知識點一：直線的傾斜角和斜率
1．直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2．直線的斜率
設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當(dāng)時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關(guān)系
當(dāng)時，直線平行于軸或與軸重合；
當(dāng)時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當(dāng)時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減?。?br>3．過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4．三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
知識點二：直線的方程
1．直線的截距
若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2．直線方程的五種形式
3．求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）
4．線段中點坐標(biāo)公式
若點的坐標(biāo)分別為且線段的中點的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點坐標(biāo)公式．
5．兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
【題型歸納目錄】
題型一：傾斜角與斜率的計算
題型二：三點共線問題
題型三：過定點的直線與線段相交問題
題型四：直線的方程
題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題
題型六：兩直線的夾角問題
題型七：直線過定點問題
題型八：軌跡方程
題型九：中點公式
【典例例題】
題型一：傾斜角與斜率的計算
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】由題意，當(dāng)時，傾斜角，
當(dāng)時，，即傾斜角為銳角；
綜上得：．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】過A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，
故選：A．
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線（ ）上.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由為第二象限角可得，則，
則角的終邊落在直線即上.
故選：B.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由斜率的定義可知，.
故選：A．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若一次函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的斜率為即
故選：D．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為直線的斜率為，且，
，因為，
.
故選：A.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由直線的方程為，
所以，
即直線的斜率，由.
所以 ，又直線的傾斜角的取值范圍為，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可得：直線的傾斜角為.
故選：B
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線的方程是傾斜角為，
當(dāng)時，直線的斜率不存在，則；
當(dāng)時，.
若，則，求得；
若，則，求得.
綜上可得，的取值范圍為.
故選：B.
例9．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．若直線的傾斜角為，則
B．直線的傾斜角的取值范圍為
C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
【答案】ACD
【解析】因為直線的傾斜角的取值范圍是，即，所以，
當(dāng)時直線的斜率，故A、C均錯誤；B正確；
對于D：若直線的斜率，此時直線的傾斜角為，故D錯誤；
故選：ACD
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，兩點，則直線l的斜率為______；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為______．
【答案】 或.
【解析】由題易知直線l的斜率存在，故.
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以或，即直線l的傾斜角的取值范圍是或.
故答案為：；或.
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角為α，則sin2α的值為___________.
【答案】
【解析】由題可知，，
則.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當(dāng)時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認識．
題型二：三點共線問題
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若三點共線，則a的值為_________．
【答案】
【解析】由三點共線
故
故答案為：.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，三點共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于、、三點共線，
則，即，解得.
故選：A.
例14．（2022·北京·高三期末）已知、、三點共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實數(shù)的值.
【詳解】
由于、、三點共線，則，即，解得.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
題型三：過定點的直線與線段相交問題
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍．
【解析】因為，，由與線段相交，
所以，
所以或，
由于在及均為增函數(shù)，
所以直線的傾斜角的范圍為：.
故傾斜角的范圍為，斜率k的范圍是.
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直線方程變形得：.
由得，∴直線恒過點，
，，
由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，
又，
∴或，即或，
又時直線的方程為，仍與線段相交，
∴的取值范圍為.
故選：C.
例17．（2022·陜西·西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知點在直線上，且滿足，則的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】如圖，作出直線及，它們的交點為，
直線上滿足的點在點右下方，
，又直線的斜率為，，
由圖可得的范圍是．
故答案為：．
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是 ________．
【答案】[1，2]
【解析】設(shè)，則可以看成過點與坐標(biāo)原點的直線的斜率.
當(dāng)點在線段上由點運動到點時，直線的斜率由增大到，如圖所示.
又，，所以，即的取值范圍是[1，2].
故答案為：[1，2]
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為點在函數(shù)的圖象上，
所以時， ；當(dāng)時，；
故設(shè)
而可看作函數(shù)的圖象上的點與點 （-1，-2）連線的斜率，
故時，,
而 ,所以
故選：B.
例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】如下圖示，
當(dāng)直線過A時，，
當(dāng)直線過B時，，
由圖知：或.
