新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方法技巧與題型歸納訓(xùn)練專題20 解三角形（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
（2）面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r. ）
知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列.
知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．
（2）方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．
(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
(3)南偏西等其他方向角類似．
（4）坡角與坡度
(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．
(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．
【方法技巧與總結(jié)】
1.方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
2.在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.
【題型歸納目錄】
題型一：正弦定理的應(yīng)用
題型二：余弦定理的應(yīng)用
題型三：判斷三角形的形狀
題型四：正、余弦定理與的綜合
題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
題型六：倍角關(guān)系
題型七：三角形解的個(gè)數(shù)
題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題
【典例例題】
題型一：正弦定理的應(yīng)用
例1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，，則外接圓的半徑為（）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
直接使用正弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】
設(shè)R為外接圓的半徑，故，解得．
故選：A．
例2．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積．
(1)求角B的大?。?br>(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用正弦定理面積公式和余弦定理化簡(jiǎn)已知條件得到，即可得到答案.
（2）首先利用正弦定理邊化角公式得到，化簡(jiǎn)得到，再求其正弦值即可.
(1)
因?yàn)椋?br>所以，.
又因?yàn)椋?
(2)
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，.
因?yàn)椋?br>所以，即.
.
例3．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
(2)
由正弦定理得：，則，則，.
例4．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若，角C為鈍角，.
(1)求的值；
(2)求邊c的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求導(dǎo)，利用求得，，
再由兩角差的正弦展開(kāi)式可得答案；
（2）利用正弦定理和可得答案.
(1)
因?yàn)镃為鈍角，由，則，
則， C為鈍角可得為銳角，
所以，，
可得.
(2)
由（1）可知：，則，，
則，
正弦定理：，，
可得：.
例5．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面積為，求邊，的值．
【答案】(1)
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，根據(jù)求得,進(jìn)而由二倍角公式及和差角公式可求的值；
（2）由已知結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可求得答案.
(1)
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
即，
因?yàn)?，所以?br>由為三角形內(nèi)角得；
由，則，
所以，
，
；
(2)
因?yàn)榈拿娣e，所以，
由余弦定理得,則，
由解得，或，.
例6．（2022·青海西寧·二模（理））在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，面積為S，且，，________？
【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)題干條件及余弦定理、面積公式，可求得角C的值，若選①，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，可得角A只有一解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得的值；若選②，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，可得角A有兩解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得的值；若選③，根據(jù)正弦定理，可求得的值，因?yàn)?，則三角形無(wú)解.
【詳解】
由題意可知在中，
因?yàn)?，且?br>所以，
由余弦定理可知，
所以
因?yàn)椋?br>所以；
若選①，由正弦定理可得，
解得，
在中，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)椋瑒t角A只有一解，且，
所以．
若選②，由正弦定理可得，
解得，
在中，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，則角A有兩解，
所以．
若選③，由正弦定理可得，
解得，
因?yàn)椋?br>所以無(wú)解，即三角形不存在．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對(duì)角；.
（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.
題型二：余弦定理的應(yīng)用
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若的面積為S，且，則（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形面積公式及余弦定理結(jié)合已知條件可得，利用兩角和差化積公式可得
【詳解】
∵，
代入，即，
∵，∴，即
，
故選：B.
例8．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可知?br>在中，由余弦定理可得：，解得，，故
故選：D
例9．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（理））在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且，則A的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比中項(xiàng)得，結(jié)合題設(shè)得，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】
由已知得，由，得，所以，得，
由余弦定理得，又，所以．
故選：B．
例10．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理角化邊，即可得到，從而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)?，即，由正弦定理可得?br>又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，
所以；
故答案為：
【方法技巧與總結(jié)】
(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.
(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
題型三：判斷三角形的形狀
例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則是（）
A．等腰直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由結(jié)合余弦定理可求得，由結(jié)合正弦定理可求得，從而可判斷出三角形的形狀
【詳解】
由，得，
所以由余弦定理得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以,
所以為等腰直角三角形，
故選：A
例12．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則的形狀是（）
A．等邊三角形
B．C為直角的直角三角形
C．C為頂角的等腰三角形
D．A為頂角的等腰三角形或B為頂角的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
將式子去分母整理即可得到，即可判斷；
【詳解】
解：，
，
即，
合并得：，
，
，
，
，
，
或，
所以為以為頂角的等腰三角形或?yàn)轫斀堑牡妊切危?br>故選：D．
例13．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則為（）
A．等腰非等邊三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由條件可得，由正弦定理結(jié)合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，從而可得出答案.
