1.指數(shù)及指數(shù)運算
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).
當(dāng)為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運算中的一個參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指數(shù)函數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
1.指數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當(dāng)時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當(dāng)時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱．
【題型歸納目錄】
題型一：指數(shù)運算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)
題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題
【典例例題】
題型一：指數(shù)運算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式
例1．（2022·四川涼山·三模（文））計算：______．
【答案】18
【解析】
【分析】
根據(jù)指對數(shù)冪的計算公式求解即可
【詳解】
故答案為：18
例2．（2022·河北邯鄲·一模）不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
將原不等式變?yōu)?，設(shè)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】
由，可得.
令，
因為均為上單調(diào)遞減函數(shù)
則在上單調(diào)逆減，且，
，
故不等式的解集為.
故答案為：.
例3．（2022·陜西·榆林市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測（理））甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
令，則方程可化為，根據(jù)甲計算出常數(shù)，根據(jù)乙計算出常數(shù)，再將 代入關(guān)于x的方程解出 即可
【詳解】
令，則方程可化為，甲寫錯了常數(shù)b，
所以和是方程的兩根，所以，
乙寫錯了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，
則可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故選：D
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由是R上的奇函數(shù)求出a值，并求出時，函數(shù)的解析式，再分段討論解不等式作答.
【詳解】
因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，
則，解得，即當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
而當(dāng)時，，則當(dāng)時，，即，
變形得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：A
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)指數(shù)冪的化簡原則，計算整理，即可得答案.
（2）根據(jù)指數(shù)冪的化簡原則，計算整理，即可得答案.
（3）根據(jù)指數(shù)冪的化簡原則，結(jié)合立方差公式，通分計算，即可得答案.
【詳解】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
【方法技巧與總結(jié)】
利用指數(shù)的運算性質(zhì)解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)
例6．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）函數(shù)，的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依據(jù)圖像列不等式求得的取值范圍，即可進(jìn)行選擇
【詳解】
由圖像可知，當(dāng)時，，則時，，則，
又由圖像不關(guān)于原點中心對稱可知，則
則時，，即，則
故選：C
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)恰有一個零點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為與只有一個交點，畫出的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求m的取值范圍.
【詳解】
由題設(shè)，與只有一個交點，
又的圖象如下：
∴.
故選：C.
例8．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的說法錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱
B．函數(shù)的值域為
C．不等式的解集是
D．是增函數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判斷A選項；求出函數(shù)的值域，可判斷B選項；解不等式可判斷C選項；利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.
【詳解】
對于A選項，函數(shù)的定義域為，且，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱，A錯；
對于B選項，因為，所以，，B對；
對于C選項，由可得，則，解得，C對；
對于D選項，對任意的，，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)是增函數(shù)，D對.
故選：A.
例9．（2022·河南·三模（文））已知為定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判斷出的對稱性，求得的解集，從而求得的解集.
【詳解】
因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，
且，又，所以．
依題意可得，當(dāng)或時，．
所以等價于或，
解得或．
故選：D
例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函數(shù)圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.
【答案】##4.5
【解析】
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的求法可求得，代入直線方程可得，根據(jù)，利用基本不等式可求得最小值.
【詳解】
當(dāng)時，，過定點，
又點在直線上，，即，
，，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），
的最小值為.
故答案為：.
例11．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知（其中且為常數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，可轉(zhuǎn)化為有兩個正解，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.
【詳解】
設(shè)，
由有兩個零點，
即方程有兩個正解，
所以，解得，
即，
故答案為：.
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)，）是上的奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求得參數(shù)值，再檢驗即可；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性得，代入可求得．
(1)
由是奇函數(shù)得，，此時是奇函數(shù)；
(2)
由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)得在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以，，，或（舍去），
，
所以．
【方法技巧與總結(jié)】
解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.
題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
例13．（2022·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可知，由已知可得對任意的恒成立，解得對任意的恒成立，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】
因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，，故對任意的，，
對任意的，不等式恒成立，
即，即對任意的恒成立，
且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.