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時，在與的兩邊．
題型四：直線的方程
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題中真命題有_________個．
①經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示；
②經(jīng)過任意兩點的直線都可以用方程表示；
③不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示；
④經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直線過定點，當(dāng)直線斜率存在時，可用方程表示，
當(dāng)直線斜率不存在時，方程是，①不正確；
②當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點的直線方程是，滿足方程，
當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點的直線的斜率是，
則直線方程是，整理得，②正確；
③當(dāng)直線斜率不存在時，不經(jīng)過原點的直線方程是，不可以用方程表示，
當(dāng)直線的斜率存在時，不經(jīng)過原點的直線可以用方程表示，③不正確；
④當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)過點的直線方程是，不可以用方程表示，
當(dāng)直線的斜率存在時，經(jīng)過點的直線可以用方程表示，④不正確，
所以給定的4個命題中，真命題只有1個.
故答案為：1
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l過點，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為______條．
【答案】3
【解析】當(dāng)坐標(biāo)軸截距為0時，設(shè)方程為，
將代入得：，所以方程為；
當(dāng)坐標(biāo)軸截距不為0時，設(shè)方程為，
則有，解得：，或，
從而方程為或
所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.
故答案為：3
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.
故選：C.
例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過兩點和的直線在y軸上的截距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知直線方程為：，即，
令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.
故選：C.
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
例26．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】把坐標(biāo)代入兩條直線和,得
,,
,
過點,的直線的方程是：,
,則,
,,
所求直線方程為：．
故選 ：A.
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
【答案】D
【解析】當(dāng)時，直線，此時不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；
當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.
由，解得：.
故的值是2或1.
故選：D
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且與兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】B
【解析】①當(dāng)直線的兩坐標(biāo)軸上的截距為0時，設(shè)直線方程為，由題意有，則，∴直線方程為滿足條件；
②當(dāng)直線的兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時，設(shè)的方程為．把點代入直線方程得．解得，從而直線方程為.
故滿足條件的直線方程為和．
故選：B．
例29．（2022·北京西城·高三階段練習(xí)（理））已知直線不通過第一象限，則實數(shù)的取值范圍__________．
【答案】
【解析】
由題意得直線恒過定點，且斜率為，
∵直線不通過第一象限，
∴，解得，
故實數(shù)的取值范圍是．
答案：
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】由，，，
知直線斜率，在軸上截距為，
所以此直線必不經(jīng)過第三象限.
故選：C
例31．（2022·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因為直線經(jīng)過第一、二、四象限，則該直線的斜率，可得，
該直線在軸上的截距，可得.
故選：C.
例32．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】當(dāng)截距為0時，過點和原點，直線方程為，即，
當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為，可得，
∴，所以直線方程為,
故選：AC.
例33．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點，并且在兩軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】若直線過原點，則直線的方程為，
將點代入得，所以直線方程為，即；
若直線不過原點，根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，
將點代入得，故直線的方程為；
所以直線的方程為：或．
故選：AB．
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題
例35．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有一條
B．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有二條
C．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有三條
D．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有四條
【答案】A
【解析】由題意，直線與軸、軸交點分別為，，
∴，作出其圖象如圖所示，

由圖知，當(dāng)時，有兩解；當(dāng)時，有三解；當(dāng)時，有四解.
故選：A
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知過定點直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直線可變?yōu)?，所以過定點，又因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.
故選：C.
例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點P(4，3)，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標(biāo)原點.
（1）若點O到直線l的距離為4，求直線l的方程；
（2）求△OAB面積的最小值.
【解析】】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，即，
則，解得．
故直線的方程為，即；
（2）直線的方程為，
，，依題意，解得，
則的面積為．
則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．
故面積的最小值為．
例38．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點、，設(shè)過點的直線l與的邊AB交于點M（其中點M異于A、B兩點），與邊OB交于N（其中點N異于O、B兩點），若設(shè)直線l的斜率為k．
(1)試用k來表示點M和N的坐標(biāo)；
(2)求的面積S關(guān)于直線l的斜率k的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)k為何值時，S取得最大值？并求此最大值．
【解析】(1)由已知得直線l斜率存在，設(shè)．
由，得；又，所以.
