一、選擇題
1. 下列各組數中，互為相反數的是（ ）
A. 2與B. 3與
C. 與D. 與
【答案】D
【解析】A、2與不互為相反數，故本選項錯誤；
B、3與不互為相反數，故本選項錯誤；
C、與不互為相反數，故本選項錯誤；
D、與互為相反數，故本選項正確；
故選：D
2. 下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，方程組含有二次項，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；
B、，方程組含有二次項，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；
C、，符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；
D、，方程組含有3個未知數，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；
故選：C．
3. 下列圖形中，屬于平面圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、圓屬于平面圖象，符合題意；
B、圓錐是立體圖形，不符合題意；
C、正方體屬于立體圖形，不符合題意；
D、圓柱屬于立體圖形，不符合題意．
故選：A．
4. 2024年6月25日嫦娥六號順利返回地球，帶回大約的月背樣本，實現世界首次月背采樣返回，標志著我國對月球背面的研究又進入了一個新的高度．已知月球到地球的平均距離約為384000千米，數據384000用科學記數法表示為（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】．
故選C．
5. 習近平總書記強調：“要教育孩子們從小熱愛勞動”．小荷在做值日工作時，先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，很快就能把課桌擺得整整齊齊，小荷這樣做的依據是（ ）
A. 兩點之間，線段最短
B. 兩點確定一條直線
C. 兩點的距離最短
D. 連接兩點的線段的長度，叫作這兩點的距離
【答案】B
【解析】由題意可得，小荷這樣做的依據是兩點確定一條直線，
故選：B．
6. 下列各組中的兩項是同類項的是（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】C
【解析】A、與，相同字母的指數不相同，不是同類項．故選項錯誤；
B、與，相同字母的指數不相同，不是同類項．故選項錯誤；
C、與，符合同類項的定義，同類項．故選項正確；
D、與，所含字母不同，不是同類項．故選項錯誤．
故選：C．
7. 下列等式變形，錯誤的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】A．若，則，變形正確，故選項不符合題意；
B．若，則，變形正確，故選項不符合題意；
C．若，則，變形正確，故選項不符合題意；
D．若，當時，，變形錯誤，故選項符合題意；
故選：D．
8. 《九章算術》是中國古代第一部數學專著，它對我國古代后世的數學家產生了深遠的影響，該書中記載了一個問題，大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，問有多少人？該物品價幾何？設有人，物品價值元，則所列方程組正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設有人，物品價值元，
由題意得，，
故選：．
9. 如果為有理數，式子存在最小值，則這個最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴當時，即當時，式子存在最小值，這個最小值是，
故選：A．
10. 如圖，點、在線段上，點是的中點，，則線段的長為（ ）
A. 8B. 12C. 18D. 24
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴，
故選D．
11. 點在線段上，若三條線段、、中，有其中一條線段是另一條線段的2倍，則稱點是線段的“巧點”．若，點是線段的巧點，則的長是（ ）
A. 1．5或3或4.5B. 3或4.5C. 3或4.5或6D. 4.5或6
【答案】C
【解析】當點C是線段的“巧點”時，可能有三種情況：
①時，；
②時，；
③時，．
故選：C．
12. 如圖，根據圖中方格內數的規(guī)律，的值是（ ）
A. 30B. C. 18D. 2
【答案】B
【解析】由圖像可知，肩上的兩個數之和為頂部的數據，
，，
解得：，
，
故選：B．
二、填空題
13. 若，則的補角為______．
【答案】
【解析】，
的補角為．
故答案為： ．
14. 比較大小：______（填，，號）．
【答案】
【解析】，，
∵，
∴，
故答案為： ．
15. 對于兩個非零有理數、，規(guī)定，若，則______．
