一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．
【方法技巧與總結(jié)】
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數(shù)型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
【題型歸納目錄】
題型一：通項分析法
題型二：公式法
題型三：錯位相減法
題型四：分組求和法
題型五：裂項相消法
題型六：倒序相加法
題型七：并項求和
題型八：先放縮后裂項求和
題型九：分段數(shù)列求和
【典例例題】
題型一：通項分析法
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求和．
【解析】∵
，
∴．
例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項和為
A．B．C．D．
【解析】解數(shù)列通項，
．
故選：．
例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．
【解析】解：由于，
所以前項之和
．
【方法技巧與總結(jié)】
先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識．
題型二：公式法
例4．已知等差數(shù)列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和．
【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得
解得，，
的通項公式為．
（2）由得
，
是首項為，公比的等比數(shù)列．
．
例5．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標(biāo)為，，2，，．
（Ⅰ）試求與的關(guān)系；
（Ⅱ）求．
【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，
由得
點處切線方程為
由得．
（Ⅱ），，得，
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/7/10 12:47:46；用戶：18316341968；郵箱：18316341968；學(xué)號：32362679
【方法技巧與總結(jié)】
針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．
題型三：錯位相減法
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.
【答案】 ； ．
【解析】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即；
，而，設(shè)
，
，作差得：
，所以，所以
．
故答案為：；．
例7．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和，記，則數(shù)列的前n項和_______.
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
兩式相減得：，
所以
故答案為：
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時，恒有，設(shè)的前項和為，則所有正確結(jié)論的序號是___________.
①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④
【答案】②③④
【解析】設(shè)與交于點，，
，
，，共線，所以存在實數(shù)，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比數(shù)列，①錯；
因為，所以，即，所以是等差數(shù)列，③正確；
又因為，則，即，，
所以當(dāng)時，，即，
所以是遞減數(shù)列，②正確；
因為，
，
所以兩式相減得
，
所以，④正確.
故答案為：②③④.
例9．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)因為，所以，所以，
所以，當(dāng)時，，，
所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，所以；
(2)由得，所以，，
兩式相減，得，，所以.
例10．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若數(shù)列滿足，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)因為數(shù)列滿足，，，所以.
所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（）.
所以，解得：.
所以.
即的通項公式為.
(2)由（1）可知：，所以，
所以 ①
得： ②
①-②得：
所以
例11．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由題意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，
所以
(2)，
則①，
②，
兩式相減得：
，
所以
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項和為，且滿足．
(1)求{}和{}的通項公式；
(2)若，數(shù)列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】(1)解：等差數(shù)列{}中，設(shè)公差為d，
則
數(shù)列{}中的前n項和為，且①
當(dāng)時，
當(dāng)時，②
②－①得：
故數(shù)列{}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.
(2)解：數(shù)列{}中，.
則
所以
故
所以
∵對恒成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
綜上：實數(shù)m的取值范圍為．
【方法技巧與總結(jié)】
錯位相減法求數(shù)列的前n項和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．
（2）基本步驟
（3）注意事項
①在寫出與的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．
等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型四：分組求和法
例13．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列{}滿足，．
(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)由題意可得：
∵
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列
則，即
因此{(lán)}的通項公式為
(2)由（1）知，令則
所以．
．
綜上．
例14．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)解：因為，①
當(dāng)時，．②
①②得，所以．
當(dāng)時，，也滿足上式，
所以．
(2)解：因為，
則，
則．
例15．（2022·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，
可得，
解得，
∴；
(2)∵數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴，
又，可得，
所以
．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．
（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
題型五：裂項相消法
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
(2)
∴
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項和，證明：．
從① ②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.
【解析】(1)①，
當(dāng)時，，；當(dāng)時，②
①-②得，即
又，
∴數(shù)列是從第2項起的等比數(shù)列，即當(dāng)時，．
．
(2)若選擇①：，
．
若選擇②，則③，④，
③-④得，
．
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數(shù)列{}的通項公式：
(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.
【解析】(1)正項數(shù)列{}，，滿足，所以，
所以數(shù)列{}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時也成立，
所以.
(2)因為
所以，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，，
由{}遞增，得，
所以的最小值為.
例19．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項為正數(shù)，其前項和滿足．
(1)求實數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)當(dāng)時，，，解得；
當(dāng)時，把代入題設(shè)條件得:
，即，
很顯然是首項為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，
∴；
(2)由（1）知是首項為，公比的等比數(shù)列，
所以，．
故數(shù)列的前項和為：
.
例20．（2022·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，.
(1)求與；
(2)設(shè)，，求的前項和.
【解析】(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，，
，，
，，
，即，
解得（舍去），或，
，，
，.