由，得．
(2).
(3)設(shè)，則．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
例39．（2022·湖北孝感·高二期中）已知直線的方程為點的坐標(biāo)為.
(1)證明：直線一定經(jīng)過第一象限；
(2)設(shè)直線與軸?軸分別交于，兩點，當(dāng)點到直線的距離取得最大值時，求的面積.
【解析】(1)直線：，整理可得：，
∴直線恒過和的交點，即直線恒過定點在第一象限，
∴直線一定經(jīng)過第一象限；
(2)由（1）可得：直線恒過定點，
當(dāng)與垂直時，到直線的距離最大，為，
又，故直線的斜率為，即，可得，
直線的方程為：，
令得：；令得：，即，，
∴，
∴.
例40．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)直線的方程為．
(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，求為坐標(biāo)原點）面積的最小值．
【解析】(1)對于直線的方程為，
當(dāng)直線經(jīng)過原點時，，求得，此時它的方程為；
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，它的方程即，由于它兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
故有，求得，它的方程為，
綜上可得，的一般式方程為，或．
(2)因為，令，則，令，則，所以，，
與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，
的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，求得．
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故為坐標(biāo)原點）面積的最小值為6．
例41．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線，相交于點，其中.
（1）求證：、分別過定點、，并求點、的坐標(biāo)；
（2）求的面積；
（3）問為何值時，最大？
【解析】（1）在直線的方程中令可得，則直線過定點，
在直線的方程中令可得，則直線過定點；
（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點.
，
，
，所以，；
（3）且，因此，當(dāng)時，取得最大值，即.
例42．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二期中）已知，為實數(shù)，過原點分別作直線，的垂線，垂足分別為， .
（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點，當(dāng)面積最小時，求實數(shù)的值；
（2）若直線過點，設(shè)直線與的交點為，求證：點在一條直線上.
【解析】（1）
直線，
令，
令，
，
，
當(dāng)時，，
面積最小時，實數(shù)的值為；
（2）原點的直線距離為，
同理原點的直線距離為，所以為圓的切線，
為切點，直線過點，且直線與相交于，
不在軸上，設(shè)，
所以直線化為，整理得，
同理方程為，設(shè)與的交點為，
所以有，
所以直線方程為，且過點，
，即點在直線上.
例43．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【解析】(1)因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即；
(2)設(shè)，，直線l的方程為，代入點可得，
若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即；
若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即面積最小為4，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即.
例44．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點.
(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；
(2)若直線與x，y軸分別交于A，B兩點且斜率為負，O為坐標(biāo)原點，求的最小值.
【解析】(1)當(dāng)直線過原點時，
則直線的方程為在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線l的方程為，
將點代入得，解得，
所以直線的方程為，
綜上所述直線的方程為或；
(2)設(shè)直線的方程為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
例45．（2022·全國·高二）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．
(1)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；
(2)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．
【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為,則,
直線l過點,,
又(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),
,即,
的最小值為8,此時直線l的截距式方程為.
(2)由（1）可知,,則,
(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號).
的最小值為4,此時直線l的截距式方程為.
例46．（2022·浙江·紹興一中高二期中）如圖，過點的直線l交x軸，y軸正半軸于A?B兩點，求使：
(1)面積最小時l的方程；
(2)最小時l的方程.
【解析】(1)設(shè)直線的方程為，
直線過點，
．
，
．．
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取最小值4，
此時直線的方程為，即．
(2)由，得，
變形得，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時，取最小值4．
此時直線的方程為．
例47．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當(dāng)面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
【解析】(1)設(shè)直線，且
∵直線過點
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
所以的最小值為，
直線1即.
(2)由
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
∴此時直線,
故的最小值為9，此時直線l的方程.