【詳解】
由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?br>故為直角三角形.
故選：B
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，三內(nèi)角滿足，三邊滿足，則是（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等邊三角形D．鈍角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形內(nèi)角和定理及可得，余弦定理及可得，即可得為等邊三角形.
【詳解】
中，∵且，∴，
將，代入余弦定理可得，化簡(jiǎn)可得，即，
又∵，由等邊三角形判定定理可知為等邊三角形.
故選：C.
例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角滿足，又，則這個(gè)三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．鈍角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件可得，再利用正弦定理角化邊，借助余弦定理計(jì)算判斷作答.
【詳解】
因的三個(gè)內(nèi)角，而，則，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等邊三角形.
故選：B
例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，則的形狀一定是（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)降冪公式，先得到，化簡(jiǎn)整理，再由正弦定理，得到，推出，進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?，所?br>即，所以，因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)?，所以，即是直角三角?
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.
題型四：正、余弦定理與的綜合
例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．
(1)證明：；
(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．
①； ②．
注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形的外角和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解；
（2）選①，根據(jù)同角三角形的平方關(guān)系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角形的面積公式即可求解；
選②，設(shè)出，根據(jù)勾股定理，得出，結(jié)合已知條件得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，得出角，進(jìn)而得出角，再利用三角形的面積公式即可求解.
(1)
因?yàn)椋?br>所以，
故；
(2)
選①．
因?yàn)椋?br>所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得
所以，故，
在中，因?yàn)?，所以?br>又．
選②，
設(shè)，則，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，則
,，
所以，
所以．
所以.
例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）選擇①，由正弦定理及角度關(guān)系推出及，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，進(jìn)行證明；選擇②，利用正弦定理推導(dǎo)出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可推出結(jié)論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關(guān)系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（2）在證明出第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的長(zhǎng)及角的正弦值，進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解.
(1)
方案一：選條件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：選條件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：選條件③.
因?yàn)?，，且，?br>所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?
因?yàn)椋?br>，
所以，
即，
所以，
所以.
(2)
選擇①②③，答案均相同，
由（1）可設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因?yàn)椋?br>所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形ABCD的面積.
例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，_____?
【答案】答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
選擇①，利用二倍角正弦公式得，通過(guò)邊與角的關(guān)系知，進(jìn)而得，再利用正弦定理計(jì)算得，出現(xiàn)矛盾，故不存在；
選擇②，由正弦定理結(jié)合逆用兩角和差化積公式計(jì)算得，利用余弦定理可得，再利用面積公式得解；
選擇③，利用正弦定理結(jié)合同角之間的關(guān)系得到，利用余弦定理可得，再利用面積公式得解；
【詳解】
選擇①
由，得.
若，，，與矛盾，，.
若這樣的存在，根據(jù)正弦定理，由，
得，與矛盾.
所以，若選擇條件①，則問(wèn)題中的三角形不存在.
選擇②
在中，根據(jù)正弦定理，得.
，則，，即，整理為.
，，，.
根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，
，解得：或（舍去）.
的面積為.
選擇③
在中，根據(jù)正弦定理，得，即.
，則，.
，，，，.
根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，
，解得：或（舍去）.
的面積為.
例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△的面積為.
(1)證明：；
(2)若，求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形面積公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，再由正弦定理的邊角關(guān)系即可證結(jié)論.
（2）由（1）及題設(shè)可得，進(jìn)而求得，應(yīng)用余弦定理及正弦定理邊角關(guān)系求，即可求，注意根據(jù)B的范圍判斷符號(hào)，最后利用及和角余弦公式求值即可.
(1)
由題設(shè)，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
(2)
由（1）及題設(shè)，，且，
所以，則，故，
又，可得，
若，則，而，故不合題設(shè)；
所以，
所以.