(2)由（1），可得，
則，
.
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項和為，且，記.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求.
【解析】(1)，當(dāng)時，；
當(dāng)，時，，.
當(dāng)時也符合, .
(2)
.
例22．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)等差數(shù)列中，，解得，因，，成等比數(shù)列，即，
設(shè)的公差為d，于是得，整理得，而，解得，
所以.
(2)由（1）知，，
所以.
例23．（2022·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.
【解析】(1)證明：當(dāng)時，
∴
當(dāng)時，
，
∴
∴數(shù)列是以2為公比，首項的等比數(shù)列
(2)由（1）知，，代入得
∴
由，，
，所以
∴
綜上所述
例24．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)當(dāng)時，，
∵，∴.
當(dāng)時，由，得，
兩式相減得
即
∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列
∴，
∴
(2)∵
∴數(shù)列的前項和
例25．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項.
(1)求；
(2)設(shè)，求的前n項和.
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，
則，得，得，
因為，所以，解得，
所以，
所以，，所以等比數(shù)列的公比，
所以.
(2)，
所以
.
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，
可得，化簡得，
即，所以．
(2)由（1）得，
所以
所以
..
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，；數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時，求證：．
【解析】(1)解：因為，由，得，
所以，即，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
所以，
所以．
由，，得，，
兩式相減得，
即，
又，
所以數(shù)列是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，
則；
(2)由（1）知：，
，
∴
．
例28．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，若，是和的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前20項和.
【解析】(1)由題意知，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
因為，解得
又，可得，
所以數(shù)列是以1為首項和公差為1的等差數(shù)列，
所以，
(2)由（1）可知，
設(shè)數(shù)列的前和為，則
，
所以
所以數(shù)列的前20和為
例29．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.
【解析】(1)由，得當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
，
數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
.
由，，，，
得，，…，，
累加得
，
，.
(2)由（1）得
，
，
，即常數(shù)k的最小值為.
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項和為，且.數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)求證：.
【解析】(1)
當(dāng)時，
，
，
又
，經(jīng)檢驗符合上式，
(2).
.
另解：
.得證
例31．（2022·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足
(1)求、的值及數(shù)列{}的通項公式：
(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和
【解析】(1)因，取和得：，
即，解得，由得：，
數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列，則，即，
當(dāng)時，，而滿足上式，因此，，
所以，數(shù)列{}的通項公式.
(2)由（1）知，當(dāng)時，，
因此，，，
則，滿足上式，
所以.
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．
(1)求出，的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．
【解析】(1)由，
得．又，
則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
數(shù)列滿足，①
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，②
由①－②可得，
當(dāng)時，也符合上式，
故數(shù)列的通項公式為．
(2)由（1）可得，
則
，
故成立．
例33．（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．
(1)求和的通項公式；
(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)（1）解：或，
又，則，∴（）．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，
即，所以（）．
(2)（2）解：時，，
∴
．
時，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
(3)（3）由（1）知，則
∴
故（）.
【方法技巧與總結(jié)】
題型六：倒序相加法
例34．（2022·河北·高三階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．
【答案】
【解析】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
則，
兩式相減得：

故，
故答案為：
例35．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】∵①，
∴當(dāng)時，②，
①－②得，∴；
當(dāng)時，，∴，此時仍然成立，
∴．
∴當(dāng)n=1時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)n=1時，上式也成立，故．
由于，
設(shè)
則，
∴．
故答案為：．
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，.
（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）求.
【解析】（1）由可得，
于是，即，
而，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
所以.
（2）由（1）知，所以.
因為，
所以
，
因此.
例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項和.
【解析】(1)因為點均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，適合上式，所以.
(2)因為，所以，
所以.
(3)由（1）知，可得，
所以，①
又因為，②
因為，
所以①②，得，
所以.
例38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.
【解析】因為，
所以.
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，
即.
設(shè) ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.
【解析】因為，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以數(shù)列的通項公式為.
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．
【解析】（1）∵點均在函數(shù)的圖象上，
∴．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，適合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，
∴．
【方法技巧與總結(jié)】
將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
題型七：并項求和
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的通項公式為，求的前n項和．
【解析】解：當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
，
．
綜上：.
例42．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，，，．
(1)計算的值，求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】(1)解：當(dāng)時，，解得，
由題知①，②，
由②①得，因為，所以，
于是：數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，
即，
偶數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，
即
所以的通項公式；
(2)解：由（1）可得，
.
例43．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項和．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．則
，解得.
故數(shù)列的通項公式為．
(2)由（1）知，，
所以.
因為當(dāng)時，，
．
所以數(shù)列的前18項和為.