故選：A.
例14．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用單調(diào)性的定義，取值、作差、整理、定號、得結(jié)論，即可得證.
（2）令，根據(jù)x的范圍，可得t的范圍，原式等價為，，只需即可，分別討論、和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計算求值，分析即可得答案.
(1)
由已知可得的定義域為，
任取，且，
則，
因為，，，
所以，即，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
(2)
，
令，則當(dāng)時，，
所以．
令，，
則只需．
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，與矛盾，舍去；
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，與矛盾，舍去．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)為實常數(shù).
（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)為奇函數(shù)時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，理由見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求得的值；又當(dāng)時，且，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；
（2）對任意，不等式恒成立，化簡不等式參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入得出實數(shù)u的最大值．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時，
即；故此時函數(shù)是奇函數(shù)；
因當(dāng)時，，故
，且
于是此時函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；
（2）因是奇函數(shù)，故由（1）知，從而；
由不等式，得，
令因，故
由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以；
因此，當(dāng)不等式在上恒成立時，
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在，上有最大值，求實數(shù)的值；
（2）若方程在，上有解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1），，，，，進(jìn)而討論與的關(guān)系求解；
（2），，令，，在有解，進(jìn)而求解．
【詳解】
解：（1），，，，，
①時，，解得（舍
②時，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時函數(shù)的圖象如圖，
時，取得最大值，
綜上，．
【點睛】
本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在特定區(qū)間的最值問題；以及復(fù)合函數(shù)在特定區(qū)間的上有解，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的圖象求解，屬于中檔題．
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時，求的值域；
（2）若對，成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）[0,9]；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出值域；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為求在的最小值大于或等于1，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出實數(shù)的取值范圍；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在的最大值小于或等于在上的最大值9，從而得出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（1）當(dāng)時，函數(shù)，
的值域
（2）對，成立，等價于在的最小值大于或等于1．
而在上單調(diào)遞減，所以，即
（3）對，，使得成立，
等價于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，
【方法技巧與總結(jié)】
已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題
例18．（2022·天津河西·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
由函數(shù)的性質(zhì)作出其圖象，再觀察交點個數(shù)即可得解．
【詳解】
由知的圖象關(guān)于對稱，
由知的圖象關(guān)于對稱，
作出與在,上的圖象：
由圖可知函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為4．
故選：B．
例19．（2022·北京·二模）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到函數(shù)的定義域，再分析當(dāng)時的取值，即可得到，再對時分和兩種情況討論，求出此時的取值，即可得到的值域，從而得到不等式，解得即可；
【詳解】
解：因為，所以的定義域為，，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，所以；
要使定義域和值域的交集為空集，顯然，
當(dāng)時，
若則，此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，
若時在上單調(diào)遞減，此時，
則，
所以，解得，即
故選：B
例20．（2022·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合倒序相加法求和，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)，
可得
，
設(shè)，
則
兩式相加，可得
，
所以.
故答案為：.
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件，求得，結(jié)合的值以及遞推關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】
由，得，
于是，
又當(dāng)時，，故可得，
則.
故答案為：.
例22．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分別在、、和的情況下，根據(jù)和的解析式和符號依次求解即可.