例48．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知直線：．
（1）求經(jīng)過的定點坐標(biāo)；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當(dāng)取最小值時，求直線的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以經(jīng)過的定點坐標(biāo)；
（2）直線：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，的最小值為，
此時直線的方程為：即；
②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，
所以，
令，
因為，可得，，
，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以
，所以，此時，
可得，所以，
所以直線的方程為.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標(biāo)，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
題型六：兩直線的夾角問題
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與的夾角為________．
【答案】
【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，
直線的斜率，即傾斜角滿足，
所以，
所以，
又兩直線夾角的范圍為，
所以兩直線夾角為，
故答案為：.
例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為___________.
【答案】3
【解析】直線的斜率，直線的斜率，
設(shè)底邊所在直線為，
由題意，與的夾角等于與的夾角，
于是有，即，
化簡得，解得或，
因為原點在等腰三角形的底邊上，所以.
故答案為：3.
例51．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是________．
【答案】
【解析】因為直線的傾斜角為，的傾斜角為，且
由解得兩直線的交點坐標(biāo)為，所以可設(shè)兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
∴，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
故答案為：．
例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，，若直線l過且與直線m?n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線的斜率為，
直線，，兩直線相交于點，設(shè)，
點在直線上，直線與直線相交于點，
為等腰銳角三角形，
則，則，
故必為頂點，必有
則有，
必有，解可得：或，
則，
故選：．
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（ ）
A．或2B．或3C．或4D．或5
【答案】C
【解析】因為等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，即，
設(shè)其傾斜角為，則，
因為斜邊與直角邊的傾斜角相差45°，則斜邊的傾斜角為或，
所以，
，
所以斜邊所在直線的斜率為或4．
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
若直線與直線的夾角為，則.
題型七：直線過定點問題
例54．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】把直線的方程改寫成：，
由方程組，解得：，所以直線總過定點，
故答案為：
例55．（2022·上海市中國中學(xué)高三期中）動直線，恒過的定點是________
【答案】
【解析】∵，
∴
∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點（2，2）．
故答案為：．
例56．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)m，n滿足，則直線必過定點________________．
【答案】
【解析】由已知得，
代入直線得，
即，
由，解得，
直線必過定點，
故答案為:.
例57．（2022·上海·高三專題練習(xí)）對任意的實數(shù)，，直線恒經(jīng)過的一個定點的坐標(biāo)是________．
【答案】
【解析】由直線整理得
對任意的實數(shù)，，直線恒經(jīng)過的一個定點.
所以，解得
由點代入直線，
滿足
所以點在直線上，
即直線恒過定點
故答案為:
例58．（2022·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線恒過定點A，點A在直線上，其中m、n均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直線恒過定點，即，
∵點A在直線上，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．∴的最小值為：8．
故選:C．
例59．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））已知向量，，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為，故，整理得到：，
故定點為：.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
合并參數(shù)
題型八：軌跡方程
例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程
【解析】設(shè)，則，，又，
∴，
當(dāng)，且時，恒成立；當(dāng)時，；
綜上，M的軌跡方程為(且)或().
例61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于點，交軸于點，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形，
化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程.
綜上可知，點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0.
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是坐標(biāo)原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.
【解析】設(shè)，則，，
即，解得
即
例63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________．
【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】
【詳解】
直線＋＝1與x，y軸的交點為A(a,0)，B(0,2－a)，
設(shè)AB的中點為M(x，y)，
則x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點坐標(biāo)分別為，點在線段OA上（異于端點），設(shè)均為非零實數(shù)，直線分別交于點E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．
【答案】
【解析】由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程．
例65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)系中，已知兩點，，點滿足，其中，且．則點的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，且λ+μ＝1，
得，
∴，即，則C、A、B三點共線．
設(shè)C（x，y），則C在AB所在的直線上，
∵A（2，1），B（4，5），
∴AB所在直線方程為 ，整理得：．
故的軌跡方程為：．
故選：A
【方法技巧與總結(jié)】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）
題型九：中點公式
例66．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】
設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，求得關(guān)于的對稱點坐標(biāo)，利用對稱點在直線上求得，即得點坐標(biāo)，從而得直線方程．
【詳解】
設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
故答案為：x＋4y－4＝0.