例21．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知邊上的高等于a．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由銳角三角形可得，結(jié)合題意和正弦定理整理可證；（2）利用等面積可得，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)整理．
(1)
設(shè)邊上的高為，則，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以．
例22．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．
(1)求角；
(2)是邊上的點(diǎn)，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角、切化弦，結(jié)合三角恒等變換公式可化簡(jiǎn)已知等式求得，由此可得；
（2）設(shè)；在和分別利用正弦定理和余弦定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得結(jié)果.
(1)
由得：，
由正弦定理得：，
，又，，
；
有意義，，，即，
又，.
(2)
，，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
【方法技巧與總結(jié)】
先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.
題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用
例23．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口、間的距離，開(kāi)車從點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛米到達(dá)點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口點(diǎn)處，測(cè)得間的距離為1000米.
(1)若隧道口在點(diǎn)的北偏東度的方向上，求的值；
(2)求隧道口間的距離.
【答案】(1)
(2)1000米.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及同角三角函數(shù)的關(guān)系可求解；
（2）由余弦定理可求解.
(1)
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由題可知，，
所以，即.
(2)
由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故兩隧道口間的距離為1000米.
例24．（2022·上海市建平中學(xué)高三期中）如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A、B兩地，A處位于東西方向的直線MN上的陸地處，B處位于海上一個(gè)燈塔處，在A處用測(cè)角器測(cè)得，在A處正西方向1km的點(diǎn)C處，用測(cè)角器測(cè)得.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在岸MN上選一點(diǎn)P，設(shè)，，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬(wàn)元/km、4萬(wàn)元/km.
(1)求A、B兩點(diǎn)間的距離；
(2)請(qǐng)選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)5千米；
(2)選擇方案②，在點(diǎn)正西方千米處，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)千米，結(jié)合已知條件有求出，根據(jù)線段關(guān)系及勾股定理求A、B兩點(diǎn)間的距離；
（2）計(jì)算方案①的費(fèi)用，根據(jù)已知可得方案②的費(fèi)用為，利用導(dǎo)數(shù)研究最值，然后比較兩種方案的費(fèi)用大小，即可確定費(fèi)用較低的方案.
(1)
由，若千米，則，可得，
所以千米.
(2)
方案①：鋪設(shè)費(fèi)用為萬(wàn)元；
方案②：，，
鋪設(shè)費(fèi)用為，
令，則，
當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，
所以在上遞減，上遞增，則，
故鋪設(shè)費(fèi)用最小為萬(wàn)元萬(wàn)元，
綜上，選擇方案②，在點(diǎn)正西方千米處.
例25．（2022·廣東湛江·二模）如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn).
(1)求、兩地之間的距離；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可直接求得的長(zhǎng)；
（2）利用余弦定理求出的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.
(1)
解：由余弦定理可得，
所以，.
(2)
解：由余弦定理可得，
所以，，則為銳角，故，
因此，.
例26．（2022·山東泰安·高三期末）在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開(kāi)始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.
(1)求的值；
(2)若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)能夠攔截成功攔截，時(shí)間為2小時(shí)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱，且，即可求解；
（2）設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，利用余弦定理列出方程，即可求解.
(1)
解：由題意，直線的傾斜角為，
若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，
如圖所示，則軸，，且關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以，所以.
(2)
解：若巡邏船以海里/小時(shí)進(jìn)行追擊，設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，如圖所示，
則，，，，
因?yàn)?br>可得
整理得，解得或（舍去），
所以能夠攔截成功攔截時(shí)間為2小時(shí).
例27．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島 B位于小島A 北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島 C.
(1)求小島A到小島C的距離；
(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島 C，求游船航行的方向.
【答案】(1)海里
(2)游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.
【解析】
【分析】
(1)三邊一角，由余弦定理可以求小島A到小島 C的距離；
(2)兩邊兩角，由正弦定理可以求角.
(1)
解：(1)在中，
，根據(jù)余弦定理得：.
.
所以小島A到小島 C的最短距離是海里.
(2)
解：(2)根據(jù)正弦定理得：
解得
在中，
為銳角
.
由得游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行
答:小島A到小島 C的最短距離是海里;游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.
例28．（2022·黑龍江大慶·高三階段練習(xí)（理））如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.
