1. 下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知：，且，下列不等關(guān)系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，，若，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 4C. 7D. 8
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
5. 已知是定義在上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，王老師組建了一個(gè)由學(xué)生?家長和教師組成的群.已知該群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該群人數(shù)的最小值為（ ）
A. 20B. 22C. 26D. 28
7. 若，且，則的最小值為（ ）
A B. C. D.
8. 關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，①等式對恒成立；②函數(shù)的值域?yàn)?；③若，則一定有；④存在無數(shù)個(gè)，滿足其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 命題，．命題q：任意兩個(gè)等邊三角形都相似．關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（ ）
A. p是真命題B. ，
C. q是真命題D. ：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似
10. 已知集合,,且．集合為的取值組成的集合，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（ ）
A. 函數(shù)滿足：
B. 函數(shù)的值域是
C. 對于任意的，都有
D. 在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則的取值范圍是__________.
13. 在，，設(shè)全集，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____
14. 設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有，則的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16. 已知函數(shù)．
（1）若，求在或上的值域；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
17. 已知上有意義，單調(diào)遞增且滿足．
（1）求證：；
（2）求不等式的的解集．
18. 我們知道，當(dāng)時(shí)，如果把按照從大到小的順序排成一列的話，一個(gè)美麗、大方、優(yōu)雅的均值不等式鏈便款款的、含情脈脈的降臨在我們面前.這個(gè)均值不等式鏈神通巨大，可以解決很多很多的由定值求最值問題.
（1）填空寫出補(bǔ)充完整的該均值不等式鏈；
（2）如果定義：當(dāng)時(shí)，為間的“縫隙”.記與間的“縫隙”為，與間的縫隙為，請問、誰大？給出你的結(jié)論并證明.
19. 對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對于任意的，二次函數(shù)（）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2024-2025學(xué)年湖南省懷化市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】利用函數(shù)的定義，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)的定義知，每一個(gè)的取值，有且僅有一個(gè)值與之對應(yīng)，
由選項(xiàng)A，C和D的圖象可知，每一個(gè)的取值，有且僅有一個(gè)值與之對應(yīng)，所以選項(xiàng)A，C和D錯(cuò)誤，
由選項(xiàng)B的圖象知，存在的取值，一個(gè)的取值，有兩個(gè)值與之對應(yīng)，所以不能表示是的函數(shù)，
故選：B.
2. 已知：，且，下列不等關(guān)系一定成立的是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】通過賦值法舉反例排除A,B,C項(xiàng)，對于D項(xiàng)，則可尋找條件成立的充要條件，再用作差法判斷即得.
【詳解】對于A，可取，滿足，但得不到，故A錯(cuò)誤；
對于B，可取，滿足，但不滿足，故B錯(cuò)誤；
對于C，可取，滿足，但，故C錯(cuò)誤；
對于D，因，而，故必有成立，即D正確.
故選：D.
3. 已知集合，，，若，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 4C. 7D. 8
【正確答案】B
【分析】本題根據(jù)B、C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)m，進(jìn)而求出兩個(gè)集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的個(gè)數(shù).
【詳解】由題意得，，又集合，
若，則，此時(shí)，
則，故子集個(gè)數(shù)為；
若，則，此時(shí)顯然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
綜上得：時(shí)，子集個(gè)數(shù)為4個(gè)；
故選：B.
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和具體函數(shù)定義域求法直接構(gòu)造不等式求解即可.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，解得：，
的定義域?yàn)?
故選：B.
5. 已知是定義在上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由函數(shù)是上的減函數(shù)，可得，求解即可.
【詳解】∵函數(shù)是上的減函數(shù)，
∴，解得.
故選：A
6. 為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，王老師組建了一個(gè)由學(xué)生?家長和教師組成的群.已知該群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該群人數(shù)的最小值為（ ）
A. 20B. 22C. 26D. 28
【正確答案】B
【分析】設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為，女學(xué)生人數(shù)為，男學(xué)生人數(shù)為，由題意得到
，再由教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)得到x的范圍求解.
【詳解】設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為y，女學(xué)生人數(shù)為z，
男學(xué)生人數(shù)為t，x、y、z、t∈Z，
則，，
則，
又教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)總?cè)藬?shù)最少為22.
故選: B.
7. 若，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】首先利用條件等式將表達(dá)式變形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等條件否成立.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由題意
，
因?yàn)?，所以?br>所以由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立，
綜上所述，的最小值為.
故選：D.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，解決本題的關(guān)鍵是要利用條件等式對已知表達(dá)式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.
8. 關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，①等式對恒成立；②函數(shù)的值域?yàn)?；③若，則一定有；④存在無數(shù)個(gè)，滿足其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式先判斷函數(shù)奇偶性得①正確；再將定義域分段去掉絕對值，化簡函數(shù)式后利用不等式性質(zhì)分析判斷②；利用函數(shù)的奇偶性和局部單調(diào)性得出函數(shù)為R上的增函數(shù)即可判斷③；分析發(fā)現(xiàn)函數(shù)在時(shí)即滿足條件，故可判斷④正確.
【詳解】對于①，由可得對恒成立，故①正確；
對于②，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，則，則，
故得，即，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，的值域?yàn)?1,1，所以②正確；
對于③，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由①知為奇函數(shù)，
因?yàn)榈膱D象在R上連續(xù)，所以在R上為增函數(shù)，
所以當(dāng)，則一定有，所以③正確；
對于④，當(dāng)時(shí)，，，
則，
所以存在無數(shù)個(gè)，滿足，所以④正確，
即正確的結(jié)論共有4個(gè)，
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 命題，．命題q：任意兩個(gè)等邊三角形都相似．關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（ ）
A. p是真命題B. ，
C. q是真命題D. ：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題的真假，從而判斷AC，根據(jù)命題的否定可判斷BD.
【詳解】對于方程，,
所以，無解，故p是假命題，故A錯(cuò)誤；
，，故B正確；
任意兩個(gè)等邊三角形都相似，故q是真命題，故C正確；
：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似，故D正確.
故選:BCD.
10. 已知集合,,且．集合為的取值組成的集合，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)已知條件得出，再得出集合D，最后結(jié)合元素和集合的關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以且，
所以，，
所以.
故選：ACD.
11. 德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（ ）
A. 函數(shù)滿足：
B. 函數(shù)的值域是
C. 對于任意的，都有
D. 在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形
【正確答案】AC
【分析】利用，對選項(xiàng)A，B和C逐一分析判斷，即可得出選項(xiàng)A，B和C的正誤，選項(xiàng)D，通過取特殊點(diǎn)，此時(shí)為等邊三角形，即可求解.
【詳解】由于，
對于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則；
設(shè)任意，則，總之，對于任意實(shí)數(shù)恒成立，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，的值域?yàn)?，又，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，取，此時(shí)，得到為等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則的取值范圍是__________.
【正確答案】
【分析】利用不等式性質(zhì)可求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，
則，故，
因?yàn)?，則，
故即，
故答案為.
13. 在，，設(shè)全集，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____
【正確答案】或
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，對進(jìn)行分類討論，可得答案.
【詳解】解不等式，即，得，
得，，
“”是“”充分不必要條件，A為B的真子集，
分類討論如下：
①，即時(shí)，，不符題意；
②，即時(shí)，，
此時(shí)需滿足，（等號不同時(shí)成立），解得，滿足題意，
③，即時(shí)，，
此時(shí)，，（等號不同時(shí)成立），解得，滿足題意，
綜上，或時(shí)，滿足“”是“”的充分不必要條件.
故或
14. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有，則的取值范圍是___________.
【正確答案】
【分析】求得在區(qū)間上的解析式，畫出的圖象，結(jié)合圖象列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】時(shí)，，而時(shí)，
所以，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
作出示意圖如下圖所示：