【詳解】
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
，又，
恒成立；
②當(dāng)時，，，
又，恒成立；
③當(dāng)時，，，；
恒成立；
④當(dāng)時，，，，
，解得：，；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
例23．（2022·江西·二模（文））設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的最大值，則實數(shù)的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，求得的范圍，再求得的單調(diào)性，討論，時函數(shù)在的最大值，即可得到所求范圍．
【詳解】
解：因為，
當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減且，
當(dāng)時，可得在時函數(shù)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
若，，則在處取得最大值，不符題意；
若，，則在處取得最大值，
且，解得，
綜上可得的范圍是．
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增
C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；
【詳解】
解：定義域為，且，
所以為奇函數(shù)，
又與在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；
故選：B
2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物學(xué)家Max Kleiber發(fā)表了一篇題為《bdy size and metablicrate》的論文，在論文中提出了一個克萊伯定律：對于哺乳動物，其基礎(chǔ)代謝率與體重的次冪成正比，即，其中F為基礎(chǔ)代謝率，M為體重．若某哺乳動物經(jīng)過一段時間生長，其體重為原來的10倍，則基礎(chǔ)代謝率為原來的（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．5.4倍B．5.5倍C．5.6倍D．5.7倍
【答案】C
【解析】
【分析】
利用冪的運算性質(zhì)去求解即可解決
【詳解】
設(shè)該哺乳動物原體重為、基礎(chǔ)代謝率為，則，
經(jīng)過一段時間生長，其體重為，基礎(chǔ)代謝率為，則
則，則
故選：C
3．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））英國著名數(shù)學(xué)家布魯克-泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學(xué)中，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：，其中，則的近似值為（精確到）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
應(yīng)用題設(shè)泰勒展開式可得 , 隨著的增大，數(shù)列遞減且靠后各項無限接近于，即可估計的近似值.
【詳解】
計算前四項，在千分位上四舍五入
由題意知:
故選：C
4．（2022·河南洛陽·二模（文））已知函數(shù)，且，則（ ）
A．26B．16C．－16D．－26
【答案】A
【解析】
【分析】
由分段函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，求出的值，從而可求出
【詳解】
由題意得
當(dāng)時，，方程無解，
當(dāng)時，，解得，
所以，
故選：A
5．（2022·四川成都·三模（理））若函數(shù)的零點為，則（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知有，根據(jù)零點得到，利用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)得到關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定t值即可.
【詳解】
由題設(shè)，由得：，
若，可得，
若，可得，
綜上，，故.
故選：B
6．（2022·河南·開封高中模擬預(yù)測（文））若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
參變分離得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解；
【詳解】
解：由題知，而，所以，
又，所以．
因為關(guān)于的不等式有實數(shù)解，
即有實數(shù)解，所以，即．
故選：A
7．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知函數(shù)滿足：對任意，．當(dāng)時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)可得，，則，將代入解析式，即可求解.
【詳解】
因為，
則，即，
所以，即，
所以，
因為，所以，
所以，
故選：C
8．（2022·上海寶山·二模）關(guān)于函數(shù)和實數(shù)的下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，即可得到此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，從而一一判斷即可；
【詳解】
解：因為，
所以函數(shù)是一個偶函數(shù)，
又時，與是增函數(shù)，且函數(shù)值為正數(shù)，
故函數(shù)在上是一個增函數(shù)
由偶函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上是一個減函數(shù)，
此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，
函數(shù)值就小，反之也成立，
考察四個選項，A選項，由，無法判斷，離原點的遠(yuǎn)近，故A錯誤；
B選項，，則的絕對值大，故其函數(shù)值也大，故B不對；
C選項是正確的，由，一定得出；
D選項由，可得出，但不能得出，不成立，
故選：C．
二、多選題
9．（2022·湖南·模擬預(yù)測）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
分和兩種情況討論兩個函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
【詳解】
當(dāng)時，在單調(diào)遞增且其圖象恒過點，
在單調(diào)遞增且其圖象恒過點，
則選項B符合要求；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減且其圖象恒過點，
在單調(diào)遞減且其圖象恒過點，
則選項D符合要求；
綜上所述，選項B、D符合要求.
故選：BD.
10．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，下列選項中正確的為（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),不等式性質(zhì)判斷．
【詳解】
A錯，例如滿足，便；
B正確，，，又，所以，而，所以；
C正確，設(shè)，，，則，，
所以，即．
D錯誤，，，，所以，不一定成立．
故選：BC．
11．（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）若，則下列不等式中正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根據(jù)作差法，判斷A;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B;舉反例可說明C的正誤；同樣據(jù)反例，判斷D.