(1)求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；
(2)求塔高（結(jié)果精確到）.
參考數(shù)據(jù)：取，，.
【答案】(1)324m
(2)669m
【解析】
【分析】
（1）求出，在中利用正弦定理進(jìn)行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用正切值求出塔高.
(1)
在中，，
由正弦定理得，
則
(2)
由正弦定理得，
則.
故塔高
【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.
題型六：倍角關(guān)系
例29．（2022·北京豐臺(tái)·二模）在中，，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.
【詳解】
解：在中，
由正弦定理可得，
即，即，
所以.
故答案為：.
例30．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
例31．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)若，，求的面積；
(2)若，且的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，求．
【答案】(1)16
(2)6
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理，邊角互化，以及正弦的和差公式，即可求解.
(2)根據(jù)正弦定理，邊化角，再由余弦定理可得，再分和分類討論，即可求解.
(1)
因?yàn)?，由正弦定理得?br>又，得，
故，
所以，
因?yàn)?，，所以，于是，故，為直角三角形?br>所以的面積；
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，則，故，
則，，此時(shí)，不符合題意．
∴，由，得，
又，即，則．
∵，，故當(dāng)時(shí)，有，而，故能構(gòu)成三角形，故．
例32．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.
(1)若，，的外接圓半徑為，，求的大小；
(2)若，，，求邊的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求得的大小.
（2）結(jié)合正弦定理、余弦定理求得邊的長(zhǎng).
(1)
依題意，
由正弦定理得，
，，
，
由于，，
所以.
(2)
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得或.
例33．（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，且．
(1)若角B為鈍角，求△ABC的面積；
(2)若，求a．
【答案】(1)；
(2)6．
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理和基本不等式得到a與c的關(guān)系，再根據(jù)三角形邊長(zhǎng)為正整數(shù)求a與c；
(2)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化角的關(guān)系為邊的關(guān)系，在分類討論求出邊長(zhǎng)﹒
(1)
由角B為鈍角，則，即；
又∵，即，且a，，因此或符合題意．
故，則，
因此△ABC的面積為．
(2)
由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，則，故，
則，，此時(shí)，不符合題意．
∴，由，得，
又，即，則．
∵a，，故當(dāng)時(shí)，有，而，故能構(gòu)成三角形，故．
例34．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)由A=2B得sinA=sin2B，再利用正弦定理和余弦定理角化邊即可求解；
(2)利用余弦定理可求csA，從而可求sinA及cs2A、sin2A，結(jié)合兩角和差的余弦公式進(jìn)行求解即可﹒
(1)
由，知，
由正、余弦定理得．
∵，，∴，則；
(2)
由余弦定理得，
∵，∴，
故，，
．
題型七：三角形解的個(gè)數(shù)
例35．（2022·江西·二模（文））設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦定理計(jì)算可得；
【詳解】
解：由正弦定理，即，所以，
因?yàn)椴晃ㄒ唬从袃山?，所以且，即?br>所以，所以，即；
故選：A
例36．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求解.
【詳解】
解：由題意，根據(jù)正弦定理有，所以，
要使三角形有兩組解，則，且，即，
所以，
所以a的值可以為．
故選：C．
例37．（2022·河南·許昌高中高三開(kāi)學(xué)考試（文））在三角形ABC中（A點(diǎn)在BC上方），若，，BC邊上的高為h，三角形ABC的解的個(gè)數(shù)為n，則以下錯(cuò)誤的是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】C
【解析】
【分析】
作出外接圓如圖所示，根據(jù)題意可求出外接圓的半徑為2，然后結(jié)圖形判斷即可
【詳解】
作出外接圓如圖所示，
因?yàn)椋?br>所以的外接圓半徑為
因?yàn)?，所以，?
所以當(dāng)時(shí)，最大為3，此時(shí)是唯一的，所以B正確，A正確，
當(dāng)時(shí)，由圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)，
所以C錯(cuò)誤，D正確，
故選：C
例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出的值，結(jié)合大邊對(duì)大角定理可判斷各選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故有兩解；
對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故只有一解；
對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理可得，故無(wú)解；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則角為的最大內(nèi)角，且，故無(wú)解.
