一．正棱錐外接球半徑： ．
二．側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．

解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【典型例題】
例1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．
例4．（2022·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．
【過關(guān)測試】
1．（2022·全國·高一期末）在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津·高三專題練習(xí)）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠的表面上有五個點、、、、恰好構(gòu)成一正四棱錐，若該棱錐的高為8，底面邊長為，則該鞠的表面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）在正三棱錐中，底面是邊長為正三角形，是的中點，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（ ）
A．16πB．C．8πD．
7．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，且，若三棱錐體積為，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角的正切值為，若該正四棱錐的外接球的體積為，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江蘇·高二）“蹴鞠” （如圖），又名“蹴球”，是古人以腳蹴、蹋、踢球的活動．已知某蹴鞠的表面上有四個點S、A、B、C，滿足為正三棱，M是的中點，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·貴州·遵義四中高二期末）在正三棱錐S - ABC中，AB =4， D、E分別是SA、AB的中點，且DE⊥CD，則三棱錐S - ABC外接球的體積為（ ）
A．πB．πC．πD．π
11．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）將兩個一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為_________，該組合體的外接球的體積為_______．
13．（2022·江蘇·蘇州外國語學(xué)校高一期中）已知正三棱錐的四個頂點在同一個球面上，，，則該三棱錐的外接球的表面積為___________，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為___________．
14．（2022·江蘇徐州·高二期中）在正六棱錐中，，，則此正六棱錐的側(cè)面積為___________；該正六棱錐的外接球的表面積為___________．
15．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，設(shè)底邊和側(cè)棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點A作一個平面分別交于點E?F?G進(jìn)行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________．
16．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)二模）如圖，在三棱錐中，，，分別為棱的中點，為三棱錐外接球的球心，則球的體積為________；平面截球所得截面的周長為________．
17．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高二期中）已知正四棱錐O﹣ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的體積為___
18．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該四棱錐的外接球的體積為_________．
19．（2022·河南鄭州·高一期末）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2，若該幾何體的所有頂點都在同一個球的表面上，則這個球的體積為______．
20．（2022·四川雅安·三模（文））在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________．
21．（2022·寧夏·銀川一中一模（理））已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為1，則球的表面積為___________．
22．（2022·全國·二模（理））正三棱錐的頂點都在球O的球面上，底面ABC的邊長為6，當(dāng)球O的體積最小時，三棱錐的體積為______．
23．（2022·廣西南寧·高一期末）在正三棱錐中，，，則正三棱錐外接球的表面積為______.

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