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項和．
【解析】(1)解：因為，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
也滿足，所以，對任意的，.
(2)解；在和中插入個相同的數(shù)，
構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，，
其項數(shù)為，
因為，即當(dāng)時，，
因此，.
例45．（2022·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)解：因為，所以，又，所以，
所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.
故，即.
(2)解：由（1）得，
則，
①當(dāng)時，
②當(dāng)時，
，
綜上所述，
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項和.
【解析】(1)證明：因為，，
所以，
所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列；
(2)解：由（1）可得，即，
則
.
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
則
，
當(dāng)n為奇數(shù)時，則
，
綜上所述，.
【方法技巧與總結(jié)】
兩兩并項或者四四并項
題型八：先放縮后裂項求和
例47．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前8項和；
(3)證明：．
【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．
由，可得①．由，得②，聯(lián)立①②，解得，由此可得．
所以，的通項公式為的通項公式為．
(2)解：設(shè)數(shù)列的前n項和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數(shù)列的前n項和為
當(dāng)時，．
(3)解：由（1）得，所以：
當(dāng)時，，不等式成立；
當(dāng)時，，所以，不等式成立；
當(dāng)時，，
所以，
，
所以，得證．
例48．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數(shù)，有.
【解析】(1)令，，則舍去，
所以.
(2)，
因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，
，當(dāng)時，
，
(3)令
，
所以
例49．（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；
(2)設(shè)，證明：.
【解析】(1)當(dāng)時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數(shù)列為等比數(shù)列
則，所以
則
(2)
所以
例50．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為，且，數(shù)列滿足．
(1)求和；
(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時，．
【解析】(1)因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.
因為，所以．
因為，所以等差數(shù)列的公差，
所以．
因為，所以，所以．
當(dāng)時，，
結(jié)合可知．
經(jīng)檢驗：也適合上式.
所以．
(2)由（1）可知：．
所以要證明原不等式成立，只需證明：成立．
易得：，所以
當(dāng)時，左邊，右邊，左邊=右邊．
當(dāng)時，，此時．
所以
所以
于是，當(dāng)時，成立．
綜上所述：當(dāng)時，．
例51．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)求證：.
【解析】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
，
化簡得，
解得，，
∴，.
由已知，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
∴，，
即，
∴數(shù)列構(gòu)成首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據(jù)“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當(dāng)，顯然成立，
∴，
∴
例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求證: .
【解析】，
【方法技巧與總結(jié)】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．
題型九：分段數(shù)列求和
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前15項的和.
【解析】(1)由得，
當(dāng)n=1時，，解得.
當(dāng)n≥2時，，從而，即，
因此數(shù)列是等比數(shù)列，其首項和公比都等于2，所以.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
所以數(shù)列的前15項和為
.
例54．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項和，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)變形為，
因為，
所以，故；
(2)當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
則
例55．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)因為，當(dāng)n為奇數(shù)時， ，當(dāng)n為偶數(shù)時， ，且，
所以，
所以，∴，
所以為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；
(2)因為，
所以，
所以數(shù)列的前項和；
綜上，所以，數(shù)列的前項和.
例56．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對任意都成立，數(shù)列的前n項和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．
【解析】(1)若是等差數(shù)列，則對任意，
，即，所以，故.
(2)因為且得，
又是等比數(shù)列，則
即，得.
當(dāng)時，，，故是以2為首項，公比為1的等比數(shù)列，
此時的前n項和；
當(dāng)時，，即，
所以，且所以以為首項，公比為-1的等比數(shù)列，
又，
所以，當(dāng)n是偶數(shù)時，
，
當(dāng)n是奇數(shù)時，，
，
綜上，當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
例57．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項和.
【解析】(1)當(dāng)時，，又，得，
由①
得②，①②兩式相除可得，
則，且，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，；
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
.
所以數(shù)列的前14項和為
.
例58．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，
(1)令，求，及的通項公式；
(2)求數(shù)列的前2n項和.
【解析】(1)由題意得，，，，，
，，，
當(dāng)時，，
又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.
(2)由（1）知，所以，
所以
.
例59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．
【解析】解：（1）當(dāng)時，
當(dāng)n為奇數(shù)，且時，，顯然滿足；
當(dāng)n為偶數(shù)時，
所以
（2）
．
例60．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)當(dāng)時，，
由，得，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以；
設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以當(dāng)時,，
當(dāng)時，，
即
【方法技巧與總結(jié)】
（1）分奇偶各自新數(shù)列求和
（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：
①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前2022項和等于（ ）
A．B．2022C．D．2019
【答案】B
【解析】解：設(shè)數(shù)列的前項和為，
當(dāng)為奇數(shù)時，
當(dāng)為偶數(shù)時，
所以
.