故選：B.
例39．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的公式，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】
①，三角形有兩解；②，三角形有兩解；③，三角形有一解；④，三角形無(wú)解.
故選：B.
題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題
例40．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若，，，且，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求解；
（2）由（1）得，再利用余弦定理，并將，且代入求得a，c，然后利用面積公式求解.
(1)
解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
所以；
(2)
由（1）得，
由余弦定理得：，
所以，即，
將，代入，得，
即，
解得或，
∵，∴，
∴舍去，
∴，．
從而，
由可知，
所以．
所以的面積．
例41．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成解答．
已知銳角中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且．
(1)求角B；
(2)已知，且______，求的值及的面積．
【答案】(1)；
(2)①，或②，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理把化為，結(jié)合余弦定理可得角B；
（2）若選①，由即可得的值，再由正弦定理求得的值，進(jìn)而可得的面積；
若選②，由可得的值，再由正弦定理求得，再利用即可得的值，進(jìn)而可得的面積.
(1)
根據(jù)正弦定理可由得，即，又為銳角，所以；
(2)
若選①，由，再由正弦定理，所以；
若選②，由，再由正弦定理，因?yàn)闉殇J角，所以，可得，.
例42．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)14
【解析】
【分析】
（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
(1)
證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
(2)
解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
例43．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面積S的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用輔組角公式可得，結(jié)合題意可得；（2）利用正弦定理求得，結(jié)合題意可求，分析并利用面積公式求解．
(1)
在中，，即，
而，故或，
則或，因?yàn)椋剩?br>(2)
由正弦定理得：，，則，
由知：，，故，則，
所以，
例44．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．，．請(qǐng)?jiān)購(gòu)臈l件①：，；條件②：，．這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
(1)的值；
(2)c和面積S的值．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)條件選擇見(jiàn)解析，，
【解析】
【分析】
（1）若選①，由已知條件可得，得或，由于，則可得，進(jìn)而可求出，若選②，由已知條件可得，得或，由于，則可得，進(jìn)而可求出，
（2）若選①，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，則，求得，然后利用三角形面積公式可求得結(jié)果，若選②，由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可得，從而可得，則，然后利用三角形面積公式可求得結(jié)果，
(1)
若選①：，，
在中，，即，
而，故或，
則或，
∵，故，
∴；
若選②：，
在中，，即，
而，故或，則或，
由，得：，∴；
(2)
若選①：，，
由正弦定理得：，，則，
由知：，
故，
則，
∴，；
若選②：，
由正弦定理得：，∵
∴，即，，
∵，故，則，
∴
∴由余弦定理得，，得，
∴．
例45．（2022·北京·高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).
(1)
解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長(zhǎng)為.
例46．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（文））在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果；
（2）利用三角形的面積公式結(jié)合已知條件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周長(zhǎng).
(1)
解：因?yàn)椋?br>由正弦定理.
又，，所以，所以.
(2)
解：因?yàn)椋裕?br>又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周長(zhǎng)為.
例47．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)6或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．
(1)
∵，則
∵
∴，即
∵，則
∴
(2)
∵△ABC的面積為，則
∴
根據(jù)題意得，則或
若，則△ABC為等邊三角形，的周長(zhǎng)為6；
若，則，即，的周長(zhǎng)為
∴的周長(zhǎng)為6或
例48．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，
(1)求；
(2)若為銳角，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由條件結(jié)合正弦定理可得，與條件聯(lián)立可求.
（2）由余弦定理求，再根據(jù)三角形面積公式求的面積．
(1)
由正弦定理，可得，
又，，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以．
在中，因?yàn)?，所以，所以為銳角，
故．
(2)
由（1），得，
因?yàn)闉殇J角，所以，
由余弦定理，可得，
解得（舍去）或，
所以的面積為．
例49．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．
(1)
由于，，則．因?yàn)椋?br>由正弦定理知，則．
(2)
因?yàn)?，由余弦定理，得?br>即，解得，而，，
所以的面積．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩(shī)人王勃詩(shī)句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（）（精確到）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在中求得，由正弦定理得，再在中，計(jì)算即可.
【詳解】
由題意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
故選：D.
