解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
【題型歸納目錄】
題型一：妙用兩次正弦定理
題型二：兩角使用余弦定理
題型三：張角定理與等面積法
題型四：角平分線問題
題型五：中線問題
題型六：高問題
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
題型八：外心及外接圓問題
題型九：兩邊夾問題
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
【典例例題】
題型一：妙用兩次正弦定理
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，， 求的取值范圍.
例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設(shè).
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
例3．（江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，點(diǎn)在邊上，滿足，且．
(1)求證：；
(2)求．
例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．
(1)證明：．
(2)若，，求PC．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面積；
(2)若，求．
例6．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．
(1)若，求的面積；
(2)若，求BC．
例7．（2019·安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).
（1）求；
（2）若為邊上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，，.求．
例8．（2022·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面積；
(2)若，，，求∠ACB的值．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
例11．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，，.
(1)當(dāng)，時，求的面積；
(2)當(dāng)，時，求.
題型二：兩角使用余弦定理
例12．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.
(1)證明：，；
(2)若，，求的最小值.
例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內(nèi)一點(diǎn)滿足.
(1)若，求的值；
(2)若，求的長.
例14．（2022·江蘇·泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在凸四邊形中，已知．
(1)若，，求的值；
(2)若，四邊形的面積為4，求的值．
例15．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．
(1)證明：；
(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．
①； ②．
注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
題型三：張角定理與等面積法
例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是 的角平分線，且，，求 的面積.
例19．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）在中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，且
(1)求；
(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.
例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
例21．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分線，求的長．
例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．
①BD是的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（從①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．
題型四：角平分線問題
例24．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且
(1)求的值；
(2)給出以下三個條件：
條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：
（i）求的值；
（ii）求的角平分線的長.
例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.
(1)求角；
(2)角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，若，，求.
例26．（2022·北京八十中模擬預(yù)測）在△ABC中，.
(1)求B的值；
(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分線BD的長.
例27．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））如圖，在中，D為邊BC的中點(diǎn)，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若，，，求DE．
例28．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，的平分線交于點(diǎn)，且．
(1)求；
(2)若，求．
例29．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且的面積為．
(1)求；
(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，求．
題型五：中線問題
例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大?。?br>(2)若邊上的中線，求的面積.
例31．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中．．
(1)求角；
(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求的長．
例32．（2022·海南?？凇ざ＃┰谥?，角的對邊分別為已知，．
(1)求；
(2)若，邊的中點(diǎn)為，求．
例33．（2022·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大??；
(2)設(shè)D，E分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，已知的周長為，且，若，求a．
例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個內(nèi)角的對邊，若．
(1)求角；
(2)若，，D為的中點(diǎn)，求的長度．
例35．（2022·湖北·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若.
(1)求角；
(2)若，點(diǎn)在線段上，且是線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求.
例36．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，AC的中點(diǎn)為D，求BD的長．
題型六：高問題
例37．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．
例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）從①為銳角且sinB－csC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長．
例39．（2022·北京房山·二模）在中，.
(1)求；
(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.
條件①：；條件②：；條件③：的面積為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
例40．（2022·山東青島·一模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，邊上的高為，求邊．
例41．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
(1)求角；
(2)若，，求邊上的高.
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
例42．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點(diǎn)P．
(1)的余弦值．
(2)求四邊形的面積.
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）G是的重心，分別是角的對邊，若，則（ ）
A．B．C．D．
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為（ ）
A．B．C．3D．
例45．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．
(1)求；
(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長．
題型八：外心及外接圓問題
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.
例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)為的外心，若，則（ ）
A．B．C．D．
例48．（2022·廣東·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補(bǔ)充在橫線處，并作答.
①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.
(1)求；
(2)若，__________，求的面積.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.
例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個條件中選擇一個補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①O為的內(nèi)心；②O為的外心．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面積．
例50．（2022·江蘇省白蒲高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.
例51．（2022·遼寧·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.
(1)若，求外接圓的直徑；
(2)若，求的周長.
例52．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知的數(shù)．
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．
例53．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長.
題型九：兩邊夾問題
例54．（2021?雙流區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的值是
A．2B．C．D．1
例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對的角分別為，，，若，則 ．
例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角 ．
例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對邊分別為，，，設(shè)是的面積，若，則角的值是 ．
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
例58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.
(1)求的大小；
(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，________，求的面積.
請?jiān)谙铝腥齻€條件中選擇一個作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題.
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內(nèi)心，.
例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)設(shè)M和N分別是ΔABC的重心和內(nèi)心，若MN//BC且c=2，求a的值．
例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A為銳角，，，再從條件①：，條件②：，這兩個條件中選擇一個作為已知.求：
(1)角A；
(2)的內(nèi)切圓半徑r.
例61．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（文））在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，且．
(1)求角和邊的大??；
(2)求△的內(nèi)切圓半徑．
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，是上一點(diǎn)，平分.
(1)求證：；
(2)若，，，求的內(nèi)切圓面積.
例63．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，分別為角的對邊，且.
（1）求角；
（2）若的內(nèi)切圓面積為，求面積的最小值.
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的對稱軸；對稱中心；單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，分別是所對的邊，當(dāng)時，求內(nèi)切圓面積的最大值.
例65．（2022·河南南陽·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.
例66．（2022·陜西·模擬預(yù)測（文））已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，設(shè)O為的內(nèi)心，則的面積為_________．
例67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，若，則cs∠BAC = （ ）
A．B．C．D．

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