【詳解】
對于A選項，因為，所以，故A正確；
對于B選項，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故B正確；
對于C選項，當(dāng)時，不成立，故C不正確；
對于D選項，當(dāng)，時，，故D不正確,
故選:AB.
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在三個實數(shù)，使得，則（ ）
A．的取值范圍為B．的取值范圍為
C．的取值范圍為D．的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合題意令，進(jìn)而得到,,關(guān)于的增減性以及的取值范圍，數(shù)形結(jié)合分析選項即可得解.
【詳解】
作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示，
設(shè)，
數(shù)形結(jié)合得:均是關(guān)于的增函數(shù)，是關(guān)于的減函數(shù)，且.
當(dāng)時，令，得或，
所以，，且，
所以，故A正確；
不妨設(shè)，則，此時，所以B錯誤；
因為，所以，且與均為關(guān)于的增函數(shù)，
所以，故C正確；
因為為關(guān)于的增函數(shù)，，，所以，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2022·安徽淮北·一模（理））___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
利用指數(shù)冪及對數(shù)的運算性質(zhì)計算即得.
【詳解】
.
故答案為：10.
14．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））已知兩個條件：①；②在上單調(diào)遞減.請寫出一個同時滿足以上兩個條件的函數(shù)____________.
【答案】
【解析】
【分析】
對于符合指數(shù)運算的規(guī)則，減函數(shù)則應(yīng)是指數(shù)函數(shù)里的減函數(shù).
【詳解】
由題意：是指數(shù)函數(shù)里的減函數(shù)，故可以是：，
故答案為：.
15．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））函數(shù)在的值域為______．
【答案】
【解析】
【分析】
令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】
解：，
設(shè)，
當(dāng)時，，所以，
所以在的值域為．
故答案為：．
16．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③若，則點與原點連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．
【答案】①③
【解析】
【分析】
對于①：利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
對于②：取特殊值：，否定結(jié)論；
對于③：直接表示出點與原點連線的斜率為，并判斷.
【詳解】
函數(shù)的定義域為.
對于①：因為，所以是偶函數(shù).故①正確；
對于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函數(shù)，可得②錯誤；
對于③：當(dāng)時，點與原點連線的斜率為.因為，所以，所以，所以.故③正確；
所以正確結(jié)論的序號為①③．
故答案為：①③
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）由于突發(fā)短時強(qiáng)降雨，某小區(qū)地下車庫流入大量雨水.從雨水開始流入地下車庫時進(jìn)行監(jiān)測，已知雨水流入過程中，地下車庫積水量y（單位：）與時間t（單位：）成正比，雨停后，消防部門立即使用抽水機(jī)進(jìn)行排水，此時y與t的函數(shù)關(guān)系式為（k為常數(shù)），如圖所示.
(1)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知該地下車庫的面積為2560，當(dāng)積水深度小于等于0.05時，小區(qū)居民方可入內(nèi)，那么從消防部門開始排水時算起，至少需要經(jīng)過幾個小時以后，小區(qū)居民才能進(jìn)入地下車庫？
【答案】(1)
(2)至少需要經(jīng)過3個小時以后，小區(qū)居民才能進(jìn)入地下車庫
【解析】
【分析】
（1）利用求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
（2）根據(jù)積水深度的要求列不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得需要等待的時間.
(1)
由圖可知，當(dāng)時，y=2000t.
當(dāng)t>1時，，
因為圖象經(jīng)過點，所以，得k=5000
所以.
(2)
令，
即，
解得，
因為消防部門從t=1時開始排水，故至少需要經(jīng)過3個小時以后，小區(qū)居民才能進(jìn)入地下車庫.
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）計算：（﹣9.6）0﹣；
（2）已知3，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則即可求出；
（2）根據(jù)完全平方公式即可求出．
【詳解】
解：（1）原式1﹣1，
（2）∵3，
∴a+a﹣1＝（）2﹣2＝7，
∴a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝47，
∴原式．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a>0，且a≠1，若函數(shù)y＝|ax－2|與y＝3a的圖象有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
討論0

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