例67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.
【解析】設(shè)l1與l的交點為A(a，8-2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4，0)在直線l上，
∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.
例68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
【解析】
則直線過定點
設(shè)直線與直線交于點，與軸交于點，依題意為中點
在中令，則，即
所以，
即，將其代入直線中可得
解之得
【方法技巧與總結(jié)】
若點的坐標(biāo)分別為且線段的中點的坐標(biāo)為，則
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.
直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故選:D.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】A
【解析】直線的傾斜角為，
所以直線的斜率為，因為，
則.
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】B
【解析】由題，，直線的傾斜角為，故
故選：B
4．（2022·上海市實驗學(xué)校模擬預(yù)測）已知點與點在直線的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，有最小值，無最大值；
③；
④當(dāng)且時，的取值范圍是.
正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】將代入有，
而與在的兩側(cè)，則，①錯誤；
由上知：且，則在直線上方與y軸右側(cè)部分，
所以，故無最值，②錯誤；
由上圖知：在直線左上方，則，③正確；
由過且且，即在直線上方與y軸右側(cè)部分，
而表示與連線的斜率，由圖知：，④正確.
故選：B
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，三個數(shù)成等差數(shù)列，直線恒過定點，且在直線上，其中，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】易知，則，整理得，由解得，
則，則，即，又，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，故的最小值為.
故選：B.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，且軸正半軸?軸正半軸交于兩點，當(dāng)面積最小時，直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，直線不與軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為， 則，
因此，直線，
令則有，則，
令則有，則.
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等（舍去），
故面積最小值為4，此時，即.
故選：C.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，，則的取值范圍是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
【答案】C
【解析】集合表示直線上去掉點所構(gòu)成的兩條射線，
在方程中，令可得，
集合表示過定點且斜率存在的直線，
由得兩直線斜率不同，則，解得．
故選：C.
8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知直線過定點，直線過定點，與的交點為，則面積的最大值為（ ）
A．B．
C．5D．10
【答案】C
【解析】由直線的方程是得直線過定點，同理直線方程為，即，所以定點，
又，所以，即在以為直徑的圓上，
，由圓的性質(zhì)知點到的距離最大值等于圓半徑，即，
所以面積的最大值為．
故選：C．
二、多選題
9．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）設(shè)直線系：，則下面四個命題正確的是（ ）
A．直線系中包含傾斜角為和的直線
B．點到直線系中的所有直線的距離恒為定值
C．直線系中能構(gòu)成三角形的任意三條直線所圍成的三角形面積都相等
D．存在點不在直線系中的任意一條直線上
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時，直線系：，傾斜角為；當(dāng)時，直線系：，傾斜角為，故A正確；
點到直線系中的所有直線的距離為，故B正確；
因為點到直線系中的所有直線的距離恒為定值1，
所以直線系中的所有直線均為圓的切線，
取其中4條直線分別為，，，
如圖所示，直線所圍成的與的面積不相等，故C錯；
存在點不在直線系中的任意一條直線上，D正確．
故選：ABD
10．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知兩點，，曲線C上存在點P滿足，則曲線的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
由，知點一定在AB的垂直平分線上，
，
因為線段AB的中點坐標(biāo)為，
所以的方程為.
則滿足條件的曲線要與有交點.
與平行，故無交點，選項A錯誤；
是圓心為，半徑的圓，圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，故B正確；
把直線與雙曲線進行聯(lián)立，，得，，
所以與雙曲線存在交點.故選項C正確；
將直線的方程代入，得，方程無實數(shù)解.
故拋物線與直線無交點.故選項D錯誤；
故選：BC.