【答案】7
【解析】由題意得：，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
故答案為：7．
16. 如圖，點在直線上，平分，，，設，利用方程的思想，求得______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案為： ．
三、解答題
17. （1）計算：．
（2）化簡：．
解：（1）
；
（2）
．
18. 請用尺規(guī)作圖（只要求作出圖形，不要求寫作法）．如圖，已知四點，，，．
（1）作直線，連接并延長到點，使得；
（2）在線段上取點，使的值最??；
（3）在（2）的條件下，若，，求的長．
解：(1)如圖，直線即為所求；點即為所求；
(2)如圖，點即所求；
(3)，
，
，
．
19. 有理數：，，3.2，0，2，－5．
（1）在如圖所示的數軸上畫出表示這6個數的點；
（2）把這6個數用“＜”連接起來；
（3）這6個數中，絕對值等于它的相反數的數有幾個；
（4）由（1）可知在數軸上表示這6個數的點中，其中兩點之間最大距離是多少？（列式計算）
解：(1)如圖所示．
(2)正方向向右時，數軸上右邊點表示的數比左邊點表示的數大，可得
(3)∵負數和0的絕對值等于它的相反數，
∴這6個數中，絕對值等于它的相反數的數有，0，-5，
絕對值等于它的相反數的數有：，共4個
（4）由（1）可知在數軸上表示這6個數的點中，其中兩點之間最大距離是：
．
20. 小貴、小港兩人從相距的兩地相向而行．
（1）若小貴比小港先走，則他們在小港出發(fā)后相遇；若小港比小貴先走，則他們在小貴出發(fā)后相遇，求小貴、小港兩人每小時各走多少千米？
（2）如果他們同時出發(fā)，并保持（1）中的速度，那么后兩人還相距多少千米？
(1)解：設小貴每小時走，小港每小時走，
依題意，得：，
解得：；
答：小貴每小時走，小港每小時走．
(2)解：，
答：后兩人相距．
21. 習近平總書記強調：“一個博物院就是一所大學?！保逞袑W社組織人員到某博物院研學，研學社報價每人收費400元，當研學人數超過50時，研學社給出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：研學團隊先交1800元后，每人收費320元；
方案二：5人免費，其余每人收費打九折．
當參加研學的總人數是時．
（1）請用含的代數式分別表示方案一和方案二各收費多少元；
（2）當參加研學的總人數是80時，采用哪種方案更省錢？并請說明理由；
（3）若上述兩種方案的收費是一樣的，則參加研學的總人數是多少人？
(1)解：根據題意得：采用方案一的收費為元；
采用方案二的收費為元；
(2)解：采用方案二更省錢，
理由如下：
當時，（元）；
（元）．
，
采用方案二更省錢；
(3)解：根據題意得：，
解得：．
答：當參加研學的總人數是90人時，采用兩種方案的收費是一樣的．
22. 【閱讀材料】在湘教版七年級數學上冊P126頁“多知道一點——整體思想的應用”的描述中知道，整體思想就是在研究和解決有關數學問題時，發(fā)現問題的整體結構特征，用“整體”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，進行有目的，有意識的整體處理的解題思路．
例如：已知，求代數式的值．
明明同學在做作業(yè)時采用整體代入的方法如下：
解：由得，，
所以代數式的值為5．
【學以致用】（1）若，求代數式的值；
（2）已知當時，，求當時，代數式的值；
【拓展延伸】（3）若，求代數式值．
解：（1），
（2）當時，，
，
當時，
（3），，
．
23. 綜合與實踐
線段的計算和角的計算有緊密聯系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學習片段，請完成探索過程：
（1）【探索發(fā)現】課上，老師提出問題：如圖1，點是線段上一點，，分別是線段，的中點，當時，求線段的長度．下面是小華根據老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：
（2）【知識遷移】小華舉一反三，發(fā)現有些角度計算也可以用類似的方法進行轉化．如圖2，已知，是角內部的一條射線，，分別是，的平分線，請你求的度數．
（3）【拓展延伸】如果（2）中其他條件不變，將射線繞點旋轉到的外部，則的度數 ．
解：(1) C，D分別是線段的中點，
，
，；
故答案為：，10；
(2)如圖，分別是的平分線，

，
；
(3)分三種情況：
第一種情況：如圖，
分別是的平分線，

；
第二種情況：如圖，
分別是的平分線，
，
；
第三種情況：如圖，
分別是的平分線，

．
因為，分別是線段，的中點，
所以， ，
所以 ， ，
因為，所以 ．
線段中點的定義，線段的和、差，等式的性質．

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