2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，,，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)同角公式可得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)正弦定理得，得，
所以.
故選：C.
3．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的值為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理得，結(jié)合余弦定理得，結(jié)合正弦定理對(duì)化簡(jiǎn)求解.
【詳解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故選：C.
4．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．則的值為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出，直接求出的值.
【詳解】
在中，因?yàn)椋?，?br>由正弦定理得：，解得：.
因?yàn)?，所?
所以.
故選：C
5．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由余弦定理求出、，再由面積公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：由余弦定理，即，又，
所以，，所以.
故選：C
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，則（）
A．16B．9C．－9D．－16
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理求出，再由數(shù)量積的定義及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：由余弦定理，可得，
所以．
故選：C．
7．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一個(gè)條件，即可使△存在且唯一.條件：①； ②；③中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為（）
A．①B．①②C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質(zhì)，直接計(jì)算即可判斷求解.
【詳解】
對(duì)于①，，所以，，得，所以，此時(shí)，△存在且唯一，符合題意；
對(duì)于②，，所以，，解得，因?yàn)椋?，，所以為銳角，此時(shí)，△存在且唯一，符合題意；
對(duì)于③，，所以，，得，進(jìn)而，
可得，明顯可見(jiàn)，，與矛盾，故③不符題意.
故可以選擇的條件序號(hào)為：①②
故選：B
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，三邊長(zhǎng)滿足，則的值為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方法一：利用正弦定理邊化角可得到，利用兩角和差正弦公式可得，結(jié)合二倍角公式可得，利用兩角和差余弦公式和同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果；
方法二：利用特殊值法，取，，，利用二倍角正切公式可求得，結(jié)合即可求得結(jié)果.
【詳解】
方法一：，由正弦定理得：，
，，；
，
，
，又，
，
，，，
，即，
整理可得：，
，，，，；
方法二：令，，，則滿足；
則可知：，；
由得：，解得：或，
，，，.
故選：C.
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．的周長(zhǎng)為D．的面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由正弦定理得，即可判斷A選項(xiàng)；由平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可判斷B選項(xiàng)；先由余弦定理得，再求出周長(zhǎng)即可判斷C選項(xiàng)；先求得，再求面積即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
由正弦定理得，整理得，即，A正確；
由可得，則，B正確；
由余弦定理得，又，可得，整理得，
的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
由上知：，，可得，則的面積為，D正確.
故選：ABD.
10．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知中，為外接圓的圓心，為內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（）
A．外接圓半徑為B．內(nèi)切圓半徑為
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
對(duì)A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；對(duì)B，利用三角形面積關(guān)系可求出；對(duì)C，由可求出；對(duì)D，由可求出.
【詳解】
在中，，所以，
設(shè)外接圓半徑為，則，則，故A錯(cuò)誤；
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故B正確；
因?yàn)?，?br>所以
，故C正確；
設(shè)內(nèi)切圓與三角形分別切于，則設(shè)，
，解得，所以，
則，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（）
A．則為等邊三角形；
B．已知，則；
C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；
D．在，，，解三角形有兩解．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一計(jì)算可得；
【詳解】
解：對(duì)于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；
對(duì)于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．
對(duì)于C：因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，，，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?，，所以，即解得，因?yàn)?，所以，所以三角形只?解；
故選：ABC
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足，則下列結(jié)論可能成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出，結(jié)合角的取值范圍以及正弦定理可得出結(jié)論.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
所以，，即.
所以，或，，或.
故選：AD.
三、填空題
13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若的周長(zhǎng)為15，，則的面積為_(kāi)__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先用正弦定理解得a=3，b=5，c=7，代入海倫公式即可解得.
【詳解】
解：可令
將上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因?yàn)椋?br>解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海倫公式解得：S=
故答案為：
14．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)，結(jié)合，利用正弦定理得到，進(jìn)而求得，再利用余弦定理，結(jié)合，求得a，b，c求解.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以,又，
所以，因?yàn)槭卿J角三角形，
所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，則，
所以的面積為，
故答案為：
15．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）沈陽(yáng)二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個(gè)“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖．若為測(cè)量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與、不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：
①測(cè)量、、；
②測(cè)量、、；
③測(cè)量、、；
④測(cè)量、、．
其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是_____________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用正弦定理可判斷①②，利用余弦定理可判斷③，根據(jù)已知條件可判斷④不滿足條件.