故選：B
2．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【解析】解：因為當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，
所以，
所以，
所以；
故選：D
3．（2022·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知首項為1的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：為等差數(shù)列，公差為，首項為，
所以，
則，，
所以
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
【答案】A
【解析】解：數(shù)列滿足，在，之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有個數(shù)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由于，
所以．
故選：A．
5．（2022·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，又，所以；
則；
所以.
故選：D.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．360B．480C．600D．100
【答案】B
【解析】解：因為，，所以，
由于，所以
對應(yīng)的區(qū)間為，則；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個1；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個2；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個3；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個4；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個5；
對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個6．
所以．
故選：B
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因為，所以，即，
所以，
由，可得，，，，
則數(shù)列是遞增數(shù)列，，則，則.
故選：B.
8．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，
所以.
所以前5項和為
故選：D
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】解：由題意得：
A選項：
，故A正確；
B選項：，故B正確；
D選項：，故D錯誤；
C選項：，故C正確．
故選：ABC
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的首項為2，前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，若，則的值可以為（ ）
A．543B．542
C．546D．544
【答案】AB
【解析】因為，所以，
即，故數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，
則，則，
所以，
則，
令，解得，即，
故選:AB
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】CD
【解析】()，，，
，
，
.
當(dāng)時，左邊，不滿足題意；
當(dāng)時，左邊，滿足題意，
故最小正整數(shù)的值為9.
故選：CD.
12．（2022·河北·模擬預(yù)測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列的前n項和為
【答案】BD
【解析】數(shù)列中的項為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
數(shù)列中的項為2，4，8，16，32，64，128，…，
∴數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
∴；
∴，記數(shù)列的前n項和為，
則，
，
兩式相減：
，
∴.
故選：BD
三、填空題
13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學(xué)史上的又一個偉大成就.其實，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為，比如，則數(shù)列的前10項和為___________.
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
【答案】2036
【解析】容易發(fā)現(xiàn)，,歸納可得，故的前10項和為.
故答案為：2036.
14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項和為___________.
【答案】330
【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時，，
所以數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，
所以，
，
故答案為：330
15．（2022·上?！つM預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為_________．
【答案】
【解析】的傾斜角，設(shè)圓、與直線的切點分別為，連接，過作，垂足為，
則
∵，整理得
數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，即
∴，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則有：
兩式相減得：
即
故答案為：．
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則_________.
【答案】960
【解析】由，
當(dāng)n為奇數(shù)時，有；當(dāng)n為偶數(shù)時，，
∴數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則
，
故答案為：960.
四、解答題
17．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足，，且，．
(1)若為等比數(shù)列，求值；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)由題
∵為等比數(shù)列，設(shè)公比為q
則
∴，
∴，即，解得或
當(dāng)時，，即
又，
∴成以3為首項，以為公比的等比數(shù)列
當(dāng)時，即
又，
∴成以3為首項，以1為公比的等比數(shù)列
綜上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
18．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足， .
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】(1)因為
所以，
因為所以
所以
所以
所以是首項和公比均為的等比數(shù)列.
(2)由（1）易得：
因為所以
所以

19．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．
【解析】(1)設(shè)數(shù)列為公差為，
，，
∴
∴
∴數(shù)列的通項公式為
(2)，則，，
當(dāng)，則，可得，
當(dāng)，則，可得，
當(dāng)，則，可得，
當(dāng)，則，可得，
此時.
所以，，
故
20．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求證：數(shù)列的前項和.
【解析】(1)由題意：，
兩式相減得到，
又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，
再由成等差數(shù)列得，得，
即，則，
的通項公式為.
(2)由題意知，
21．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求．
【解析】(1)依題意，等比數(shù)列的公比，則有，因此，，
由得，等差數(shù)列的公差，，
所以數(shù)列、的通項公式分別為：，.
(2)由（1）知，，
則，
于是得，
兩式相減得：，
所以.
22．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．
(1)求，并求數(shù)列的通項公式；
(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．
【解析】(1)由題意得，①
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，，②
①②得，，
當(dāng)時，，也適合上式，所以，所以，
兩式相減得，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．
(2)數(shù)列為：，所以奇數(shù)項是以4為首項，8為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以8為首項，8為公比的等比數(shù)列．
所以當(dāng)時，
所以，
所以，顯然是關(guān)于k的減函數(shù)，所以；
所以當(dāng)時，
所以，
所以，顯然是關(guān)于k的減函數(shù)，所以；
綜上所述，．
裂裂
項相
消法
求和
（1）基本步驟
（2）裂項原則
一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．
（3）消項規(guī)律
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．

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