要使，則需，結(jié)合上圖，
由，解得，所以.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：所給的抽象函數(shù)關(guān)系式，如本題中的，然后要關(guān)注題目所給的已知區(qū)間的函數(shù)解析式，結(jié)合這兩個(gè)條件來求得其它區(qū)間的函數(shù)解析式.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)條件，得到，，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件得到，再分、和三種情況進(jìn)行討論，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
，
所以．
【小問2詳解】
）因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，有，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
由，則，解得，所以，
當(dāng)時(shí)，，
由，則，解得，所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
16. 已知函數(shù)．
（1）若，求在或上的值域；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析
【分析】（1）直接利用基本不等式計(jì)算即可求解；
（2）直接利用定義法即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【小問1詳解】
當(dāng)，
若，則，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；
若，則，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．
所以在或上的值域?yàn)椋海?br>【小問2詳解】
，且，
有
．
由得：．
所以，又由，得．
于是：，即．
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
17. 已知在上有意義，單調(diào)遞增且滿足．
（1）求證：；
（2）求不等式的的解集．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)條件，通過令，即可證明結(jié)果；
（2）根據(jù)條件得到，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)?，令，得到?br>所以.
【小問2詳解】
，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以不等式的的解集為.
18. 我們知道，當(dāng)時(shí)，如果把按照從大到小的順序排成一列的話，一個(gè)美麗、大方、優(yōu)雅的均值不等式鏈便款款的、含情脈脈的降臨在我們面前.這個(gè)均值不等式鏈神通巨大，可以解決很多很多的由定值求最值問題.
（1）填空寫出補(bǔ)充完整的該均值不等式鏈；
（2）如果定義：當(dāng)時(shí)，為間的“縫隙”.記與間的“縫隙”為，與間的縫隙為，請問、誰大？給出你的結(jié)論并證明.
【正確答案】（1）（2），見解析
【分析】（1）由題得；（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），再利用作差比較法證明即可.
【詳解】（1）
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）
證明：∵
又∵
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取=號）.
∴，∴
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取=號）.
本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查作差比較法證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
19. 對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對于任意的，二次函數(shù)（）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即求方程的根，即求方程的解；
（2）二次函數(shù)（）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等實(shí)根，對于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可；
（3）在區(qū)間0,2上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理即可，同時(shí)還要關(guān)注區(qū)間邊界函數(shù)值為零和判別式為零的情形.
【小問1詳解】
設(shè)為不動(dòng)點(diǎn)，因此，即，
解得或，所以為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．
【小問2詳解】
方程，即，
有，
因?yàn)?，于是得一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
即判別式，
依題意，對于任意的，不等式恒成立，
只需關(guān)于未知數(shù)的方程無實(shí)數(shù)根，
則判別式，
整理得，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【小問3詳解】
由，得，
由于函數(shù)在0,2上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
即在0,2上有且只有一個(gè)解
令
①，則，解得；
②，即時(shí)，
方程可化為，另一個(gè)根為，不符合題意，舍去；
③，即時(shí)，
方程可化為，另一個(gè)根為1，滿足；
④，即，解得，
（i）當(dāng)時(shí)，方程的根為，滿足；
（ii）當(dāng)時(shí)，方程的根為，不符合題意，舍去；
綜上，m的取值范圍是或．

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2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市高一上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

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2024-2025學(xué)年湖南省懷化市高一上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題

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