1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 使得不等式“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個數(shù)為（ ）
A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個
4. 已知集合，集合，則（ ）
A. {或}B.
C. {或}D.
5. 若全集，集合，，則=（ ）
A. B.
C. D.
6. “”是“關(guān)于的不等式恒成立”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 若不等式對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校開展了豐富的選修課，參與“數(shù)學(xué)建模選修課”的有169人，參與“語文素養(yǎng)選修課”的有158人，參與“國際視野選修課”的有145人，三項選修課都參與的有30人，三項選修課都沒有參與的有20人，全校共有400人，問只參與兩項活動的同學(xué)有多少人？（ ）
A 30B. 31C. 32D. 33
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）
9. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A. 0B. 1C. D.
10. 若，下列不等式一定成立的有（ ）
A B.
C. D.
11. 設(shè)集合，則下列說法不正確的是（ ）
A. 若有4個元素，則B. 若，則有4個元素
C. 若，則D. 若，則
12. 對于一個非空集合，如果滿足以下四個條件：
①，
②，
③，若且，則，
④，若且，則，
就稱集合為集合A的一個“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（ ）
A. 設(shè)，則滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個
B. 設(shè)，則集合是集合A的一個“偏序關(guān)系”
C. 設(shè)，則含有四個元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個
D. 是實數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系”
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）
13. 已知集合，則__________．
14 對于集合M，N，定義且，，設(shè)，，則__________.
15. 已知集合，集合或，若，則的取值范圍為__________．
16. 已知函數(shù)（，為實數(shù)），.若方程有兩個正實數(shù)根，，則的最小值是_________ .
四．解答題（共6小題，共70分）
17. 已知方程的兩根為與，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18. 集合，集合.
（1）求集合
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍？
19. 設(shè)集合，，．
（1）若，求實數(shù)a取值范圍；
（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．
20.
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍.
21. 已知集合，．
（1）若，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
22. 已知不等式的解集為
（1）若，且不等式有且僅有10個整數(shù)解，求的取值范圍；
（2）解關(guān)于的不等式.
2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市汨羅市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題
一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】結(jié)合補集和交集的概念即可求出結(jié)果.
【詳解】因為全集，，則，
且，所以，
故選：B.
2. 使得不等式“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先解出一元二次不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可.
【詳解】由，即，解得，
因為真包含于，
所以使得不等式“”成立的一個必要不充分條件可以是.
故選：C
3. 下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個數(shù)為（ ）
A 3個B. 4個C. 5個D. 6個
【正確答案】B
【分析】利用元素和集合的關(guān)系、集合間的關(guān)系、集合中元素的特性分析判斷即可得解.
【詳解】解：對于①，由集合間的關(guān)系和集合中元素的無序性知，故①正確；
對于②，由集合中元素的無序性知，故②正確；
對于③，是沒有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③錯誤；
對于④，是集合的元素，所以，故④正確；
對于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤錯誤；
對于⑥，是集合的子集，即，故⑥正確；
綜上知，正確個數(shù)為4個.
故選：B.
4. 已知集合，集合，則（ ）
A. {或}B.
C. {或}D.
【正確答案】A
【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的并集運算求解.
【詳解】解：因為或，
所以或，
故選：A
5. 若全集，集合，，則=（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化條件，結(jié)合描述法表示集合及集合交、補運算的定義即可得解.
【詳解】集合的關(guān)系式可以變?yōu)?，它的幾何意義是直線上去掉點后所有的點的集合，
所以，表示直線外所有點及點的集合；
集合表示直線外所有點的集合，
，表示直線上所有點的集合；
從而可得.
故選：B.
6. “”是“關(guān)于的不等式恒成立”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系，判斷充分，必要條件.
【詳解】當時，不等式對任意的恒成立，
當時，則，解得:，
故的取值范圍為．
故“”是“”充分不必要條件．
故選：A
7. 若不等式對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】分類討論，結(jié)合不等式對任意實數(shù)x均成立，利用分類討論，即可求出實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】時，不等式可化為，對任意實數(shù)x均成立，滿足題意；
時，不等式對任意實數(shù)x均成立，
等價于，
∴．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是．
故選：A．
8. 為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校開展了豐富的選修課，參與“數(shù)學(xué)建模選修課”的有169人，參與“語文素養(yǎng)選修課”的有158人，參與“國際視野選修課”的有145人，三項選修課都參與的有30人，三項選修課都沒有參與的有20人，全校共有400人，問只參與兩項活動的同學(xué)有多少人？（ ）
A. 30B. 31C. 32D. 33
【正確答案】C
【分析】先畫出韋恩圖，根據(jù)榮斥原理求解.
【詳解】畫出維恩圖如下：

設(shè)：只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“語文素養(yǎng)課”的有x人，只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“國際視野課”的有y人，只參加“語文素養(yǎng)課”和“國際視野課”的有z人，
則：，；
故32人.
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）
9. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【正確答案】AC
【分析】分和兩種情況討論集合中的原式，即可求解.
【詳解】當時，，滿足條件，
當時，若，則，無解，
若，則，無解，
若，則，無解，
若，則，得，
綜上可知，或，只有AC符合條件.
故選：AC
10. 若，下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】利用作差法逐項判斷.
【詳解】A項，，故正確；
B項，，故錯誤；
C項．，故正確；
D項．，分母正負號不確定，故錯誤；
故選：AC
11. 設(shè)集合，則下列說法不正確的是（ ）
A. 若有4個元素，則B. 若，則有4個元素
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】ABC
【分析】首先解方程得到：或,針對a分類討論即可.