11．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知直線的方程為，則下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)變化時，直線始終經(jīng)過第二、第三象限
B．當(dāng)變化時，直線恒過一個定點
C．當(dāng)變化時，直線始終與拋物線相切
D．當(dāng)在內(nèi)變化時，直線可取遍第一象限內(nèi)所有點
【答案】AC
【解析】由題斜率時，軸截距，此時直線經(jīng)過第一、第二、第三象限；
斜率時，軸截距，此時直線經(jīng)過第二、第三、第四象限；故A正確；
當(dāng)變化時，直線顯然不恒過一個定點，故B錯誤；
聯(lián)立方程，可得，所以，所以直線與拋物線只有一個交點，
又，所以當(dāng)變化時，直線始終與拋物線相切，故C正確；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)在內(nèi)變化時，直線不可以取遍第一象限內(nèi)所有點，故D錯誤．
故選：AC.
12．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高三階段練習(xí)）以下命題正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角為，則其斜率為
B．已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面
C．不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示
D．若點在線段（）上運動，則的最大值為
【答案】BD
【解析】對于A：因為傾斜角的取值范圍為，當(dāng)，斜率不存在，故A錯誤；
對于B：由，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，即，則，，，四點共面，故B正確；
對于C：平行于軸或軸的直線不能用方程表示，故C錯誤；
對于D：因為點在線段上運動，所以，因為，所以，，所以，故的最大值為，故D正確；
故選：BD
三、填空題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l過點，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為______條．
【答案】3
【解析】當(dāng)坐標(biāo)軸截距為0時，設(shè)方程為，
將代入得：，所以方程為；
當(dāng)坐標(biāo)軸截距不為0時，設(shè)方程為，
則有，解得：，或，
從而方程為或
所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.
故答案為：3
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，
所以直線方程為，
由，
由，由題意可知：是截得的線段的中點，
所以，即，
故答案為：
15．（2022·上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）直線：與直線：夾角的正切值為______．
【答案】．
【解析】直線：的斜率為，直線：的斜率為，
設(shè)直線：與直線：的夾角為，則，
故答案為：．
16．（2022·上海虹口·二模）設(shè)，，三條直線：，：，：，則與的交點到的距離的最大值為_________.
【答案】
【解析】因為，所以，
而直線：即過定點，
：即過定點，
所以與的交點在以為直徑的圓上，
圓方程為，即，
所以到的距離的最大值為．
故答案為：．
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】由題意，當(dāng)時，傾斜角，
當(dāng)時，，即傾斜角為銳角；
綜上得：．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，，，若直線與線段恒有公共點，求的取值范圍.
【解析】
故直線過定點
如下圖所示：
，
若直線與線段恒有公共點，則或
即
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
【解析】(1)設(shè)，因為三點不共線，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
整理得，即，
所以直角頂點的軌跡方程為.
(2)設(shè)，
因為，是線段的中點，
由中點坐標(biāo)公式得，所以，
由（1）知，點的軌跡方程為，
將代入得，即
所以動點的軌跡方程為.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)所給條件求直線的方程：
（1）過點P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直線過點(－3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12.
【解析】（1）由題設(shè)知，直線l的方程為y－4＝3(x＋2)，即3x－y＋10＝0.
（2）由題設(shè)知：橫、縱截距均不為0，故可設(shè)直線方程為.
∵直線過點(－3，4)，
∴，解得a＝－4或9.
故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線的交點為.
（1）若直線過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程；
（2）若直線過點且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點，的面積為，求直線的方程．
【解析】（1）由 得 即交點．
由直線過點，且點和點到直線的距離相等，
可知或過的中點．
當(dāng)由得，
所以直線的方程為即.
當(dāng)直線過的中點時，直線的方程為.
綜上所述：直線的方程為或．
(2)由題可知直線的橫、縱截距，都存在，且，，
則.又直線過點，的面積為，
所以，解得，
故直線的方程為，即.
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，求的最大值.
【解析】將變形，得，
顯見是直線（，）過定點.
如圖.
設(shè)
顯然有：，，
，，其中.
∴
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值.
名稱
方程
適用范圍
點斜式
不含垂直于軸的直線
斜截式
不含垂直于軸的直線
兩點式
不含直線和直線
截距式
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線
一般式
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

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