【詳解】
對(duì)于①，由正弦定理可得，則，
若且為銳角，則，此時(shí)有兩解，
則也有兩解，此時(shí)也有兩解；
對(duì)于②，若已知、，則確定，由正弦定理可知唯一確定；
對(duì)于③，若已知、、，由余弦定理可得，
則唯一確定；
對(duì)于④，若已知、、，則不確定.
故答案為：②③.
16．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，，則___________．
【答案】＃＃
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化邊及其余弦定理即可求解.
【詳解】
∵，∴,
由正弦定理得，
∵ ，∴，
由余弦定理得：，∴，
∴ ，
∴，解得，
又∵，∴,
將代入得,
由正弦定理可得，即，解得，
又∵，∴
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形中，，三角形的面積．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)或
(2)，或，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面積公式及，得到，分C為銳角和C為鈍角時(shí)，求出，進(jìn)而求出，求出；（2）由面積公式求出，分C為銳角和C為鈍角，由余弦定理和正弦定理求出答案.
(1)
∵
而
分情況討論，當(dāng)C為銳角時(shí)，，
∴
當(dāng)C為鈍角時(shí)，，
(2)
,
因?yàn)?，所以?br>分情況討論，當(dāng)C為銳角時(shí)，
由余弦定理，
由正弦定理，，
當(dāng)C為鈍角時(shí)，，
由余弦定理，
由正弦定理，，
18．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知三角形花園，頂點(diǎn)、、為花園的三個(gè)出入口，滿足，，（單位：米）．
(1)求三角形花園的面積（精確到平方米）；
(2)若三角形個(gè)內(nèi)角均小于，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)必滿足、、正好三等分點(diǎn)所在的周角，該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為．所以這個(gè)點(diǎn)也稱為三角形的等角中心．請(qǐng)根據(jù)此知識(shí)求出三角形花園的最佳會(huì)合點(diǎn)到三個(gè)出入口的最小距離和（滿足到三個(gè)出入口的距離和最小）．
【答案】(1)平方米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果；
（2）利用三角形面積公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，進(jìn)而可求得的值，即可得解.
(1)
由余弦定理可得，則為銳角，
所以，，
所以，（平方米）.
(2)
解：中，最長(zhǎng)，，則為銳角，
故為銳角三角形，
由（1）可知，
所以，，
根據(jù)余弦定理可得，
同理可得，，
以上三個(gè)等式相加可得，
所以，，
因此，，
則（米）.
因此，三角形花園的最佳會(huì)合點(diǎn)到三個(gè)出入口的最小距離和為米.
19．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期以及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求c的值．
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性可求得答案；
（2）根據(jù)圖象的平移求得函數(shù)，繼而由已知求得角B，根據(jù)余弦定理可求得答案.
(1)
解：∵，
∴的最小正周期為．
∵，∴，
∴，解得，
所以的最小正周期為，在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．
(2)
解：由已知得，
由，得，∵，∴，
∴，∴所以．
又，由余弦定理得，
∴，
∴或．
20．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化簡(jiǎn)可得答案；（2）由三角形的面積公式可得b值，由余弦定理可得a值，結(jié)合面積公式可得高.
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC邊上的高為．
21．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中．．
(1)求角；
(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，由此可求得；
（2）利用面積橋可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得結(jié)果.
(1)
，；
，，，解得：.
(2)
是中點(diǎn)，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，
，則，.
22．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知對(duì)任意，，都有：，若的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，若，求的面積S.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)題給恒等式和正弦定理，即可順利解得三角形邊長(zhǎng)c；
（2）數(shù)形結(jié)合列方程解得邊長(zhǎng)a后，即可求得的面積S.
(1)
由對(duì)任意，，都有：，
可得，
設(shè)的外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理，有：
，故：，
所以：
由，故，則，
所以，，即
(2)
如圖所示：，，，
由，，得，又
所以，，
則，解得，故有：
所以的面積
故的面積為3.
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常見(jiàn)變形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無(wú)解

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