棱錐外接球的表面積為；
外接球體積為．
故答案為：；．
17．（2022?長春校級期末）在三棱錐中，若，，則其的外接球的表面積為 ．
【解析】解：三棱錐中，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為5，5，，
則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑．
設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，
三棱錐外接球的直徑為
三棱錐外接球的表面積為．
故答案為：．

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