【詳解】（1）當時，，；
（2）當時，，；
（3）當時，，；
（4）當時，，；
故A，B，C，不正確，D正確
故選：ABC
本題考查了集合的交、并運算，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.
12. 對于一個非空集合，如果滿足以下四個條件：
①，
②，
③，若且，則，
④，若且，則，
就稱集合為集合A的一個“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（ ）
A. 設(shè)，則滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個
B. 設(shè)，則集合是集合A的一個“偏序關(guān)系”
C. 設(shè)，則含有四個元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合共有6個
D. 是實數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系”
【正確答案】ACD
【分析】A選項，分析出，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，從而得到足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個；B選項，且，但，B錯誤；C選項，分析出，再添加一個元素即可，從而得到答案；D選項，通過分析均滿足四個條件，D正確.
【詳解】A選項，，則，
通過分析②可知，，分析③可知，和只能二選一，或兩者均不能在中，
取，或，或，
故滿足是集合A的一個“偏序關(guān)系”的集合共有3個，A正確；
B選項，集合，且，但，故②不成立，故B錯誤；
C選項，，通過分析②可知，，
結(jié)合③和④，可再添加一個元素，即中任選一個，
即取，或，
或，或，
或，或，
共6個，C正確；
D選項，是R的子集，滿足①，
且當時，，滿足②，
當時，滿足③，
，若且，則，所以，
則，滿足④，
故是實數(shù)集R的一個“偏序關(guān)系，D正確.
故選：ACD
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）
13. 已知集合，則__________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)補集的定義求解.
詳解】；經(jīng)檢驗滿足題意；
故答案為.
14. 對于集合M，N，定義且，，設(shè)，，則__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意求出集合和，然后再求出即為所求．
【詳解】
或
故
15. 已知集合，集合或，若，則的取值范圍為__________．
【正確答案】
【分析】分、、討論，由可得答案.
【詳解】，對于集合，當時，，滿足條件；
當時，，滿足條件；當時，，
.
綜上.
故答案為.
16. 已知函數(shù)（，為實數(shù)），.若方程有兩個正實數(shù)根，，則的最小值是_________ .
【正確答案】
【分析】由求得，再由方程有兩個正實數(shù)根，，利用根的分布得到，然后利用韋達定理求解.
【詳解】因為函數(shù)（，為實數(shù)），，
所以，
解得，
所以，
因為方程有兩個正實數(shù)根，，
所以，解得，
又，，
所以，
當時，等號成立，所以的最小值是.
故
四．解答題（共6小題，共70分）
17. 已知方程的兩根為與，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【正確答案】（1）18； （2）7．
【分析】（1）由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系先求出得，，然后結(jié)合立方和公式即可求解，
（2）通分，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求解.
【小問1詳解】
由題意可得，，
故，
則；
【小問2詳解】
.
18. 集合，集合.
（1）求集合
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍？
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）解分式不等式求出集合；
（2）首先可得，依題意可得真包含于，即可得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
由，即，解得或，
所以或；
【小問2詳解】
因為，所以，故，
因為""是""的必要不充分條件
所以真包含于，
所以或，解得或，
又，所以或，即的取值范圍為.
19. 設(shè)集合，，．
（1）若，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．
【正確答案】（1）且
（2）
【分析】（1）化簡集合A,C，由知，建立方程求解即可；
（2）由，分兩種情況討論即可求解.
【小問1詳解】
由，
當時，,不滿足，
當時，，
，知，
，，則且，
綜上，且；
【小問2詳解】
，，
當時，即無解，，解得，
當時，由可得，解得，
綜上，
20.
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再求交集可得答案；
（2）求出，集合，分、、討論，根據(jù)可得答案.
【小問1詳解】
當時，，解得集合為，
對于集合：，解得集合，
則；
【小問2詳解】
，對于集合，
令，，
①，
；
②，
；
③，
，滿足條件.
綜上：的取值范圍為.
21. 已知集合，．
（1）若，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）；（2）
【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式組，求出實數(shù)的取值范圍；
（2）若，則，分和兩種情況，分別列不等式可得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以或．
又且，
所以，解得
所以實數(shù)的取值范圍是．
（2）若（補集思想），則．
當時，，解得；
當時，，即，
要使，則，得．
綜上，知時，，
所以時，實數(shù)的取值范圍是．
22. 已知不等式的解集為
（1）若，且不等式有且僅有10個整數(shù)解，求的取值范圍；
（2）解關(guān)于的不等式.
【正確答案】（1）
（2）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)已知可得方程的2個根為2，3，由韋達定理解得，從而得不等式，結(jié)合不等式有且僅有10個整數(shù)解可得答案；
（2）分、、、、、討論解不等式可得答案.
【小問1詳解】
，原不等式等價于恒成立，
且的解集為，故方程的2個根為2，3，
故由韋達定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且僅有10個整數(shù)解，故，
所以的取值范圍為；
【小問2詳解】
1?當時，由（1）得時，
，
即：，
①當時，原不等式解集為；
②當時，原不等式解集為；
③當時，原不等式解集為.
2?當時，原不等式等價于恒成立，且的解集為，
由韋達定理：恒成立，
解得，
，
該不等式解集為或，
3?當時，
，則無解.
4?當時，
，則.
綜上：當時，不等式解集為或；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，原不等式解集為；
當時，原不等式解集為.
方法點睛：本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的應(yīng)用，考查了含參數(shù)二次不等式的應(yīng)用.

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